2026年中考数学二轮复习 专题08 圆的证明与计算(高频考点专练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题08 圆的证明与计算(高频考点专练)，共7页。试卷主要包含了圆的基本性质应用，垂径定理的综合应用题型三，弧长与扇形面积的计算题型七，圆的动点、探究型问题，切线的判定与证明，切线的性质与计算，圆中线段长度的计算等内容，欢迎下载使用。
高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）聚焦题型精准解密（8 大题型精讲+变式拔高训练）
题型一 圆的基本性质应用（角度、弧的判定与计算）
题型二 垂径定理的综合应用题型三 切线的判定与证明 题型四 切线的性质与计算题型五 圆中线段长度的计算
题型六 弧长与扇形面积的计算（扇形、弓形、不规则图形）题型七 圆与三角形、四边形的综合证明与计算
题型八 圆的动点、探究型问题
实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升）
圆的证明与计算是中考数学几何板块的核心必考内容，分值约 12～20 分，题型覆盖选择题、填空题、解答题，其中解答题为压轴高频题型，以中档题、难题为主，侧重考查圆的基本性质与三角形、四边形、相似形、三角函数的综合运用，是拉开分数差距的关键板块。
基础知识必备：掌握圆的有关概念（圆心、半径、弦、弧、圆周角、圆心角、切线等）；熟练运用圆的基
本性质（垂径定理、圆周角定理及推论、圆心角与弧弦的关系、切线的判定与性质等）；能结合全等三角形、相似三角形的判定与性质进行几何证明；会利用勾股定理、三角函数求解圆中的线段长度、角度、面积等计算问题；掌握圆与三角形、四边形的综合构图与解题思路，形成规范的几何证明书写和逻辑推理习惯。
2026 中考预测：
题型稳定：圆周角与圆心角的角度计算、切线的判定与性质证明、圆中线段长度 / 面积计算为选择填空必
考内容，圆的综合证明与计算为解答题压轴必考；
难度平稳：基础题侧重圆的基本性质应用，中档题侧重单一知识点综合，难题侧重圆与相似、三角函数、动点问题的结合，不设置偏题、怪题，重点考查逻辑推理与数形结合能力；
命题趋势：贴近教材核心模型，部分题目结合生活实际背景（如圆形建筑、机械零件等），动点型、存在型探究题难度略有提升，整体强调几何模型构建与综合知识迁移能力。
题型一 圆的基本性质应用（角度、弧的判定与计算）
【典例 01】如图，在 ⊙ ?中，弦?? = ??，?? ⊥ ??于 E，?? ⊥ ??于 H．
(1)求证：?? = ??．
(2)若 ⊙ ?的半径为 5，?? = 8，?? = 4，求?? + ??的长．
【答案】(1)见解析
21
(2)3 +
【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键．
（1）由题意易得?? = ??，进而问题可求证；
（2）连接??，由勾股定理，得?? = 3．根据垂径定理可进行求解．
【详解】（1）证明：∵?? = ??，
∴?? = ??，?? + ?? = ?? + ??，即?? = ??，
∴?? = ??．
（2）解：连接??，
∵?? = ?? = 8，?? ⊥ ??，
∴?? = 4．
??2−??2
∴?? == 3，
同理可得?? = 21，
∴?? + ?? = 3 + 21．
【变式 01】（2025·湖北·模拟预测）如图，??是 ⊙ ?的直径，点?、?在⊙ ?上，∠??? = 116°，??∥??，
∠???的度数为（ ）
A．30°B．64°C．54°D．52°
【答案】D
【分析】此题考查了半径相等，平行线的性质及三角形内角和定理．根据三角形内角和定理可求得∠???的度数，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可求得∠???的度数．
【详解】解：∵∠??? = 116°，∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? = 180°−∠??? = 64°，
∵??∥??，
∴∠? = ∠??? = 64°，
∵?? = ??，
∴∠? = ∠? = 64°，
∴∠??? = 180°−2∠? = 52°．故选：D．
【变式 02】如图，??、??是 ⊙ ?的弦，且?? = ??，若∠??? = 80°，则∠???的度数为（）
A．40°B．46°C．48°D．50°
【答案】D
【分析】本题考查弧、弦、圆心角之间的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质．
连接??，由已知可得∠??? = ∠???，从而可得∠??? = ∠???，根据三角形的内角和定理，结合等腰三角形的性质计算即可．
【详解】解：连接??，
∵??、??是 ⊙ ?的弦，且?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠???−∠??? = ∠???−∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = 80°，
∴∠??? = 80°，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? + ∠??? + ∠??? = 180°，
1
∴∠??? = (180°−80°)
× 2 = 50°，
∴∠???的度数为50°．故选：D．
【变式 03】（25-26 九年级上·四川绵阳·期末）如图，??是半 ⊙ ?的直径，点?, ?在半圆周上，连接??，
?? ⊥ ??，垂足为?，∠??? + 2∠??? = 180°，?? + ?? = 6, ?? = 10，则?? = （ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；连接??，作?? ⊥ ??于 F，设?? = ?，则?? = 5−?,?? = 6−?，利用勾股定理求出? = 2，可得
?? = 5−2 = 3，然后证明△ ???≌ △ ???(AAS)，可得?? = ?? = 3，进而可得答案．
【详解】解：连接??，
∵?? = 10
∴?? = ?? = ?? = 5，
设?? = ?，则?? = 5−?,?? = 6−?，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴??2 +??2 = ??2，即(5−?)2 + (6−?)2 = 52，解得：?1 = 2，?2 = 9（舍去），
∴?? = 5−2 = 3，作?? ⊥ ??于 F，
∵?? = ?? = ??，
∴∠??? = ∠???，?? = ??，
∵∠??? + ∠??? + ∠??? = 180°，
∴2∠??? + ∠??? = 180°
∵∠??? + 2∠??? = 180°，
∴∠??? = ∠???，
又∵∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ?? = 3，
∴?? = 2?? = 6，故选：B．
【变式 04】已知 ⊙ ?的直径为 10，现 ⊙ ?内有两条弦?? = 5 2，?? = 5，则∠???的度数为．
【答案】15°或105°
【分析】首先证明出△ ???是等边三角形，得到??? = 60°，然后证明出??2 +??2 = 50 = ??2，得到
∠??? = 45°，然后分两种情况求解即可．
【详解】解：如图，连接??，??，??，
∵ ⊙ ?的直径为 10，?? = 5，
∴?? = ?? = ?? = 5，
∴ △ ???是等边三角形，
∴??? = 60°，
∵?? = ?? = 5，?? = 5 2，
∴??2 +??2 = 50 = ??2，
∴ △ ???是等腰直角三角形，∠??? = 45°，
点 C 的位置有两种情况，如左图时，∠??? = ∠??? + ∠??? = 60° + 45° = 105°；如右图时，∠??? = ∠???−∠??? = 60°−45° = 15°．
故答案为：15°或105°．
【点睛】本题考查了圆的基础知识，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
【变式 05】（2025·江西新余·一模）如图，??是 ⊙ ?的直径，??为 ⊙ ?的弦，?? ⊥ ??于点 E，连接??并延长到点 M，连接??，??，∠??? + ∠??? = 90°．
求证：?? ⊥ ??；
(2)若?? = 3 3，∠??? = 30°，求??的长．
【答案】(1)见解析
3
【分析】（1）根据圆周角定理，得∠??? = ∠???，结合∠??? + ∠??? = 90°，可以证明
∠??? + ∠??? = 90°，于是∠??? = 180°−∠???−∠??? = 90°即可得证?? ⊥ ??；
（2）根据?? ⊥ ??，?? = 3 3，∠??? = 30°，得
13 3，∠??? = ∠??? = 30°，根据
?? = ?? = 2?? = 2
??
?? = cs30°，解答即可．
【详解】（1）证明：根据圆周角定理，得∠??? = ∠???，
∵∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = 180°−∠???−∠??? = 90°，
∴?? ⊥ ??．
（2）解：∵?? ⊥ ??，?? = 3 3，∠??? = 30°，
1
∴?? = ?? = 2?? =
，∠??? = ∠??? = 30°，
3 3
2
??
∵?? = cs30°，
3 3
3
∴?? = 2 = 3．
2
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理，余弦函数的应用，熟练掌握定理是解题的关键．
题型二 垂径定理的综合应用
【典例 01】（25-26 九年级上·浙江宁波·期末）如图， △ ???内接于 ⊙ ?，??是 ⊙ ?的直径，过点?作??∥
??交⊙ ?于点?，交??于点?．
(1)求证：?? = ??．
(2)若?? = 2，?? = 5，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了垂径定理，直径所对的圆周角是直角，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识点是关键；
由直径所对的圆周角是直角及平行线的性质得?? ⊥ ??，由垂径定理即可证明；
由三角形中位线定理即可求解．
【详解】（1）证明：因为??是 ⊙ ?的直径，所以∠??? = 90°，
因为??∥??，
所以∠??? = ∠??? = 90°，所以?? ⊥ ??，
所以?? = ??．
（2）解：由（1）得?? = ??，所以点?是??的中点，
因为点?是??的中点，
所以??是△ ???的中位线，因为?? = 5，所以?? = 5，
因为?? = 2，所以?? = ??−?? = 5−2 = 3，所以?? = 2?? = 6．
【变式 01】（2026·广西贵港·一模）如图， ⊙ ?的直径??垂直于弦??，垂足是?，已知∠? = 22.5°, ?? = 2
2，则??的长为（ ）
2
A．3
【答案】B
B．4C．4
D．3
2
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键，根据圆周
角定理，得到∠??? = 45°，由垂径定理得到
1，由此得到△ ???是等腰直角三角形，结合等
?? = ?? = 2??
腰直角三角形的性质即可求解．
⏜
【详解】解：∵??所对圆周角为∠? = 22.5°，所对圆心角为∠???，
∴∠??? = 2∠? = 45°，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，?? = ?? =
1??，
2
∴∠??? = 90°−∠??? = 45°，
2
∴ △ ???是等腰直角三角形，?? = ?? = 2?? = 2 × 2
= 2，
22
∴?? = 2?? = 4，故选：B ．
【变式 02】（25-26 九年级上·浙江宁波·期末）河道里的水轮截面如图，圆轮被水面截得的弦??长为16m，轮子的吃水深度??为2m，则轮子的直径为（ ）
A．34mB．32mC．20mD．17m
【答案】A
【分析】本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．先表示?? = (?−2)m，求得?? = 8m，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：连接??，如图所示：
由条件可知1，
?? = 2?? = 8m
由题意得：?? = (?−2)m，
在Rt △ ???中，??2 = ??2 +??2，
∴?2 = (?−2)2 + 82，
∴? = 17m，
即轮子的直径为34m．故选：A．
【变式 03】（25-26 九年级上·浙江宁波·期末）图 1 是一个球形灯罩，图 2 是球形灯罩的轴截面示意图，过最高点?的直线??经过圆心，且垂直底座??于点?，点?, ?在圆上，??, ??都垂直于??．已知
?? = ?? = 1cm，?? = 12cm，?? = 31cm，则灯罩轴截面所在圆的半径为（ ）
A．15.5cmB．15.6cmC．15.7cmD．15.8cm
【答案】B
【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理，矩形的性质与判定，连接??交??于点?，设圆心为点 0，连接
??，证明四边形????是矩形，四边形????是矩形，得到?? = 1cm，由垂径定理可得?? = 6cm，设灯罩截面所在圆的半径为?cm，则?? = (30−?)cm,?? = ?cm，由勾股定理可得，??2 +??2 = ??2，据此即可求出答案．
【详解】解：连接??交??于点?，设圆心为点 0，连接??，
∵??，??都垂直于??．?? = ?? = 1cm，
∴?? ∥ ??,?? = ??，
∴四边形????是矩形，
∴?? ∥ ??，?? = ?? = 12cm，∠??? = ∠??? = 90°，
∵?? ⊥ ??，
∴?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ?? = 1cm，
∴?? = ??−?? = 30cm，
又∵直线??经过圆心，
∴?? = ?? =
1?? = 6cm，
2
设灯罩截面所在圆的半径为?cm，则?? = (30−?)cm,?? = ?cm
在Rt △ ???中，由勾股定理可得??2 +??2 = ??2，即(30−?)2 + 62 = ?2，
解得? = 15.6
即灯罩截面所在圆的半径为15.6cm，故选：B．
【变式 04】（25-26 九年级上·河南周口·月考）如图， 在⊙ ?中，??是直径，??是弦，且?? ⊥ ??于点
E，连接??，??．
(1)求证：∠??? = ∠???；
(2)若?? = 2，?? = 8，求⊙ ?的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理．
（1）根据垂径定理得出?? = ??，根据圆周角定理，即可得出答案；
（2）设⊙ ?半径为 r， 则?? = ?−2，根据垂径定理得
1，即?2 = 42 + (?−2)2，然后求
?? = ?? = 2?? = 4
出结果即可．
【详解】（1）证明：∵?? ⊥ ??，??是直径，
∴ ?? = ??，
∴∠??? = ∠???；
（2）解：设⊙ ?半径为 r， 则?? = ?−2，
∵?? ⊥ ??，??是直径，
∴?? = ?? =
1?? = 4，
2
由勾股定理得：??2 = ??2 +??2，即?2 = 42 + (?−2)2，
解得：? = 5，
即⊙ ?半径为 5．
【变式 05】（2025·河南郑州·一模）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为 0，直径??是河底线，弦??是水位线，??∥??，?? = 20米，∠??? = 15°．
(1)求??的长．
(2)一艘船要经过该桥洞，矩形????是该船水面以上部分的截面简化示意图，宽??为 10 米，高??为 2
米．受天气影响，若该船随水面上升 1 米，请判断该船能否通过该桥洞，并说明理由．
【答案】(1)10 3米
(2)该船能通过该桥洞，见解析
【分析】（1）由垂径定理可知?? = ??，易得
1米，∠??? = 2∠??? = 30°，于是
?? = ?? = 2?? = 10
∠??? = 60°，?? = ?? ⋅ sin60° = 5 3（米），再由?? = 2??可得答案；
（2）如图（1），延长??交??于点 F，交半圆 0 于点 H，则?? = 10米，?? = ?? = 2米，由（1）易得?? = 5
米，则?? = ??−??−?? = 3米，
【详解】（1）解：如图（1），过点 0 作?? ⊥ ??于点 E，则?? = ??，?? ⊥ ??．
连接??，则
1米，∠??? = 2∠??? = 30°，当箱子随水面上升 1 米，点 H 到线段??
?? = ?? = 2?? = 10
的距离为 2 米，求出当木箱刚好通过该桥洞时，??的长度，若该长度小于 2，则此木箱能通过该桥洞，否则不能．
∴ ∠??? = 60°，
∴ ?? = ?? ⋅ sin60° = 10 × 3 = 5 3（米），
2
∴ ?? = 2?? = 10 3（米）；
（2）解：该船能通过该桥洞．理由如下：
如图（1），延长??交??于点 F，交半圆 0 于点 H，则?? = 10米，?? = ?? = 2米，由（1）易得?? = 5米，
∴ ?? = ??−??−?? = 3米，
若该船随水面上升 1 米，则点 H 到线段??的距离为 2 米，
若该船刚好能通过该桥洞，情形如图（2），过点 0 作?? ⊥ ??于点 G，延长??交半圆 0 于点 H，连接??，
102−52
则?? = ?? = 5米，?? = 10米．
??2−??2
在Rt △ ???中，由勾股定理得?? =
=
= 5 3（米）．
∴ ?? = (10−5 3)米．
3
∵ 10−5< 2，
∴ 该船能通过该桥洞．
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、特殊角的三角函数值、含 30 度角的直角三角形性质、矩形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．
题型三 切线的判定与证明
【典例 01】（25-26 九年级上·湖北襄阳·期末）如图，??是 ⊙ ?的直径，点 C 在⊙ ?上，连接??．以??为边作菱形????，??交 ⊙ ?于点 F，?? ⊥ ??，垂足为 G．若?? = 12,?? = 5，
求证：??是 ⊙ ?的切线；
求线段??的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）菱形的性质，得到?? ∥ ??，根据?? ⊥ ??，得到?? ⊥ ??，即可得证；
（2）垂径定理结合勾股定理求出??，??的长，再根据线段的和差关系进行计算即可．
【详解】（1）解：∵菱形????，
∴?? ∥ ??，
∵?? ⊥ ??，
∴?? ⊥ ??，
∵??是 ⊙ ?的直径，
∴??是⊙ ?的切线；
（2）解：∵??是 ⊙ ?的直径，?? ⊥ ??，垂足为 G，
∴?? = ?? = 5，?? = 2?? = 10，
??2 + ??2
∴?? == 13，
∵菱形????，
∴?? = ?? = 13，
∴?? = ??−?? = 3．
【变式 01】（2026·山西长治·一模）如图，已知??是 ⊙ ?的直径，点?、?在⊙ ?上，点?在⊙ ?外，
∠??? = ∠?，∠??? = 30°．
(1)求∠???的度数；
(2)求证：??是 ⊙ ?的切线．
【答案】(1)60°
(2)见解析
【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角这一性质，得到直角三角形???，再根据三角形内角和定理求出∠???的度数．
（2）先通过同弧所对的圆周角相等得到∠? = ∠???，再结合已知条件∠??? = ∠?，推出∠???的度数，最后证明?? ⊥ ??，从而判定??是⊙ ?的切线．
【详解】（1）解：∵??是 ⊙ ?的直径，
∴ ∠??? = 90°，又∵ ∠??? = 30°，
∴ ∠??? = 60°．
（2）证明： ∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠?，
∵ ∠??? = 60°，
∴ ∠? = 60°，
∵ ∠??? = ∠?，
∴ ∠??? = 60°，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ?? ⊥ ??，
∴??是⊙ ?的切线．
【变式 02】（25-26 九年级上·江苏无锡·月考）如图，??是 ⊙ ?的直径，点?,?在圆上，?? = ??．过点?作
?? ⊥ ??交??的延长线于点?．
(1)求证：??是 ⊙ ?的切线；
(2)若?? = 14,?? = 25，求??的长．
【答案】(1)见详解
(2)24
??2−??2
【分析】（1）连接??，??，由垂径定理的推论得到?? ⊥ ??，由直径得到∠??? = 90°，推出??∥??，得到∠??? = 90°，即可证明??是⊙ ?的切线；
（2）作?? ⊥ ??，由垂径定理得到1
，利用勾股定理求出?? =
= 24，得到四边形
?? = 2?? = 7
????是矩形，根据矩形性质可得??长．
【详解】（1）解：连接??，??，如图所示：
∵?? = ??，
∴?? ⊥ ??，
∵??是 ⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，
∴??∥??，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∵??是⊙ ?的半径，
∴??是⊙ ?的切线；
（2）解：如图，作?? ⊥ ??交??于点 F，
∵?? ⊥ ??，
1
∴?? = 2?? = 7
??2−??2
在Rt △ ???中，由勾股定理得：?? == 24
∵∠??? = ∠??? = ∠??? = 90°，
∴四边形????是矩形，
∴?? = ?? = 24．
【变式 03】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，??是 ⊙ ?的直径，??是 ⊙ ?的切线，?为切点，连接??，过点?作?? ∥ ??交 ⊙ ?于点?，连接??和??，??交??于点?．
(1)求证：??是 ⊙ ?的切线；
1
(2)若sin∠??? = 3，且?? = 2 3，求切线??的长．
【答案】(1)见解析；
(2)?? = 3 3．
【分析】本题考查切线的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及垂径定理，锐角三角函数，掌握切线的判定和性质，垂径定理以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据等腰三角形的性质，平行线的性质以及全等三角形的判定和性质可证出 △ ??? =△ ???，进而得出∠??? = ∠???，由切线的性质得出 ∠??? = 90°，进而得出?? ⊥ ??即可；
利用锐角三角函数的定义以及垂径定理进行计算即可；
【详解】（1）证明：连接??，
∵??是 ⊙ ?的直径 ，
∴∠??? = 90°，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，即?? ⊥ ??，
∴?? = ??，
∴??垂直平分??，
∴?? = ??，
∵?? = ??，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SSS)，
∴∠??? = ∠???，
∵??是 ⊙ ?的切线，
∴∠??? = 90° = ∠???，
∵??是⊙ ?的半径，
∴??是⊙ ?的切线；
（2）解：∵?? = 2 3，由（1）可知??垂直平分??，
∴?? =
1?? = 3，
2
∵∠??? + ∠??? = 90°，∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
1
∴sin∠??? = sin∠??? = 3，
3
在中，
??
1
∴Rt △ ????? ==
sin∠???
3
= 3 3．
【变式 04】（2026·山东·一模）如图，??是⊙?的直径，?是??的中点，连接??并延长到点?，使
?? = ??，?是??的中点，连接??并延长交??延长线于点?．
求证：??是 ⊙ ?的切线；
若??交 ⊙ ?于点?，连接??，且?? = 2，求??的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)4 5
5
【分析】（1）先通过弧中点的性质结合垂径定理的推论得到?? ⊥ ??，再利用三角形中位线定理证明
?? ∥ ??，进而推出?? ⊥ ??，结合切线的判定定理完成证明；
（2）先根据已知半径求出??的长度，通过全等三角形得到??的长度，再用勾股定理求出??的长度，最后利用直径所对圆周角为直角的性质，结合三角形等面积法求出??的长度．
【详解】（1）解：连接??，如图所示：
∵??是 ⊙ ?的直径，点?是??的中点，
∴?? = ??，?? = ??， 根据垂径定理得?? ⊥ ??，
在△ ???中，?? = ??，?? = ??，
∴??是△ ???的中位线，
∴?? ∥ ??，
∵?? ⊥ ??，
∴?? ⊥ ??，即?? ⊥ ??，又∵??是 ⊙ ?的半径
，∴??是 ⊙ ?的切线；
（2）解：∵?? = 2，
∴?? = ?? = ?? = 2，?? = ?? + ?? = 4，
∵??是⊙?的切线，?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∵点?是??的中点，
∴?? = ??，
在△ ???和△ ???中，
∠??? = ∠??? = 90°
?? = ??，
∠??? = ∠???
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴?? = ?? = 2，
∵∠??? = 90°，
??2 + ??2
∴ △ ???是直角三角形，由勾股定理得?? =
=
= 2 5，
42 + 22
∵??是 ⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，即?? ⊥ ??，
由三角形面积公式得?△???11，
= 2 × ?? × ?? = 2 × ?? × ??
∴?? =
??×??
??=
4×2
=．
2 5
4 5
5
【变式 05】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，已知 ⊙ ?是△ ???的外接圆，?? = ??．?，?分别是
??，??的中点，连接??并延长至点?，使?? = ??，连接??．
求证：??与 ⊙ ?相切；
，
(2)若tan∠??? = 3?? = 6，求⊙ ?的半径．
4
【答案】(1)证明见解析
5
【分析】（1）连接??，可得?? ⊥ ??，即得??过圆心?，证明 △ ???≌ △ ???(SAS)，得∠? = ∠???，得
到??∥??，即得?? ⊥ ??，即可求证；
??3
??2 + ??2
（2）过点?作?? ⊥ ??于点?，连接??，由锐角三角函数得?? = 4，设?? = 3?，则?? = 4?，利用勾股定
??2 + ??2
理可得?? = ?? =
= 5?，得到?? = ??−?? = ?，即得?? =
= 10?，即得到
3 10
5
10? = 6，解得? =，即得?? = 3 10，又由等腰三角形的性质可得?? = ?? = 3，即可得?? =
??2−??2
= 9，设⊙ ?的半径为?，则?? = 9−?，在?? △ ???中利用勾股定理解答即可求解．
【详解】（1）证明：如图①，连接??，
∵ ?? = ??，?为??的中点，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ??过圆心?，
∵ ?为??的中点，
∴ ?? = ??，
又∵∠??? = ∠???，?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???(SAS)，
∴ ∠? = ∠???，
∴??∥??，
∴ ?? ⊥ ??，
∵??为 ⊙ ?的半径，
∴ ??为⊙ ?的切线；
（2）解：如图②，过点?作?? ⊥ ??于点?，连接??，
??3
3
∵ tan∠??? = 4，
∴ ?? = 4，
设?? = 3?，则?? = 4?，
??2 + ??2
∴ ?? = ?? == 5?，
∴ ?? = ??−?? = ?，
??2 + ??2
∴ ?? == 10?，
∵?? = 6，
∴ 10? = 6，
3 10
5
6
∴ ? = =，
10
∴ ?? = 5? = 3 10，
∵ ?? = ??，?? = 6，?? ⊥ ??，
∴ ?? = ?? = 3，
??2−??2
∴ ?? =
=
= 9，
(3 10) −32
2
设⊙ ?的半径为?，则?? = 9−?，在Rt △ ???中，?2 = (9−?)2 + 32，解得? = 5，
∴⊙ ?的半径为5．
【点睛】本题考查了圆的对称性，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定，锐角三角函数，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
题型四 切线的性质与计算
【典例 01】（25-26 九年级上·山东济南·期末）如图，在Rt △ ???中，∠? = 90°，?是斜边??上的一点，以
??为直径的 ⊙ ?与边??相切于点?．
求证：??平分∠???；
(2)若?? = 5，?? = 4，求⊙ ?半径的长．
【答案】(1)见解析
8
25
【分析】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用圆的相关性质结合相似三角形的判定与性质解决问题．
（1）连接??，利用切线的性质得?? ⊥ ??，结合∠? = 90°证?? ∥ ??，得∠??? = ∠???，再由?? = ??得
∠??? = ∠???，从而证∠??? = ∠???；
（2）连接??，由直径所对的圆周角是直角得∠??? = 90°，结合∠? = 90°和??平分∠???证
△ ??? ∽△ ???，利用相似三角形的对应边成比例求出??的长，进而求出 ⊙ ?的半径．
【详解】（1）证明：连接??，
∵⊙ ?与??相切于点?，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ∠? = 90°，
∴ ∠??? = ∠?，
∴ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，即??平分∠???．
（2）解：连接??，
∵ ??是 ⊙ ?的直径，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ∠? = 90°，
∴ ∠??? = ∠?，
又∵ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
5
∴ 4 =
??
5 ，
25
∴ ?? = 4 ，
∴ ? =
??25
2 = 8 ．
【变式 01】在 ⊙ ?中，??为直径，?为 ⊙ ?上一点．
如图①，过点?作 ⊙ ?的切线，与??的延长线相交于点?，若∠??? = 27°，求∠?的大小；
如图②，?为弧??上一点，且??经过??的中点?，连接??并延长，与??的延长线相交于点?，若
∠??? = 10°，求∠?的大小．
【答案】(1)36°
(2)30°
【分析】（1）如图所示，连接??，由切线的性质得∠??? = 90°，根据圆周角定理得∠??? = 54°，在?? △ ???
中，由直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）如图所示，连接??，则?? = ??，根据垂径定理可得即∠??? = 90°，由直角三角形两锐角互余得到
∠??? = 40°，由三角形外角的性质得到∠??? = ∠??? + ∠?，则∠? = ∠???−∠???，根据同弧或等弧所对圆周角相等得到∠??? = ∠??? = 10°，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接??，
∵过点?作⊙ ?的切线，与??的延长线相交于点?，
∴?? ⊥ ??，即∠??? = 90°，
∵??所对的圆周角为∠??? = 27°，所对的圆心角为∠???，
∴∠??? = 2∠??? = 2 × 27° = 54°，
在?? △ ???中，∠? = 90°−∠??? = 90°−54° = 36°；
（2）解：如图所示，连接??，则?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∵??经过??的中点?，
∴?? ⊥ ??，即∠??? = 90°，
在?? △ ???中，∠??? = 90°−∠???° = 80°，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 80°，
∴∠??? = 40°，
∵∠??? = ∠??? + ∠?，
∴∠? = ∠???−∠???，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = 10°，
∴∠? = ∠???−∠??? = 40°−10° = 30°．
【点睛】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形两锐角互余，等边对等角，三角
形外角的性质等知识的综合，掌握切线的性质，圆周角定理，垂径定理的知识是解题的关键．
【变式 02】已知??是 ⊙ ?的直径，??是 ⊙ ?的切线，?? = 10．
(1)如图①，若∠??? = 45°，求直径??的长；
(2)如图②，点?是??上一点，若∠??? = 45°，??与⊙ ?相交于点?，过点?作弦?? ∥ ??，与??相交于点
?，?? = 12，求??和直径??的长．
【答案】(1)10
(2)?? = 4，?? = 13；
【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．；
（1）由题意得∠??? = 90°；推出∠??? = 45° = ∠???即可求解；
（2）连接??，同理可得?? = ?? = 10；根据?? ∥ ??，推出?? ⊥ ??，即∠??? = 90°；进而得?? = 1
2
?? = 6 = ??，设半径为?，则?? = ?−4，根据??2 +??2 = ??2，即可求解；
【详解】（1）解：∵??是 ⊙ ?的切线，
∴?? ⊥ ??，即∠??? = 90°；
∵∠??? = 45°，
∴∠??? = 45°，
∴?? = ?? = 10；
（2）解：连接??，如图所示：
∵∠??? = 45°，∠??? = 90°；
∴∠??? = 45° = ∠???，
∴?? = ?? = 10；
∵?? ∥ ??，
∴?? ⊥ ??，即∠??? = 90°；
∵∠??? = 45°，
∴∠??? = 45° = ∠???，
∴?? = ??，
∵??是 ⊙ ?的直径，?? ⊥ ??，
∴?? =
1?? = 6 = ??，
2
∴?? = ??−?? = 4；
设半径为?，则?? = ?−4，
∵??2 +??2 = ??2，
2 ，
∴(?−4)2 + 62 = ?2，解得：? = 13
∴?? = 2? = 13；
【变式 03】如图，已知 △ ???内接于⊙?，??是⊙?的直径，点 E 在??上，过 E 作⊙?的切线，交??的延长线于点 F，且∠??? = ∠???．
求证：??平分∠???；
(2)若?? = 4，?? = 8，求??的长．
【答案】(1)见解析
7.2
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、垂径定理和相似三角形的判定与性质．
（1）连接??交??于 G 点，如图，先根据切线的性质得到∠??? = 90°，根据圆周角定理得到∠??? = 90°，
则可判断∠??? = ∠???，再证明∠??? = ∠???，从而得到结论；
（2）先证明??∥??，则 △ ???∽ △ ???，利用相似三角形的性质求出??，然后利用??为 △ ???的中位线，从而得到?? = 2??．
【详解】（1）证明：如图，连接??，交??于点 G，
∵??与⊙ ?相切于点 E，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°．
∵??是 ⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = 90°．
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???．
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴??平分∠???．
（2）解：∵??是 ⊙ ?的直径，
∴∠? = 90°．
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???．
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴??∥??，
∴∠? = ∠??? = 90°，即?? ⊥ ??．
∵??经过圆心，
∴?? = ??．
∵?? = ??，
∴??是△ ???的中位线，
∴?? = 2??．
∵∠? = ∠?，∠??? = ∠???，
∴ △ ???∽ △ ???，
∴?? = ??
??
∴ 8
??
??，
4
= 8，
∴?? = 16，
∴?? = ??−?? = 16−4 = 12，
∴?? = ?? = ?? =
1?? = 6．
2
∵∠??? = ∠??? = 90°，
∴??∥??，
∴?? = ??
??
∴ 6
6+4
??，
??
= 6 ，
解得?? = 3.6，
∴?? = 2?? = 7.2，
∴??的长为7.2．故答案为：7.2．
【变式 04】（2025·天津滨海新·一模）已知??，??为 ⊙ ?的直径，弦?? ⊥ ??，连接??，??，∠??? = 30°．
如图①，求∠???和∠???的度数；
如图②，过点 D 作⊙ ?的切线，与??的延长线交于点 G， ⊙ ?的半径为 4，求线段??的长．
【答案】(1)∠??? = 30°，∠??? = 30°
(2)4 3
3
【分析】本题主要考查垂径定理，切线的性质，特殊角的三角函数值的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
（1）在⊙ ?中，??为直径，?? ⊥ ??，则∠??? = 30°，∠??? = ∠??? = 30°，由三角形外角的性质得到
∠??? = ∠??? + ∠??? = 60°，再根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）连接??，可得∠? = 60°，1
??
，在Rt △ ???中，tan∠? =，由此即可求解．
?? = 2?? = 4
【详解】（1）解： ∵ 在⊙ ?中，??为直径，?? ⊥ ??，
∴?? = ??，
∵ ∠??? = 30°，
∴ ∠??? = ∠??? = 30°，
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 30°，
∴ ∠??? = ∠??? + ∠??? = 60°，
∴ ∠??? = 90−∠??? = 90°−60° = 30°．
（2）解：如图②，连接??，
由（1）得，∠??? = 30°，
∵ ??为⊙ ?的切线，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ∠? = 60°，
∵ ??为 ⊙ ?的直径，
??
∴ ∠??? = ∠??? = 90°
在Rt △ ???中，?? = 2?? = 8，
∴ ?? =
1?? = 4，
2
??
在Rt △ ???中，tan∠? = ??，
4
∴ tan60° = ??，
．
4 3
∴ ?? = 3
【变式 05】（25-26 九年级下·江苏无锡·月考）已知△???中，∠??? = 30°，??为 ⊙ ?的弦，直线??与 ⊙ ?
相切于点?．
如图 1，连接??，若??∥??，直径??与??相交于点?，求∠???和∠???的大小；
如图 2，若??∥??，?? ⊥ ??，垂足为?，??与??相交于点?，?? = 6，求线段??的长．
【答案】(1)∠??? = 120°，∠??? = 30°
3
(2)2
【分析】（1）根据切线性质得出?? ⊥ ??于点?，即∠??? = 90°，根据平行线的性质得出
∠??? + ∠??? = 180°，求出∠??? = 90°，根据垂径定理得出?? = ??，1
，求出
∠??? = ∠??? = 2∠???
∠??? = ∠??? = 60°，得出∠??? = 120°，根据圆周角定理得出∠??? = 30°；
（2）连接??，求出∠??? = ∠? = 30°，根据含30度角的直角三角形的性质得出2?? = ??，设?? = ?，则
?? = 2?，根据勾股定理得出??2 = ??2 +??2，即可得出4?2 = ?2 +36，求出 x 的值即可．
【详解】（1）解：如图 1 所示，
∵??为 ⊙ ?的切线，且??为⊙ ?直径，
∴?? ⊥ ??于点?，即∠??? = 90°，
∵??∥??，
∴∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? = 90°， 即?? ⊥ ??于点?，
∵?? ⊥ ??于点?，且??为⊙ ?直径，
∴?? = ??，1，
∠??? = ∠??? = 2∠???
∵∠??? = 30°, ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = 60°，
∴∠??? = 120°，
∵?? = ??，
∴∠??? =
1∠??? = 30°；
2
（2）解：连接??，
由（1）可知∠??? = ∠??? = 90°，且∠? = 30°，
∵∠??? = ∠???，∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠? = 30°，
∵?? = ?? = 6，∠??? = 30°，
∴2?? = ??，
设?? = ?，则?? = 2?，
∴由勾股定理??2 = ??2 +??2，即4?2 = ?2 +36，
解得? = 2 3，负值舍去，即线段??的长为2 3．
题型五 圆中线段长度的计算
【典例 01】（2024·湖南·模拟预测）如图，??是 ⊙ ?的直径， △ ???是 ⊙ ?的内接三角形．若
∠??? = ∠???，?? = 4，则⊙ ?的直径??的长为（ ）.
2
A．4
【答案】A
B．4
C．6D．7
3
【分析】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是90°，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
连接??，??，根据在同圆中直径所对的圆周角是90°可得∠???=90°，根据圆周角定理可得∠??? = ∠???，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得?? = ??，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：连接??，??，如图：
∵??是 ⊙ ?的直径，
∴∠???=90°，
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??，又∵?? = 4，
∴?? = 4，
??2 + ??2
在Rt △ ???中，?? =
=
= 4 2，
42 + 42
故选：A．
【变式 01】（2026·山东临沂·模拟预测）如图，△ ???为等腰三角形且?? = ??，∠? = 30°，圆 0 为△ ???
的外接圆，圆上有一点 D，连接??，交??于点 E，点 E 恰好为??边上靠近 C 的三等分点，已知
??·?? = 32，则圆 0 的半径为（ ）（提示： sin15° = 6− 2，cs15° = 6+ 2，tan15° = 2− 3）
2
2
A．4 6−4
44
2
6
2
B．6 6−6
6
C．4
【答案】B
+4
D．6+6
【分析】连接??、??、??，过点 0 作?? ⊥ ??于点 F，证明△ ??? ∽△ ???，求出??的长，由垂径定理可得??的长，证明△ ???是等边三角形得到∠??? = 60°，再求出∠??? = 15°，则可根据锐角三角函数求出??的长．
【详解】解：连接??、??、??，过点 0 作?? ⊥ ??于点 F，
∵∠? = 30°，
∴∠? = ∠? = 30°，∠??? = 2∠? = 60°，
又∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??
??
??，
∴??·?? = ??·??，
∵??·?? = 32，
∴??·?? = 32，
∵点 E 恰好为??边上靠近 C 的三等分点，
∴?? = 2??，
设?? = 2?，?? = ?，则2?2 = 32
解得：? = 4或? = −4（舍去），
∴?? = ?? + ?? = 2? + ? = 12，
∵?? ⊥ ??，
∴?? =
1?? = 6；
2
∵?? = ??，∠??? = 60°，
∴ △ ???为等边三角形，
∴∠??? = 60°，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠??? =
180°−∠?
2
= 75°，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 15°，
??66
∴?? = cs∠??? = cs15° = 6+ 2 = 6 6−6 2，
4
∴圆 0 的半径为6 6−6 2，故选：B，
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等边三角形的性质与判定等，根据已知条件联想所学知识，并作出辅助线，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质以及垂径定理求出长度．
【变式 02】如图，在 ⊙ ?中，弦??垂直平分半径??．
求∠?的度数；
若 ⊙ ?的半径为?，求弦??的长．
【答案】(1)60°
(2) 3?
【分析】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
（1）由已知条件得出?? = 1?? = 1??，证出∠??? = 30°，得出∠??? = 60°，证出△ ???是等边三角形，
22
即可得出结果；
（2）由垂径定理得出
1，由勾股定理得出方程，解方程即可得解．
?? = 2??
【详解】（1）解： ∵ 弦??垂直平分半径??．
∴ ∠??? = 90°，?? =
1
2?? =
1??，
2
∴ ∠??? = 30°，
∴ ∠??? = 90°−30° = 60°，
∵ ?? = ??，
∴△ ???是等边三角形，
∴ ∠? = 60°；
（2）解： ∵⊙ ?的半径为?，
∵ ??垂直平分半径??，
∴ ?? =
1??，?? =
2
1?，
2
在Rt △ ???中，??2 = ??2 +??2，
即?2 =
2
1 ?+
2
2
，
1 ??
2
解得：?? = 3?或?? = − 3?（舍去），
∴ 弦??的长为 3?．
【变式 03】如图，??是 ⊙ ?的直径，弦?? ⊥ ??于点 E，点 P 在⊙ ?上，弦??与??交于点 F，且?? = ??．
求证：?? ∥ ??；
(2)若?? = 26，?? = 24，求??的长度．
【答案】(1)见解析
8
【分析】（1）根据等边对等角得∠? = ∠???，由同弧所对的圆周角相等得∠? = ∠?，利用内错角相等两直
线平行即可判定；
（2）连接??，根据垂径定理可得
1和1
，利用勾股定理可求得??，即可求得??的长
?? = ?? = 2???? = 2??
度．
【详解】（1）证明： ∵ ?? = ??，
∴ ∠? = ∠???，
∵ ∠? = ∠?，
∴ ∠? = ∠???，
∴ ?? ∥ ??；
（2）解：如图，连接??，
∵ ??是直径，?? ⊥ ??，
∴ ?为??的中点，
∵ ?? = 26，?? = 24，
132−122
∴ ?? = ?? = 13，?? = 12，
??2−??2
∴ ?? =
=
= 5，
∴ ?? = ??−?? = 13−5 = 8．
【点睛】本题考查了等边对等角、同弧所对的圆周角相等、平行线的判定、垂径定理和勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识．
【变式 04】如图，??是Rt △ ???斜边上的高，以?为圆心，??为半径作圆，与??交于点?，连接??．
(1)求证：??平分∠???；
3
(2)如果?? = 6，tan? = 4，求??的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）根据等角的余角相等性质，证明即可；
（2）根据?? = 6，tan? = ?? = 3，求得?? = 8，继而得到?? = 10，过点 D 作?? ⊥ ??于点 M，根据三角
??4
函数，求解即可．
【详解】（1）证明： ∵ ??是Rt △ ???斜边上的高，
∴ ∠??? = 90° = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ 90°−∠??? = 90°−∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ??平分∠???；
（2）解： ∵ ?? = 6，tan? = ?? = 3，
??4
∴ ?? = 8，
??2 + ??2
∴ ?? == 10，
过点 D 作?? ⊥ ??于点 M，
∵ ??平分∠???；
∴ ?? = ??，tan∠??? = tan∠???，
????
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ?? = 6，
∴ ?? = ??−?? = 4，
??3
∵ tan? = ?? = 4，
∴ ?? = 3，
??2 + ??2
∴ ?? == 5．
【变式 05】（2024·安徽·模拟预测）如图，??为 ⊙ ?的直径，弦?? ⊥ ??交??于点 E，F 为??上一点，连接??并延长，交??的延长线于点 G，连接??，??，??．
(1)求证：∠??? = ∠???；
(2)若?? = 1，?? = ??，F 为??的中点，求??的长．
【答案】(1)见解析
3
(2)4
【分析】（1）利用垂径定理得到?? = ??，则∠??? = ∠???，利用圆内接四边形的性质得到
∠??? + ∠??? = 180°，利用平角的定义得到∠??? + ∠??? = 180°，再利用等量代换即可证明；
（2）连接??、??，利用垂径定理得到?? = ??，?? = ??，进而证出 △ ???是等边三角形，则
∠??? = ∠??? = 60°，再利用含 30 度角的直角三角形的性质求出??的长，进而得到??的长，利用勾股定理求出??的长，利用圆周角定理求出∠??? = 90°，再利用含 30 度角的直角三角形的性质即可求解??的长．
【详解】（1）证明：∵?? ⊥ ??，
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∵四边形????内接于⊙ ?，
∴∠??? + ∠??? = 180°，
∵∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???；
（2）解：如图，连接??、??，
∵?? ⊥ ??，
∴?? = ??，?? = ??，∠??? = 90°，
∴?? = ??，∠??? = ∠??? = ∠???，
∵?? = ??，
∴?? = ?? = ??，
∴ △ ???是等边三角形，
∴∠??? = ∠??? = 60°，
∴∠??? =
1
2∠??? =
1 × 60° = 30°，
2
∴∠??? = 30°，
∴在Rt △ ???中，?? = 2?? = 2，
∵??为 ⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，
∵∠??? = 30°，
∴在Rt △ ???中，?? = 2?? = 2 × 2 = 4，
??2−??2
∴?? == 2 3，
∵F 为??的中点，
∴?? = ??，
∴∠??? = ∠??? =
1
2∠??? =
1 × 60° = 30°，
2
∴∠??? = ∠??? = 30°，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = 60° + 30° = 90°，
∴∠? = 90°−∠??? = 90°−60° = 30°，
3
∴在Rt △ ???中，?? = 2?? = 2 × 2= 4 3，
∴??的长为4 3．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆内接四边形、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、含 30 度角的直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
题型六 弧长与扇形面积的计算（扇形、弓形、不规则图形）
【典例 01】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图， △ ???内接于 ⊙ ?，过点 A 作??平行于??交??的延长线于点 B，∠??? = ∠???．
(1)求证：??是 ⊙ ?的切线；
⏜
(2)若?? = ?? = 4，求??的长．
【答案】(1)见解析
2
(2) 2?
【分析】（1）连接??，利用圆周角定理得到
1，再利用三角形的内角和定理得到
∠??? = ∠??? = 2∠???
∠??? = 90°,进而得到∠??? = ∠??? = 90°，从而得出结论；
??2 + ??2
（2）根据勾股定理得到?? == 2?? = 4，进而求出??的长，再利用圆周角定理求出
∠??? = 2∠??? = 45°，最后利用弧长公式计算即可．
【详解】（1）证明：如图，连接??，则?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠??? =
1∠???，
2
∴ ∠??? = ∠??? =
1∠???，
2
∵ ∠??? + ∠??? + ∠??? = 180°，
1
∴ ∠??? +
2
1∠??? + ∠??? = 180°，
2
∴ ∠??? = 90°，
∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∵ ??是 ⊙ ?的半径，且?? ⊥ ??，
∴ ??是 ⊙ ?的切线；
（2）解：如图，连接??，
∵ ?? = ?? = 4，?? = ??，∠??? = 90°，
∴ ∠? = ∠???，∠??? = ??? = 45°，
??2 + ??2
∴ ?? == 2?? = 4，
∴ ?? = 2 2，
∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠??? =
1∠??? = 22.5°，
2
∴ ∠??? = 2∠??? = 45°，
⏜45π×2 2 2
∴ ??的长是 180= 2 π．
【变式 01】如图，点?在 ⊙ ?的直径??的延长线上，点?在 ⊙ ?上，连接??、??．已知?? = ??，∠? = 30°；
(1)求证：??与 ⊙ ?相切；
(2)在（1）的条件下，若?? = 6，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
3
(2)2π +3
【分析】本题考查了切线的判定，特殊角的三角函数，求扇形的面积，解题的关键是：熟练掌握相关定理．
（1）连接??，由?? = ??，∠? = 30°，得到∠? = ∠? = 30°，∠??? = 120°，由?? = ??，得到
∠??? = ∠? = 30°，进而得到∠??? = 90°，即可求证；
（2）作?? ⊥ ??，根据特殊角三角函数求出?? = 3，?? = ?? = 2 3，根据?阴影 = ?扇形??? + ?△???即可求解．
【详解】（1）证明：如图 1，连接??，
∵ ?? = ??，∠? = 30°，
∴ ∠? = ∠? = 30°，∠??? = 120°，
∵ 点?，点?在⊙ ?上，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠? = 30°，
∴ ∠??? = ∠???−∠??? = 120°−30° = 90°，
∴ ??与 ⊙ ?相切．
（2）解：如图 2，过点?作?? ⊥ ??于?，
∵ ∠? = ∠? = 30°，?? ⊥ ??，
∴ ?? =
1
2?? =
1 × 6 = 3，
2
∵ ∠? = 30°，∠??? = 90°，
??
??3
∴tan∠? = ??，即tan30° = ?? = 3 ，
∴ ?? = 3?? = 3 × 6 = 2 3，
∴ ?
33
= 60 × π × (2 3)2 = 2π，?1
1，
扇形???
360
△??? = 2 × ?? × ?? = 2 × 3 × 2= 3
3
3
∴ ?阴影 = ?扇形??? + ?△??? = 2π +3 3．
【变式 02】（2025·江西抚州·一模）如图，??是 ⊙ ?的直径，?、?为圆上两点，?? ⊥ ??，垂足为点?，连接??并延长到点?，连接??，??，∠? + ∠? = 90°．
(1)求证：??是 ⊙ ?的切线；
(2)若?? = 6，∠??? = 30°，求??的长．
【答案】(1)详见解析
(2)4 3?
3
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，解直角三角形，弧长公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用圆周角定理得到∠? = ∠?，得出∠??? = 90°，即可得到结论；
（2）连结??，得到
1，求出?? = ??
= 2 3，
∠??? = 60°,?? = ?? = 2?? = 3
sin60°
求出??的长 = 120?×2 3 = 4 3?．
1803
【详解】（1）证明： ∵ ∠? + ∠? = 90°，∠? = ∠?，
∴ ∠? + ∠? = 90°，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ??是 ⊙ ?的直径，
∴ ??是 ⊙ ?的切线；
（2）解：连结??，
∵ ??是 ⊙ ?的直径，?? ⊥ ??
∴ ??垂直平分 CD
∵ ∠??? = 30°，?? = 6，
∴ ∠??? = 60°,?? = ?? =
1?? = 3，
2
∴ ∠??? = 120°，
∴ ∠??? = 60°，
∴ ?? =
??
= 2 3，
sin60°
∴ ??的长 = 120?×2 3 = 4 3?．
1803
【变式 03】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在Rt △ ???中，∠? = 90°，??平分∠???交??于点
?，点?是斜边??上一点，以??为直径的⊙ ?经过点?，交??于点?，连接??．
(1)求证：??是 ⊙ ?的切线；
(2)若?? = 6，tan∠??? = 3，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】(1)见解析
(2)8π
【分析】（1）连接??，由?? = ??，得到∠??? = ∠???，由角平分线定义得到∠??? = ∠???，因此
∠??? = ∠???，推出?? ∥ ??，得到半径?? ⊥ ??，即可证明问题；
（2）连接??，??，由tan∠??? = 3，得到∠??? = 60°，由直角三角形的性质求出??长，由锐角的余弦求出??长，得到圆的半径长，由?? ∥ ??，推出阴影的面积＝扇形???的面积，由扇形面积公式即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接??，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∵??平分∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠? = 90°，
∴?? ⊥ ??，
又∵??是 ⊙ ?的半径，
∴??是⊙ ?的切线；
（2）解：如图，连接??，??，
∵∠? = 90°，tan∠??? = 3，
∴∠??? = 60°，∠??? = 30°，
∵?? = 6，
∴?? = 2?? = 12，
∵??是⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，
∵??平分∠???，
∴∠??? = ∠??? = 30°， 在Rt △ ???中，?? = 12，
，
??3
∵cs∠??? = ?? = 2
∴?? = 8 3，
∴?? =
1?? = 4 3，
2
∵??平分∠???，
∴∠??? = 2∠??? = 60°，
∵?? = ??，
∴ △ ???是等边三角形，
∴∠??? = 60°，
∵?? ∥ ??，
∴?△??? = ?△???，
∴?阴影
2
360
= ?扇形??? = 60π×(4 3) = 8π．
【点睛】本题考查切线的判定，扇形面积的计算，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理，角平分线定义．
【变式 04】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在 △ ???中，?? = ??，以??为直径的 ⊙ ?交??于点?，过点?作?? ⊥ ??，垂足为点?，延长??交 ⊙ ?于点?．
求证：??是 ⊙ ?的切线；
(2)若?? = 4，∠? = 30°，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
6 3− π
8
3
【分析】（1）如图，连接??，由?? = ??根据“等边对等角”得∠??? = ∠???，已知∠? = ∠?，即可得
∠??? = ∠?，根据“同位角相等，两直线平行”得??∥??，根据?? ⊥ ??，可得?? ⊥ ??即可证明结论；
（2）如图，过点?作?? ⊥ ??，垂足为点?，根据垂径定理，则得
1，再根据等边对等角
?? = ?? = 2?? = 2
以及三角形的外角的性质可得∠??? = 60°，解直角三角形可得?? = 2 3，?? = 4，进而得到?△??? = 2
3；再证明四边形????是矩形，以及?
= 8 3；易得∠??? = 2∠? = 60°，则?
= 60π⋅42 = 8
矩形????
π，最后根据?阴影 = ?矩形????−?△???−?扇形???求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接??，
扇形???
3603
∴ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴ ∠? = ∠?，
∴ ∠??? = ∠?，
∴ ??∥??，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ??是⊙ ?的切线．
∵ 以??为直径的 ⊙ ?交??于点?，
（2）解：如图，过点?作?? ⊥ ??，垂足为点?，
在⊙ ?中?? ⊥ ??，?? = 4， 1
∴ ?? = ?? = 2 ?? = 2
∵ ?? = ??，
∴ ∠? = ∠? = 30°，
∴ ∠??? = ∠? + ∠? = 60°，
∴ ?? = ?? ⋅ tan60° = 2 3，?? =
??
cs60°
= 4 = ??，
∴ ?
1
3
△??? = 2 × 2 × 2
= 2，
3
∵ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，∠??? = 90°，∠??? = 90°，
∴ 四边形????是矩形，
3
∴ ?矩形???? = 4 × 2= 8 3，
∵ ∠??? = 2∠? = 60°，
∴ ?
= 60π⋅428 ，
∴ ?
扇形???
= ?
360 = 3π
−?
−?
88 ．
阴影矩形????
△???
扇形??? = 8 3−2 3−π = 6 3−π
33
【点睛】对于涉及切线的问题常常连接圆心和切点以及求不规则阴影部分的面积需要通过作辅助线转化为规则图形的面积的和差成为解题的关键．
【变式 05】（2025·贵州遵义·一模）如图，??是半 ⊙ ?的直径，?? = 2??，连接??、??，沿??翻折弧
??，??恰好经过圆心 0．
(1)∠??? = °；
(2)若?? = 4 3，求⊙ ?的半径 r；
在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】(1)∠??? = 120°
(2)4
3
(3)4
【分析】（1）根据圆心角，弧，平角的定义解答即可；
（2）过 0 作?? ⊥ ??于 H，根据直角三角形的性质，勾股定理解答即可；
3
（3）利用分割法求面积，得阴影面积 = 扇形???的面积减去弓形??面积88 π−4
= 4 3．
= 3π− 3
本题考查了圆的性质，扇形的面积，弓形面积，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】（1）解：∵?? = 2??，
∴∠??? = 2∠???，
∵∠??? = 180°，
∴∠??? =
2 × 180° = 120°，
3
故答案为：120．
（2）解： △ ???中，?? = ??，∠??? = 120°，
∴∠??? = ∠??? = 30°，过 0 作?? ⊥ ??于 H，
则?? = ?? =
1?? = 2 3，?? = 2??，
2
在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，即??2 + (2 3)2 = (2??)2，
解得?? = 2，
∴ ? = ?? = 2?? = 4．
（3）解：半圆的面积?1 = 1π?2 = 8π，
2
扇形???的面积?2
△ ???的面积?3
1
= 6π
1
?2
1
2
= 6π × 4
1
= 3π，
3
3
8
．
= 2?? × ?? = 2 × 4
× 2 = 4
弦??与弧??围成的弓形面积?4 = ? −? −?
8
16，
3
12
3
弦??与弧???围成的弓形面积?5 = ? = 16
= 8π−π−4
3
3
3
，
= 3 π−4
3
3
43 π−4
弓形??面积 = 弓形??面积 = 1(? −? ) = 1
16 π−4 3−4
8，
2 53
2 3
= 3π−4
∴阴影面积 = 扇形???的面积减去弓形??面积
8
= 3π−
8 π−4
3
3
= 4 3．
题型七 圆与三角形、四边形的综合证明与计算
【典例 01】如图， ⊙ ?是三角形???的外接圆，??是 ⊙ ?的直径，?? ⊥ ??于点?．
求证：∠???＝∠???；
若??长为 8，??＝2，求⊙ ?的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，掌握垂径定理：“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”是解题关键．
根据垂径定理和圆周角定理进行判断即可；
设⊙ ?的半径为?，根据垂径定理得出点?为??的中点，在Rt △ ???中，利用勾股定理列式计算，即可求出结果．
【详解】（1）证明： ∵ ?? ⊥ ??，
⏜⏜
∴ ?? = ??，
∴ ∠???＝∠???；
（2）解：连接??，如图，设 ⊙ ?的半径为?，则?? = ?，?? = ?−2，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ?? = ?? =
1?? = 4，
2
在Rt △ ???中，(?−2)2 + 42 = ?2，解得? = 5，
即⊙ ?的半径长为 5．
【变式 01】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，已知 ⊙ ?是△ ???的外接圆，?? = ??．点?,?分别是??,??
的中点，连接??并延长至点?，使?? = ??，连接??．
求证：四边形????为平行四边形；
(2)若tan∠??? = 3,?? = 12，求⊙ ?的半径．
4
【答案】(1)见解析
10
【分析】（1）先根据点?,?分别是??,??的中点，得出?? = ??,?? = ??，再证明△ ???≌ △ ???(SAS)，再结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形????为平行四边形，即可作答．
（2）结合点?是??的中点，得?? = ?? = 6，
1，结合圆周角定理得∠??? = 1
?? ⊥ ??,∠??? = 2∠???2
33??3
∠???，等量代换得∠??? = ∠???．因为tan∠??? = 4，所以tan∠??? = 4，得?? = 4，代入数值得
??2 + ??2
?? = 8，最后根据勾股定理得?? == 10，即可作答．
【详解】（1）证明：∵点?,?分别是??,??的中点，
∴?? = ??,?? = ??，在△ ???和△ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠???
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??,∠??? = ∠?，
∴?? ∥ ??,?? = ??，
∴四边形????是平行四边形；
（2）解：连接??,??,??，如图，
∵点?是??的中点，
∴?? =
1?? = 6，?? ⊥ ??,∠??? =
2
1∠???，
2
∵?? = ??
∴∠??? =
1∠???，
2
∴∠??? = ∠???．
3
∵tan∠??? = 4，
3
∴tan∠??? = 4，
则tan∠??? = ?? = 3，
??4
∵?? = 6，
∴?? = 8，
??2 + ??2
∴?? == 10
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【变式 02】（2026·安徽安庆·模拟预测）△ ???是 ⊙ ?的内接三角形，?? = ??，E 是??上的一点，延长??
交??的延长线于点 D，连接??，已知?? = ??．
如图 1，连接??，证明：?? = ??；
如图 2，连接??和??，若四边形????是菱形，求∠?的度数．
【答案】(1)见解析
(2)30°
【分析】（1）根据圆周角定理可知∠??? = ∠???，根据等边对等角得到∠? = ∠???，即∠? = ∠???，根据等角对等边得到?? = ??；
（2）延长??交??于点 F，连接??，根据菱形的性质求出?? = ?? = ??，可知△ ???是等边三角形，即
∠??? = 60°，根据?? = ??得到?? = ??，根据垂径定理的推论可知?? ⊥ ??，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）证明：∠???和∠???都是??所对的圆周角，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ?? = ??，
∴ ∠? = ∠???，
∴ ∠? = ∠???，
∴ ?? = ??；
（2）解：如图 2，延长??交??于点 F，连接??．
∵ 四边形????是菱形，
∴ ?? = ??，
∴ ?? = ?? = ??，
∴△ ???是等边三角形，
∴ ∠??? = 60°，
∵ ?? = ??，
∴ ?? = ??，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∴ ∠? = 180°−∠???−∠??? = 180°−90°−60° = 30°．
【变式 03】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图， △ ???内接于 ⊙ ?，??平分∠???交 ⊙ ?于 D 点，交??于点 E，连接??．
写出一个与∠???相等的角．
若??平分∠???交??于点 F，求证：?? = ??．
在（2）的条件下，连接??，若?? ⊥ ??．且?? = 2，求??的长．
【答案】(1)∠???或∠???
见解析
1
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据角平分线的定义以及圆周角定理解答即可；
（2）结合三角形外角的性质可得∠??? = ∠???，即可求证；
（3）由（2）的结论以及垂径定理可得?? = 2??，再证明 △ ??? ∽△ ???，即可解答．
【详解】（1）解：∵??平分∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???；
故答案为：∠???或∠???
证明：∵??平分∠???，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = ∠???，
∴?? = ??；
解：∵?? ⊥ ??，
∴?? = 2??，
∵?? = ??，
∴?? = 2??，
∵∠??? = ∠???，∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = 2，
????
∵?? = 2，
∴ 2
??
= 2，
∴?? = 1．
【变式 04】（2024·广东·三模）如图，在菱形????中，??是边??上的高，以??为直径的 ⊙ ?分别交??，
??于点 F，G，连接??．
求证：??是 ⊙ ?的切线；
(2)求证：?? = ??；
(3)若?? = 5，?? = 6，求sin∠???．
【答案】(1)见解析
见解析
25
24
【分析】（1）首先根据菱形的性质得到??∥??，求出?? ⊥ ??，然后由直径得到??是 ⊙ ?的切线；
（2）连接??，首先得出∠??? = ∠???，然后由?? = ??得到∠??? = ∠??? = ∠???，然后结合菱形的性
质证明即可；
（3）连接??交??于点 H，首先根据菱形的性质得到?? ⊥ ??，?? = ??，
1，然后利用
?? = ?? = 2?? = 3
124
24
??
勾股定理求出?? = 4，然后利用?菱形???? =
?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??代数求出?? =
2
5 ，得到sin∠??? =
??
= 5
5
24
= 25，进而等量代换求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形????是菱形，
∴??∥??．
∵?? ⊥ ??，
∴?? ⊥ ??．
又∵??为⊙ ?的直径，
∴??是 ⊙ ?的切线；
（2）证明：如图 1，连接??，
∵?? ⊥ ??，??是⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? = 90°，即∠??? = ∠???．又∵?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = ∠???．
∵四边形????是菱形，
∴?? = ??，则∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，?? = ??；
（3）解：如图 2，连接??交??于点 H，
∵四边形????是菱形，?? = 6，
∴?? ⊥ ??，?? = ??，?? = ?? =
1?? = 3，
2
在Rt △ ???中，
∵??2 = ??2 +??2，
∴52 = ??2 + 32，解得?? = 4，
∴?? = 2?? = 8．
1
∵?菱形???? = 2?? ⋅ ?? = ?? ⋅ ??，
1
24
5
∴ × 6 × 8 = 5??，解得?? = ．
2
在Rt △ ???中，sin∠??? =
由（2）知，?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = ∠???，
??
??
24
= 5 =
5
24
25．
∵∠??? + ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠??? = ∠???，
24
∴sin∠??? = sin∠??? = 25．
【点睛】此题考查了圆与四边形综合题，圆周角定理，菱形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
【变式 05】（2026·福建厦门·一模）如图，点 D 是△ ???外接圆 ⊙ ?上的一点，?? ⊥ ??于 G，连接
??,??,??．过点 B 作直线??∥??交??于 E，交⊙ ?于 F．若点 F 是??的中点．
(1)求证：?? = ??；
(2)当?? = 3时，求⊙ ?的半径；
(3)若?? = 6??，连接??．请你探究∠???与∠???之间的数量关系，并证明．
2
【答案】(1)见解析
3
(2)
(3)2∠??? + ∠??? = 240°，理由见详解
【分析】（1）根据弧中点得到?? = ??，根据平行线夹弧得到?? = ??，即可得证；
2
（2）作?? ⊥ ??于点 M，连接??， 则?? = 3，根据?? = ?? = ??，得到∠??? = ∠??? = ∠???，根据
?? ⊥ ??，得到∠??? = ∠??? = ∠??? = 30°，得到∠??? = 60°，得到∠??? = 2∠??? = 120°，得到
∠??? = 30°，得到?? = 3，即可；
（3）作?? ⊥ ??于点 M，连接??，设?? = ?，则?? = 6?，根据∠??? = ∠??? = 90°，
2
∠??? = ∠??? = 30°，得到?? = 3 2?，?? = 3?，得到?? = 3?，由勾股定理得到?? = 3 6?，得到
22
?? = 3 6?，得到?? = 3 2?，得到?? = ??，得到2∠??? + ∠??? = 180°，根据∠??? + ∠??? = 60°，
42
即得2∠??? + ∠??? = 240°．
【详解】（1）证明：∵点 F 是弧??的中点，
∴?? = ??，
∵?? ∥ ??，
∴?? = ??，
∴?? = ??；
（2）解：作?? ⊥ ??于点 M，连接??，如图，
∵?? = 3，
13
∴?? = 2?? = 2，
由（1）可知：?? = ?? = ??，
∴∠??? = ∠??? = ∠???，
∵?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
∴∠??? + ∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠??? = ∠??? = 30°，
∴∠??? = 60°，
∴∠??? = 2∠??? = 120°，
∵?? = ??，
∴∠??? = 30°，
∴?? =
??，
1
2
∵??2 +??2 = ??2，
∴?? = 233?? = 3，
∴ ⊙ ?的半径 3；
（3）解：2∠??? + ∠??? = 240°．理由如下：同（2），作?? ⊥ ??于点 M，连接??，
由（2）知，∠??? = ∠??? = 90°，∠??? = 30°，∠??? = 30°，
∴∠??? = ∠??? = 30°，
设?? = ?，则?? = 6?
2
∴?? = 3?? = 3 2?，?? = 3?? = 3?，
2
∴?? = 3?? = 3?，
∴?? =
= 3 6?，
??2 + ??2
2
∴?? =
1
2?? =
?，
3 6
4
∴?? = 2 3?? = 3 2?，
32
∴?? = ??，
∴2∠??? + ∠??? = 180°，
∵∠??? + ∠??? = 60°，
∴2∠??? + ∠??? + ∠??? + ∠??? = 240°，即2∠??? + ∠??? = 240°．
【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握平行弦性质，垂径定理，勾股定理解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形性质，含 30°的直角三角形性质，是解决问题的关键．
题型八 圆的动点、探究型问题
【典例 01】如图，半径为 7 的⊙ ?上有一动点 B，点 A 为半径??上一点，且??最大为 10，以??为边向外作正方形????，连接??．
请直接写出??的长．
过点 A 作?? ⊥ ??，且?? = ??，连接??，在点 B 的运动过程中，??的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出??的长．
当点 A，B，F 三点在一条直线上时，请直接写??的长．
请直接写出??的最大值和最小值．
【答案】(1)3
??的长度不变，7
10
2 10−4或2+4
??的最大值为 12，最小值为 2
【分析】（1）连接??，根据题意可得当 A，0，B 共线时，?? = ?? + ??，即可求解；
（2）证明△ ???≌ △ ???，即可解答；
分两种情况：当点 B 在 F 上方时，当点 B 在 F 下方时，即可解答；
作?? ⊥ ??，且?? = ??，连接??,??,??，证明 △ ???≌ △ ???，即可解答．
【详解】（1）解：连接??，
∵?? ≤ ?? + ??，仅当 A，0，B 共线时，?? = ?? + ??，又∵??最大为 10，?? = 7，
∴?? = ??−?? = 3；
（2）解：??的长度不变，理由如下：
∵?? ⊥ ??,?? ⊥ ??，
∴∠??? + ∠??? = 90°,∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
又∵?? = ??,?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ?? = 7；
（3）解：根据题意得：?? = 7，?? = 3，
∵四边形????是正方形，
∴?? = ??，
??2−??2
∴?? =
=
= 2 10，
72−32
∴?? = ?? = 2 10，
∵?? = ??−?? = 7−3 = 4，
10
当点 B 在 F 上方时，?? = ??−?? = 2 10−4，
当点 B 在 F 下方时， ?? = ?? + ?? = 2+4，
10
∴综上所述，??的长为2 10−4或2+4；
（4）解：作?? ⊥ ??，且?? = ??，连接??,??,??，
∵?? ⊥ ??,?? ⊥ ??，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
∵?? = ??,?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，
??2 + ??2
∴?? == 5，
∴??的最大值为?? + ?? = 5 + 7 = 12，最小值为7−5 = 2．
∴??的最大值为 12，最小值为 2．
【点睛】本题综合考查了圆、正方形、勾股定理、全等三角形等相关知识，要求学生理解并掌握圆的性质、正方形的性质、勾股定理的内容及公式、全等三角形的判定与性质等，并能通过作辅助线构造全等三角形，能进行线段之间的转化和运算等，理解三角形的三边关系，并能用于解决求有一端点为动点的线段的最值 问题，该题综合性较强，对学生的分析推理与计算的能力都有一定的要求，蕴含了分类讨论和数形结合的思想．
【变式 01】（2026·陕西西安·一模）【问题探究】
（1）如图①，在四边形????中，??∥??，对角线??，??相交于点?，若 △ ???的面积为9，则 △ ???的面积为；
（2）如图②，半圆?的直径?? = 8，点?是半圆?上的一个动点，求△ ???面积的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，某公园有一个三角形的演艺广场???，其中?? = 20米，∠??? = 90°，∠??? = 60°．在演艺广场的三个角各装有一个旋转射灯，点?和点?处的射灯发出的光线夹角∠???始终等于45°，且光线??在∠???的内部运动．点?处的射灯发出的光线与??交于点?，且光线??始终与光线??平行．请探究四边
形????的面积是否存在最大值？若存在，请求出四边形????面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）9；（2）16；（3）75+ 75平方米
2
【分析】（1）根据平行线的性质即可求解；
当?? ⊥ ??时，点?到??的距离最大，此时 △ ???面积最大，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出??、??即可求解；
（3）过点?作??∥??交??的延长线于点?，可得四边形????为平行四边形，进而得到?△??? = ?△???，
即得到?四边形???? = ?△??? + ?△??? = ?△??? + ?△??? = ?△???，又由∠??? = ∠??? = 45°，?? = ??·sin
、
60° = 20 × 3 = 10 3米，可得点?在 ⊙ ?上运动，连接????，过点?作?? ⊥ ??于?，??的延长线交 ⊙ ?
2
于点?′，过点?作?? ⊥ ??于点?，则∠??? = 2∠??? = 90°，?′? ≥ ??，利用等腰直角三角形的性质和勾
6
股定理可得?? = ?? = 1?? = 5 3米，?? = ?? = 2?? = 5 6米，即得到?′? = ??′ +?? = (5
+ 5 3)，
22
再根据三角形的面积公式计算即可求解．
【详解】解：（1）∵??∥??，
∴点?和点?到??的距离相等，
∴?△??? = ?△??? = 9，故答案为：9；
（2）如图，当?? ⊥ ??时，点?到??的距离最大，此时 △ ???面积最大，
∵?? = ??，?? ⊥ ??，
∴?? = ??，
又∵∠??? = 90°，?? = 8，
∴?? = ?? = 2?? = 4 2，
2
2
1
∴?△??? = 2 × 4
× 4
= 16，
2
即△ ???面积的最大值为16；
解：存在，理由如下：
如图③，过点?作??∥??交??的延长线于点?，
∵??∥??，
∴四边形????为平行四边形，?△??? = ?△???，
∴?△??? = ?△???，
∴?△??? = ?△???，
∴?四边形???? = ?△??? + ?△??? = ?△??? + ?△??? = ?△???，
∵??∥??，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∵?? = 20米，∠??? = 90°，∠??? = 60°，
∴?? = ??·sin60° = 20 × 3 = 10 3米，
2
∴点?在⊙ ?上运动，
连接??、??，过点?作?? ⊥ ??于?，??的延长线交 ⊙ ?于点?′，过点?作?? ⊥ ??于点?，则
∠??? = 2∠??? = 90°，?′? ≥ ??，
2
2
∵∠??? = 90°，?? = ??，?? ⊥ ??，
∴?? = ?? =
1?? = 5 3米，?? = ?? =
2
2 ?? =
2 × 10
= 5 6米，
3
∴??′ = ?? = ?? = 5 6米，
6
∴?′? = ??′ +?? = (5
+ 5 3)米，
∴?
1
= ?
1?′
1
(5
+ 5 3) = 75
+75（平方米），
四边形????
△??? = 2??·?? ≤ 2??·
? = 2 × 10×
3
6
2
2
∴四边形????面积的最大值为75+ 75平方米．
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆的性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，点和圆的位置关系，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式 02】在矩形????中，?? = 12cm,?? = 9cm，点 P 从点 A 出发，沿??边向点 B 以每秒2cm的速度移动，同时点 Q 从点 D 出发沿??边向点 A 以每秒1cm的速度移动，P、Q 其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为 t 秒．解答下列问题：
如图①，t 为何值时， △ ???的面积等于20cm2；
如图②，若以点 P 为圆心，??为半径作 ⊙ ?．在运动过程中，是否存在 t 值，使得⊙ ?经过点 C？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；
如图③，若以 Q 为圆心，??为半径作 ⊙ ?，当⊙ ?与??相切时．
①求 t 的值．
②如图④，若点 E 是此时⊙ ?上一动点，F 是??的中点，连接??，则线段??的最大值为．
【答案】(1)4 或 5 秒
41
(2)存在，−15 + 3
85
(3)①4；②+2
【分析】（1）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．
（2）连接??，根据切线长定理可得?? = ??，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
（3）①设⊙ ?与??相切于点?，连接??，则?? ⊥ ??，在Rt △ ???中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．②由①得：?? = 4，?? = 5，连接??,??，取??的中点 M，连接??,??，作?? ⊥ ??于 N，则
????
?? ∥ ?? ∥ ??，?? ≤ ?? + ??，根据?? ∥ ?? ∥ ??，可得△ ???∽ △ ???, △ ???∽ △ ???，?? = ??
= 1，再求出??,??，根据?? ≤ ?? + ??，即可解决问题．
【详解】（1）解：根据题意得：?? = 2?cm,?? = (9−?)cm，
∵ △ ???的面积等于20cm2，
∴1 × 2? ⋅ (9−?) = 20，
2
整理得：?2−6? + 8 = 0，解得?1 = 4,?2 = 5，
即? = 4或 5 秒时， △ ???的面积为 20．
（2）解：如图，连接??，
∵⊙ ?经过点?，
∴ ?? = ??，
∵ ∵ ??2 = ??2 +??2,??2 = ??2 +??2，
∴ ??2 +??2 = ??2 +??2，
∴ (2?)2 + (9−?)2 = (12−2?)2 + 92，
解得? = −15 + 3 41或−15−3 41（舍去），
∴ 当? = −15 + 3 41时，⊙P 经过点?．
（3）解：①如图，设⊙ ?与??相切于点?，连接??，则?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∵??为半径，且?? ⊥ ??，
122 + 92
∴?? = ?? = 12，?? = ?? = ?，?? == 15，
∴ ?? = 3，
∴ ??2 = ??2 +??2，
∴ (9−?)2 = ?2 + 32，
∴ ? = 4，
∴ ? = 4时， ⊙ ?与??相切．
②由①得：?? = 4，?? = 5，
如图，连接??,??，取??的中点 M，连接??,??，作?? ⊥ ??于 N，则?? ∥ ?? ∥ ??，?? ≤ ?? + ??，
∵F 是??的中点，
∴?? =
1
2?? =
1?? = 2，
2
∵?? ∥ ?? ∥ ??，
????
∴ △ ???∽ △ ???, △ ???∽ △ ???，?? = ?? = 1，
∴?? = ?? = ?? = 1
??????
==，
??
??
??
2，??
??
??
9 ????1
∴?? = 2,?? = ?? = 2，?? = ?? = 6,
,
5
∴?? = 2
∴?? = ?? + ?? = 7，
??2 + ??2
∴?? =
=
= 85,
62 + 72
85
∴?? ≤ ?? + ?? =+2，
85
即线段??的最大值为+2。
85
故答案为：+2
【点睛】本题属于圆综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，切线的判定与性质，切线长定理，三角形中位线定理，以及三角形三条边的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考压轴题．
【变式 03】（2025·河南·一模）如图 1，在正方形????中，点?在??上（不与点?，?重合），点?在边??
上，?? = ??，连接??，??交于点?．
如图1，连接??与??交于点?，连接??交??于点?．
①求证：?? = ??；
??1??
②当?? = 2时，求??的值；
如图2，若?是??的中点，以点?为圆心，??为半径作 ⊙ ?，?是⊙ ?上的一个动点，连接??交??于点
??
?，求??的最大值．
1
【答案】(1)①见解析；② 2；
(2)2．
【分析】（1）①证明△ ???≌ △ ???(SAS)，得到∠??? = ∠???，再证明△ ???≌ △ ???(SAS)，得
∠??? = ∠???，证明出∠??? = ∠??? 即可；
②作?? ⊥ ??于?，利用△ ???≌ △ ???，得出?? = ??，?? = ??，设??为单位1，?? = ?，
422
?? = ?? = ?，利用△ ??? ∽△ ???表示出? = ?，再由??:?? = ??:??列出方程，解得? = 3，即?? = 3，
在Rt △ ???中，由勾股定理得?? = 2 10，则?? = ?? = 2 10，由四边形????是正方形得
33
∠??? = ∠??? = 90°，证明△ ??? ∽△ ???，求出?? = 2 10，然后代入求值即可；
（2）过点?作??∥??，交??的延长线于?，连接??，延长??、??交于点?，分析出当点?与 ⊙ ?相切时，满足题意，设??为单位1，求出??、??，再计算解答即可．
【详解】（1）①证明：∵四边形????为正方形，
∴∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??，
∵?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴∠??? = ∠???，
∵四边形????为正方形，
∴∠??? = ∠??? = 45°，
∵?? = ??，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??；
②解：作?? ⊥ ??于?，如图，
由（1）知： △ ???≌ △ ???，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = 90°，
∴?? ⊥ ??；
∴??∥??，??:?? = ??:?? = 2∶1，由（1）得△ ???≌ △ ???，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = 90°，
∵∠??? = ∠???，∠??? = ∠??? = 90°，?? = ??，
∴ △ ???≌ △ ???(AAS)，
∴?? = ??，?? = ??，
设??为单位1，则?? = ?? = 2，设?? = ?，?? = ?? = ?，
∵??∥??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴??:?? = ??:??，
即2:? = ?:2，
4
∴? = ?，
∴??:?? = ?:2，
∵?? = ??，
∴??:? = ?:2，
∵??∥??，
∴??:?? = ??:??，
∴?
?+1
= 4，
2−1
?
2
∴? = 3，
2
即?? = 3，
220
∴?? = ?? + ?? = 6 + 3 = 3 ，
20
由（1）得?? = ?? = 3 ，
??2 + ??2
在Rt △ ???中，由勾股定理得?? =
=
2 10
2 +（
2
22
3 ）
，
= 3
2 10
3
∴?? = ?? =，
∵四边形????是正方形，
∴∠??? = ∠??? = 90°，
∵∠??? = ∠???，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??
??
∴ 2
??
??，
，
2 10
= 30
3
∴?? = 2 10，
∴?? = ??−?? = 2 10−2 10 = 4 10，
∴??
??
33
==
；
2 101
3
4 102
3
（2）解：如图，过点?作??∥??，交??的延长线于?，连接??，延长??、??交于点?，
∵??∥??，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
∵??为定值，
∴当??最大时，??:??的值最大，即??:??的值最大，
∴当??与??距离最大时，即当点?与 ⊙ ?相切时，满足题意，
∴?? ⊥ ??，
∵?? ⊥ ??，
∴?、?、?共线，设??为单位1，
∴?? = ?? = 2，
12 + 22
∴?? = ?? == 5，
∵ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? ，
??
??
2 5
5
∴?? == ??．
∵?? = ??，?? = ?? = ??，
∴?? = ?? =
1??，
2
在△ ???与△ ???中，
∠? = ∠???
?? = ??，
∠??? = ∠???
∴ △ ???≌ △ ???(ASA)，
∴?? = ?? = 5，?? = ?? = 2，
12 5
5
∴?? =，
∵ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
∴?? = 6，
∴?? = 4，
∵?? = 2，
∴??:?? = 2∶1，
∴?? = 2．
??
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（限时训练：40 分钟）
1．（2026·重庆·模拟预测）如图，在 ⊙ ?中，??是直径，点?和点?是弧??的三等分点，连接??, ??, ??，过?作⊙ ?的切线交??的延长线于点?，则∠???的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形内角和定理，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．先理解题意，结合??是直径，点?和点?是弧??的三等分点，得1
，又因为切线
∠??? = 3 × 180° = 60°
的性质得∠??? = 90°，再运用三角形内角和性质列式计算，即可作答．
【详解】解：∵??是直径，点?和点?是弧??的三等分点，
∴∠??? =
1 × 180° = 60°，
3
∵过?作⊙ ?的切线交??的延长线于点?，
∴∠??? = 90°，
则∠??? = 180°−∠???−∠??? = 180°−90°−60° = 30°，故选：A．
2．（2025·陕西西安·一模）如图，点?,?,?,?均在 ⊙ ?上， ⊙ ?的半径为2cm,∠? = 130°，则??的长为（ ）
1010916
A． 3 πB． 9 πC．8πD． 9 π
【答案】B
【分析】本题考查弧长的计算及圆周角定理、圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质求出∠?的度数，利用圆周角定理求出∠???的度数，再由弧长公式计算即可．
【详解】如图，连接??和??，
∵点?,?,?,?均在 ⊙ ?上，
∴∠? = 180°−∠? = 180°−130° = 50°，
∴∠??? = 2∠? = 100°，
∴??
100?×210?
的长为 180= 9 ，
故选：B．
3．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在 ⊙ ?中，??、??为弦，??为直径，?? ⊥ ??于 E，?? ⊥ ??于 F，??
与??相交于 G．?? = ??，若?? = 2 7，?? = 2，求⊙ ?的半径．
8
【答案】 ⊙ ?的半径为3．
【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理等；连接??，设?? = ?，可得?? = ? + 2，由线
段和差得?? = ??−?? = 1?−1，由垂径定理得?? = 1?? = 7，由勾股定理得??2 +??2 = ??2，即可求
22
解．
【详解】解：如图，连接??，
设?? = ?? = ?，
∴ ?? = ?? + ??
= ? + 2，
∵ ?? = ??，
1
∴ ?? = 2 ??
= 1? + 1，
2
∴ ?? = ??−??
= 1?−1， 2
∵ ??为直径，?? ⊥ ??，
∴ ?? =
1?? = 7，
2
在Rt △ ???中，
??2 +??2 = ??2，
1
2
∴
?−1
22
+ ( 7)
= ?2，
解得：?1
= −4（舍去），?2
8
= 3，
8
故⊙ ?的半径为3．
4．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图， ??是 ⊙ ?的切线，?为切点，??是 ⊙ ?的直径，?是 ⊙ ?上的一点，
?? = ?? = ??，连接??,??交于点?．
求证：??是 ⊙ ?的切线；
(2)当?? = 4时，求??的长．
【答案】(1)见解析
5
2
【分析】（1）如图，连接??，先证出△ ???≌ △ ???，得出∠??? = ∠???，进而即可得证；
（2）根据等腰三角形三线合一和直径所对的圆周角为直角，利用AAS证出 △ ???≌ △ ???得出?? = ?? = 2，再由勾股定理即可得出??的长．
【详解】（1）证明：如图，连接??，
∵ ??是 ⊙ ?的切线，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? = 90°，
∵ ?? = ??，?? = ??，?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???(SSS)，
∴ ∠??? = ∠??? = 90°，
∴ ?? ⊥ ??，
又∵ 点?在⊙ ?上，
∴ ??是⊙ ?的切线；
（2）解： ∴△ ???≌ △ ???，
∴ ∠??? = ∠???，
又∵ ?? = ??，?? = 4，
∴ ?? ⊥ ??，?? = ?? =
1?? = 2，
2
∵ ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = 90°−∠??? = ∠???，
∵ ??是 ⊙ ?的直径，?是⊙ ?上的一点，
∴ ∠??? = 90° = ∠???，又∵ ?? = ??，
∴△ ???≌ △ ???(AAS)．
∴?? = ?? = 2
??2 + ??2
∴在Rt △ ???中，?? =
=
= 2 5．
42 + 22
5．（2026·四川雅安·二模）如图 ⊙ ?是△ ???的外接圆，∠??? = 45°，延长??至点?，连接??，使得
?? ∥ ??，??交??于?．
求证：??与 ⊙ ?相切；
(2)若?? = 2 5，?? = 2．求⊙ ?的半径和??的长度．
【答案】(1)见详解
5
4；16 5
【分析】本题考查了圆的切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质等知识点．
（1）连接??，通过圆周角定理，平行线的性质，得到∠??? = 90°，继而得证结论．
（2）作?? ⊥ ??于点?，设 ⊙ ?的半径为?，根据勾股定理可得? = 4，利用三角形不同边上的高计算面积相等，得到?? = 455，继而根据勾股定理得到??及??的长．
【详解】（1）证明：连接??，
∵ ∠??? = 45°，
∴ ∠??? = 2∠??? = 90°，又∵ ?? ∥ ??，
∴ ∠??? = 180°−∠??? = 180°−90° = 90°，
∴ ?? ⊥ ??，
∴ ??是 ⊙ ?的切线；
（2）解: 如图，作?? ⊥ ??于点?，
设⊙ ?的半径为?，则?? = ?，?? = ?−2，
∵ ?? = 2 5，
∴ 在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，
∴ ?2 + (?−2)2 = 2
2
5
, 解得? = 4，
∴ ?? = ??−?? = 4−2 = 2，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ?? = ?? =
1??，
2
1
∵ ?? ⋅ ?? =
2
1 ⋅ ?? ⋅ ??，
4 5
5
2
∴ ?? =
??⋅??
2 5
?? =
2×4
=，
在Rt △ ???中，?? =
8 5
??2−??2
42− 4 5
2
5
，
== 5
16 5
5
∴ ?? = 2?? =．
6．（2025·内蒙古通辽·模拟预测）如图，点?为Rt △ ???斜边??上的一点，以??为半径的 ⊙ ?与??切于
点?，与??交于点?，连接??．
求证：??平分∠???；
(2)若∠??? = 60°，?? = 4，求阴影部分的面积(结果保留π)．
【答案】(1)证明见解析
3
8π
【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、扇形面积、等腰三角形的性质．
（1）连接??，利用切线的性质得到??垂直于??，结合直角三角形??垂直于??，证得??平行于??，再利用等腰三角形等边对等角的性质，通过等量代换证得∠??? = ∠???，从而证明??平分∠??C．
（2）连接??、??，先根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，证得△ ???为等边三角形，得到
∠??? = 60°，再利用圆周角定理得到∠??? = 30°，结合角平分线的性质得到∠??? = 30°，证得??平行于
??，利用等底等高的三角形面积相等，将阴影部分的面积转化为扇形???的面积，最后根据扇形面积公式计算得到结果．
【详解】（1）解：如图，连接??．
∵??是⊙ ?的切线，?为切点，
∴?? ⊥ ??．
又∵ △ ???是直角三角形，∠? = 90°，即?? ⊥ ??，
∴?? ∥ ??，
∴∠??? = ∠???．又∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，即??平分∠???；
（2）解：如图，连接??，??，??．
∵∠??? = 60°，?? = ?? = 4，
∴ △ ???为等边三角形，
∴∠??? = 60°，
∴∠??? =
1∠??? = 30°．
2
∵??平分∠???，∠??? = 60°，
∴∠??? =
1∠??? = 30°，
2
∴∠??? = ∠???，
∴?? ∥ ??，
∴?△??? = ?△???，
∴阴影部分的面积 = ?扇形???，
∵?? ∥ ??，
∴∠??? = 180°−∠??? = 120°，
∴∠??? = ∠???−∠??? = 120°−60° = 60°，
∴?
= 60×π×428
扇形???
= π，
3603
8
即阴影部分的面积为3π．
7．（25-26 九年级下·河北衡水·开学考试）某条隧道的截面图如图所示，其外轮廓可看作是以点 0 为圆心的圆弧．已知该隧道宽（弦??）为2 3m，隧道最高点到地面??的距离为3m．
请在图中画出（无需尺规）隧道的最高点 C（保留作图痕迹，不写作法）；
求隧道外轮廓所在圆 0 的半径长；
现施工队计划在入口处的内壁（优弧??）上设置警示灯带来提高行车安全，求所需警示灯带（即优弧
??）的长．
【答案】(1)见解析
2m
3 m
4?
【分析】（1）作线段??的垂直平分线交优弧??于点 C 即可；
在Rt △ ???中，根据勾股定理构建关于??的方程求解即可；
先求出圆心角∠???的度数，然后根据弧长公式求解即可；
【详解】（1）解：如图，点 C 即为所求，
；
解：连接??，设线段??的垂直平分线与??相交于 D，
根据题意，得点 0 在线段??的垂直平分线上，?? = 3，?? = ??，
∴?? =
1?? = 3，
2
在Rt △ ???中，??2 = ??2 +??2，
∴??2 = ( 3)2 + (3−??)2，
∴?? = 2，
即隧道外轮廓所在圆 0 的半径长为2m；
解：在Rt △ ???中，sin∠??? = ?? = 3，
??2
∴∠??? = 60°，
连接??，
∵?? = ??，?? ⊥ ??，
∴∠??? = 2∠??? = 120°，
∴所需警示灯带（即优弧??）的长为120?×2 = 4? ．
1803 m
8．（2026·陕西·一模）如图，在Rt △ ???中，∠??? = 90°，点?在边??上，以??为直径作 ⊙ ?，交??的延长线于点?，连接??，若??切⊙ ?于点?．
(1)求证：?? = ??；
4
(2)若?? = 8，tan∠??? = 5，求⊙ ?半径的长．
【答案】(1)见解析
5
(2)44
【分析】本题考查了已知正切求边长，等腰三角形的性质与判定，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键．
连接??，根据切线的性质得到?? ⊥ ??，得到∠??? + ∠??? = 90°，根据?? = ??，得到
∠??? = ∠???，证明∠??? = ∠???，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
根据正切的定义求出??，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】（1）解：连接??，
∵??切⊙ ?于点?，
∴?? ⊥ ??，∠??? = 90°，即∠??? + ∠??? = 90°，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠???，
∵∠??? = 90°，即∠??? + ∠??? = 90°，又∵∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴?? = ??；
（2）解∵Rt △ ???中，tan∠??? = tan∠??? = ?? = 5，?? = 8，
??4
32
∴?? = 8 × 4 5 = 32 5，则?? = ?? =5，
555
设?? = ?? = ?，
在Rt △ ???中，??2 +??2 = ??2，即?2 +
2
32 5
5
= (? + 8)2，
44
∴? = 5 ．
9．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，四边形????是 ⊙ ?的内接四边形，过点 A 作?? ∥ ??交??的延长线于点 E，?? = ??,?? = ??，连接??．
(1)求证：∠??? = ∠???；
(2)连接??，若?? = 1,?? = 3，求??的长．
【答案】(1)证明见解析
3
(2)?? = 2
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形相似的性质和判定，全等三角形的性质与判定等知识，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
（1）根据平行线的性质和圆内接四边形的性质可得：∠? = ∠???，可得结论；
（2）根据SAS证明 △ ???≌ △ ???，证明 △ ??? ∽△ ???，列比例式可得的??长，即可作答．
【详解】（1）证明：∵?? ∥ ??，
∴∠? + ∠??? = 180°，
∵四边形????是 ⊙ ?的内接四边形
∴∠??? + ∠??? = 180°，
∴∠? = ∠???，
∵?? = ??，
∴∠??? = ∠?，
∴∠??? = ∠? = ∠???，
∴∠??? = ∠???；
（2）解：在△ ???和 △ ???中，
?? = ??
∠??? = ∠??? ，
?? = ??
∴ △ ???≌ △ ???(SAS)，
∴?? = ??，且∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠???，
∴∠??? = ∠??? = ∠???，又∵∠? = ∠?，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??
??
??，
3??
即?? = 3+1，
∴??2 = 12，
∴?? = 2 3，
∵?? = ??，
∴?? = 2 3．
10．如图 1，0 为菱形????对角线上一点，以点 0 为圆心，??为半径的圆与菱形相邻两边的交点分别为点 E、F．
若 ⊙ ?的半径为 3，∠? = 60°，则劣弧??的长为；（结果保留π或根式）
如图 2，若⊙ ?与??相切于点 M．求证：??与 ⊙ ?相切；
(3)在（2）的基础上，若?? = 8，?? = 4，求⊙ ?的半径．
【答案】(1)π
见解析
3
【分析】本题考查切线的性质和判定，求弧长，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
证明△ ???为等边三角形，进而得到∠??? = 60°，再利用弧长公式进行计算即可；
连接??，作?? ⊥ ??于点?，切线的性质得到?? ⊥ ??，角平分线的性质，得到?? = ??，即可得证；
设⊙ ?的半径为?，则?? = ?? = ?，在Rt △ ???中利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵菱形????，
∴?? = ??，
∵∠? = 60°，
∴ △ ???为等边三角形，
∴∠??? = 60°，
∵?? = ??，
∴ △ ???为等边三角形，
∴∠??? = 60°，
；
60π
∴??? = 180 × 3 = π
故答案为：π；
（2）证明：连接??，作?? ⊥ ??于点?，
∵ ⊙ ?与??相切于点 M，
∴?? ⊥ ??，
∵菱形????，
∴??平分∠???，
∵?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
∴?? = ??，
∴??是 ⊙ ?的半径，又∵?? ⊥ ??，
∴??与 ⊙ ?相切；
（3）解：设⊙ ?的半径为?，则?? = ?? = ?，
∴?? = ??−?? = 8−?，
∵?? ⊥ ??，
∴??2 = ??2 +??2，
∴(8−?)2 = ?2 + 42，解得? = 3；
∴设⊙ ?的半径为 3．