2026年中考数学二轮复习 专题05 函数图象的分析与判定(高频考点专练)

这是一份2026年中考数学二轮复习 专题05 函数图象的分析与判定(高频考点专练)，共7页。试卷主要包含了实际问题的函数图象判断，函数图象信息提取与计算题型三，函数图象的平移、对称变换题型五，多函数图象综合判断，动点问题的函数图象判断，几何图形变化中的函数图象等内容，欢迎下载使用。
高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）聚焦题型精准解密（6 大题型精讲+变式拔高训练）
题型一 实际问题的函数图象判断
题型二 函数图象信息提取与计算题型三 多函数图象综合判断
题型四 函数图象的平移、对称变换题型五 动点问题的函数图象判断 题型六 几何图形变化中的函数图象
实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升）
函数图象的分析与判定是中考数学核心必考模块，分值约 3～8 分，以选择题、填空题为主，部分地区会在解答题压轴小问结合几何、实际应用综合考查，整体以中低档题为主，难题集中在动态几何与函数图象结合题型，是侧重考查数形结合思想与图象分析能力的核心板块。
基础知识必备：掌握平面直角坐标系核心特征，能判断图象是否为函数；熟练掌握一次函数、
反比例函数、二次函数的图象与性质，能结合参数判断图象象限、走势、增减性；会分析实际 问题中变量的变化规律，结合起点、拐点、终点判定函数图象；能分阶段分析几何动态问题，推导变量间的函数关系并判断图象形状；掌握函数图象平移、对称的核心变换规律。
2026 中考预测：题型稳定：实际问题的函数图象判断、多函数图象综合辨析为选择填空必考
内容，函数图象信息提取、动点问题的函数图象判断为中档题常考题型；难度平稳：基础题侧 重图象识别与简单性质应用，中档题侧重信息提取与动态分析，难题侧重几何与函数图象的综合建模，无偏题怪题；命题趋势：贴近生活实际与教材核心，图象信息更隐蔽，常结合图表、
几何图形给出条件，强调 “以题析变、以变判图、以图求值”，注重考查图象分析与逻辑推理的综合能力。
题型一 实际问题的函数图象判断
【典例 01】新情境 端午假期，小明早晨从家出发出门晨练，他不间断地匀速跑了30min后回家．已知小明在整个晨练过程中，离家的距离?(km)与晨练时间?(min)之间的函数关系图象如图所示．下列图形中，可大致表示小明晨练的路线的是（ ）．
A．B． C．D．
【答案】B
【分析】本题考查从图象上获取信息，掌握好相关知识是关键．结合图象变化的规律判断对应的路线即可．
【详解】解：从图象可知，小明离家距离变化规律为线性递增，保持不变，线性递减，最后返回起点，由此判断选项．
对于选项 A：没有返回起点，故 A 错误；
对于选项 B：符合图象变化规律，故 B 正确；对于选项 C：没有返回起点，故 C 错误；
对于选项 D：圆弧段变化为非线性，且没有保持不变的部分，故 D 错误．故选：B．
【变式 01】某容器的截面如图所示，如果以固定的流量向这个空的容器注水，直至注满，下列图象中能大致表示水面高度ℎcm与注水时间?s 之间的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查函数图象，需注意的知识点为：高度增加先慢后快，函数图象的坡度将先缓后陡．高度ℎ表示容器中水面上升高度；按不同的时间段，判断ℎ的变化．
【详解】解：容器的底面积先大后小，故水位上升速度先慢后快，图象表现为先缓后陡，
D 选项的图象符合题意．故选：D．
【变式 02】（2025·贵州遵义·模拟预测）化学实验课上完后，小慧同学在清洗杯子时发现：匀速地向如图所示的一个空瓶里注水，最后把空瓶注满，在这个注水过程中，水面高度 h 与注水时间 t 之间可以近似地看作某种函数关系，则其函数关系的图象大致是（ ）
A．
B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查函数的图象，能根据瓶子的形状判断出水面上升的高度与注水时间的关系是解题的关键．根据空瓶的形状，对水面高度和注水时间的关系依次进行判断即可解决问题．
【详解】解：因为匀速地向空瓶里注水，且空瓶的下半部分是直立圆锥的一部分，
所以在刚开始注水的时候，水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度越来越高，因为瓶子的上半部分是圆柱，
所以水面随着注水时间的增加，高度逐渐升高，且单位时间内升高的高度相同，即匀速上升．故选：A．
【变式 03】若等腰三角形的周长是80cm，则能反映这个等腰三角形的腰长?cm与底边长?cm的函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象的识别，等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识；已知等腰三角形的腰长为?cm，底边长为?cm，根据三角形的周长可得? + 2? = 80；然后根据三角形的三边关系可得? > 0且? < 2?； 接下来根据? + 2? = 80可确定 x 的取值范围，根据此范围及函数式即可确定图象．
【详解】解：根据题意，? + 2? = 80，
所以1，
? = −2? + 40
根据三角形的三边关系，? > ?−? = 0，? < ? + ? = 2?，
1
所以? < 2 − 2 ? + 40 ，解得? < 40，
所以 y 与 x 的函数关系式为1
(0 < ? < 40)，
? = −2? + 40
只有 D 选项符合．故选 D．
【变式 04】（2025·吉林长春·三模）如图，空容器可以从底．部．小．孔．匀．速．注．水．，直到注满．在注水过程中，
不考虑水量变化对压力的影响，容器内水面高度ℎ随时间?变化的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了函数图象,解决本题的关键是根据容器的高度相同,每部分的粗细不同得到用时的不同．容器内水面高度 h 随时间 t 变化而分两个阶段，
【详解】解:底层的容器底面半径较大,容器内水面高度 h 随时间 t 的增大而增长缓慢,用时较长;上层容器底面半径较小,容器内水面高度 h 随时间 t 的增大而增长较快.
故选:A.
【变式 05】（2025·河南郑州·二模）下列四幅图分别表示变量之间的关系，与图象的顺序相对应的情景分别是（ ）
①固定月租手机卡（按通话时间计费），手机话费余额 y 与通话时间 x 的关系；
②甲、乙两地距离一定，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车行驶的时间 x 与行驶速度 y 之间的关系；
③一名学生推出实心球，实心球的行进高度 y 与水平距离 x 之间的关系；
④一名同学从家去学校途中，发现重要东西忘家里了，就原路匀速返回，取完东西发现快要迟到了，于是加速返回学校．在此过程中离学校的距离 y 与所用时间 x 之间的关系．
A．②③①④B．①④③②C．②③④①D．②①③④
【答案】A
【分析】本题考查函数图像的问题，充分理解两个量之间的函数关系是解题关键．先理解函数图像的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数图像，即可作答．
【详解】解：根据题意可得，与图象的顺序相对应的情景分别是：
②甲、乙两地距离一定，汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车行驶的时间?与行驶速度?之间的关系；
③一名学生推出实心球，实心球的行进高度?与水平距离?之间的关系；
①固定月租手机卡（按通话时间计费），手机话费余额?与通话时间?的关系；
④一名同学从家去学校途中，发现重要东西忘家里了，就原路匀速返回，取完东西发现快要迟到了，于是加速返回学校．在此过程中离学校的距离?与所用时间?之间的关系．
故选：A．
【变式 06】（2025·江西吉安·二模）如图，烧杯中装有适量Ca(OH)2溶液，向烧杯中不断滴入稀盐酸后，烧杯中的溶液的PH值变化情况用图象可近似表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了酸碱中和反应中溶液PH的变化规律，解题的关键是明确碱性溶液PH大于 7，酸性溶液PH
小于 7，中和反应中PH会随酸碱的反应逐渐变化．
先分析初始溶液（??(??)2溶液，碱性，?? > 7），再分析滴加稀盐酸时的反应过程（碱性逐渐减弱，PH
逐渐减小，恰好反应时?? = 7，盐酸过量后?? < 7），最后结合选项图象进行判断．
【详解】解：选项 A：PH从小于 7 开始上升，不符合初始碱性的情况，排除．选项 B：PH始终不变，不符合中和反应的变化，排除．
选项 C：PH从大于 7 开始，逐渐减小至小于 7，符合上述变化规律．选项 D：PH最终稳定在 7，不符合盐酸过量后呈酸性的情况，排除．故选 C．
题型二 函数图象信息提取与计算
【典例 01】（2025·河南郑州·一模）硫酸钠(Na2SO4)是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多
个领域发挥重要作用．硫酸钠在100g水中的溶解度?g与温度?(℃)之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．当温度为0℃时，硫酸钠在水中溶解度为 0 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C．0℃~20℃时，温度每升高1℃，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于43.7g，温度应控制在40℃~80℃
【答案】C
【分析】本题考查了溶解度曲线的解读与应用，解题的关键是结合题目给出的温度与溶解度对应数据，逐一验证选项中关于溶解度概念、变化趋势、变化量及特定溶解度对应温度范围的描述是否正确．
根据图中提供的核心数据分析各选项即可．
【详解】解：A、题目未给出0℃时硫酸钠的溶解度数据，且固体物质的溶解度一般不为0，此选项不符合题意；
B、由数据可知，40℃时溶解度为48.8g，80℃时溶解度为43.7g，说明温度升高到一定程度后，硫酸钠的溶解度反而减小，并非随温度升高而增大，此选项不符合题意；
C、0℃~20℃时，溶解度曲线为非线性变化（多数固体溶解度曲线并非直线），因此温度每升高1℃，溶解度的增加量不相同，此选项符合题意；
D、40℃时溶解度为48.8g ≥ 43.7g，80℃时溶解度为43.7g，但无法确定80℃之后溶解度是否仍不低于43.7 g，且题目未明确“仅40℃~80℃满足”，此选项不符合题意；
故选：C．
【变式 01】（2025·吉林长春·模拟预测）明明骑自行车去上学时，在这段路上所走的路程?（单位：千米）与时间?（单位：分）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．明明家距学校 3 千米
B．明明走完全程用了 10 分钟 C．明明提速后的速度是提速前速度的 2 倍 D．明明上学的平均速度为 0.3 千米/分钟
【答案】C
【分析】此题考查了函数的图象，关键是正确理解图象所表示的意义，求出上下坡的速度．根据图象，结合“速度=路程÷时间”解答即可．
【详解】解：根据函数图象可得：
明明家距学校 3 千米，故选项 A 说法正确，不符合题意； 明明走完全程用了 10 分，故选项 B 说法正确，不符合题意；
1
提速前的速度为：1 ÷ 6 = 6（千米/分钟），
2
提速后的速度为：(3−1) ÷ (10−6) = 1（千米/分钟），
11
2 ÷ 6
= 3，
即明明提速后的速度是提速前速度的 3 倍；故选项 C 说法错误，符合题意；
3
明明上学的平均速度为：10 = 0.3（千米/分钟）；
故选项 D 说法正确，不符合题意．故选：C．
【变式 02】（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两车从 A 城出发前往 B 城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离 A
城的距离?(km)与行驶时间?(h)的函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两车同时出发 B．乙车的速度为60km/h C．乙车出发2h时，追上了甲车
D．当乙车到达 B 城时，甲、乙两车相距60km
【答案】C
【分析】本题考查了根据函数图象获取信息和一次函数的应用，由图象得乙车比甲车晚出发，故可判断 A；由图象得全程300km，乙车行完全程用 3 小时，得速度为100km，可判断 B；分别求出甲乙两车行驶路程 函数解析式，求其交点坐标即可判断 C；求出甲车行驶速度，根据图象得乙车比甲车早到 1 小时，求出甲、乙两车相距50km可判断 D．
【详解】解：由图象知，乙车比甲车晚出发 2 小时，故选项 A 错误；
由图象得全程300km，乙车行完全程用5−2 = 3(h)，平均速度为300 ÷ 3 = 100(km)，故选项 B 错误；设甲车行驶的图象为? = ??，把(6,300)代入得：6? = 300，解得? = 50，
所以，? = 50?，
5? + ? = 300? = 100
设乙车行驶的图象为? = ?? + ?，把(5,300)，(2,0)代入得：
2? + ? = 0 ，解得 ? = −200 ，
所以，? = 100?−200，
? = 50?
联立 ? = 100?−200 ，
解得? = 4，
∴乙车出发4−2 = 2(h)时，追上了甲车，故选项 C 正确；由图象得 A，B 两地的距离为300km
甲车速度为300 ÷ 6 = 50(kmh)，
所以，当乙车到达 B 城时，甲、乙两车相距50 × (6−5)=50km，故选项 D 错误；故选：C．
【变式 03】物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图①所示．经测试，发现电流
?（单位：A）随着电阻?（单位：Ω）的变化而变化，并结合数据描点、连线，画成如图②所示的函数图象．若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是36AB．最大电流是27AC．最小电流是36AD．最小电流是27A
【答案】A
?
【分析】可设? = ?，将点(4,9)代入函数解析式，即可求得?的值，再代入? = 1求?的值，最后根据增减性判断最值．
【详解】解：由图象可知，符合反比例函数，
?
设函数解析式为? = ?，
4
将点(4,9)代入得9 = ?，解得：? = 36，
36
∴该函数解析式为? = ? ．
若该电路的最小电阻为1Ω
36
(A)
，则该电路能通过的最大电流是 1 = 36．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，解题关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出关系式．
【变式 04】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知小明和小红进行8千米跑步练习，两人沿着同一条公路同时从甲地出发，到达乙地后折返甲地，两人全程保持匀速运动，若两人距离甲地的路程?（米）与跑步时间?（分钟）的函数图象如图所示，则小明完成练习比小红早（ ）
6432
A．20分钟B．25分钟C． 3 分钟D． 3 分钟
【答案】C
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，解题的关键是正确理解图象信息．根据函数图象，求出两人的速度，进一步计算，求解即可．
【详解】解：由函数图象得，
小红跑步的速度为3000 ÷ 20 = 150（米/分钟），
小明跑步的速度为(8000−3000) ÷ 20 = 250（米/分钟），
则小明比小红早8000 ÷ 150−8000 ÷ 250 =
64
3 （分钟）
故选：C．
【变式 05】如图所示的是某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温?（单位：℃）与通电时间?（单位：min）成反比例关系．当水温降至20℃时，茶吧机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温?与通电时间?之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）．
A．水温从20℃加热到100℃，需要4min B．水温下降过程中，?与?的函数关系式是? = 400
?
C．接通电源后，第30min时水温不低于42℃ D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min
【答案】C
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象以及实际应用，结合实际背景，求出函数解析式，逐个验证选项即可．
【详解】解：对于 A：∵加热时每分钟上升20℃，
100−20
∴水温从20℃加热到100℃，需要 20= 4min，故 A 正确；
对于 B：由题意可知，反比例函数的图象过点(4,100)，
?
设反比例函数的解析式为? = ?，
?，得，
将点(4,100)代入? = ?
?
100 = 4，
解得? = 400，
∴水温下降过程中，?与?的函数关系式是? =
400
? ，故 B 正确；
对于 C：将? = 20代入? =
400
? ，解得? = 20，
∴该茶吧机每20min为一个周期，循环加热，
∵30−20 = 10，
∴第30min时的水温等同于第10min时的水温，
将? = 10代入? =
400
? ，得? = 40，即此时水温为40℃，
∵40 < 42，
∴C 错误；
40−20
对于 D：从20℃加热到40℃需要 20= 1min，
将? = 40代入? =
400
? ，解得? = 10，
∴一个加热周期内，水温不低于40℃的时间为10−1 = 9min，故 D 正确．故选：C．
【变式 06】（2025·广东深圳·二模）为了参加 2025“奔跑江淮”和美乡村健康跑（庐江冶父山站），大龙和小磊赛前每周六同时从甲地到相距 6000 米的乙地匀速往返跑（中途不休息），已知大龙的速度比小磊的速度快．如图中的折线表示前两次相遇，两人的距离 y（米）与跑步时间 x（分）之间的函数关系的图象，下列结论错误的是（）
A．? = 1200B．? = 1500C． ? = 45D．? = 800
9
【答案】C
【分析】A．分别根据速度 = 路程÷ 时间求出两人的速度，当? = 40时，计算两人的路程之差即可；
B．当? = 50时，小磊刚好到达乙地，此时大龙已在返回的途中，求出此时大龙离开乙地的距离即可；
C．二人第一次相遇时路程之和等于甲、乙两地之间距离的 2 倍，据此列关于 c 的一元一次方程并求解即可； D．当? = ?时，小磊在返回甲地途中与大龙相遇，此时大龙第二次从甲地出发前往乙地途中，此时二人的路程之和等于甲、乙两地之间距离的 4 倍，据此列关于 d 的一元一次方程并求解即可．
本题考查一次函数的应用，弄清二人跑步的过程，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
60006000
【详解】解：大龙的速度为 40 = 150（米/分），小磊的速度为 50 = 120（米/分），
40 × (150−120) = 1200（米），
∴? = 1200，
∴A 正确，不符合题意；
150 × (50−40) = 1500（米），
∴? = 1500，
∴B 正确，不符合题意；
根据题意，得(150 + 120)? = 6000 × 2，
解得? =
400
9 ，
∴C 错误，符合题意；
根据题意，得(150 + 120)? = 6000 × 4，
解得? =
800
9 ，
∴D 正确，不符合题意．故选：C．
题型三 多函数图象综合判断
【典例 01】（2025·安徽·一模）在同一平面直角坐标系中，函数? = ??2 +?? + 1和? = ??−?（a 是常数，且? ≠ 0）的图象可能是（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数? = ??−?在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．可先根据一次函数的图象判断 a 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【详解】解：A、由一次函数? = ??−?的图象可得：? < 0，此时二次函数? = ??2 +?? + 1的图象应该开口向下，故选项错误，不符合题意；
B、由一次函数? = ??−?的图象可得：? > 0,? > 0，此时二次函数? = ??2 +?? + 1的图象应该开口向上，
对称轴? = − ?
2?
< 0，和 x 轴的负半轴相交，故选项错误，不符合题意；
C、由一次函数? = ??−?的图象可得：? > 0,? > 0，此时二次函数? = ??2 +?? + 1的图象应该开口向上，
对称轴? = − ?
2?
< 0，和 x 轴的负半轴相交，故选项正确，符合题意；
D、由一次函数? = ??−?的图象可得：? > 0，此时二次函数? = ??2−2? + 1的图象应该开口向上，故选项
错误，不符合题意．
故选：C．
【变式 01】一次函数? = ?? + ?与? = ??（?，?为常数，且?? ≠ 0），它们在同一坐标系内的图象可能为（）
?
A．B．C．D．
【答案】C
?
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数? = ?? + ?图象分析可得?、?的符号，进而可得?
的符号，从而判断? =
??的图象是否符合，进而比较可得答案．
?
【详解】解：根据一次函数的图象分析可得：
?
对于 A、由一次函数? = ?? + ?图象可知? > 0，? < 0，则? < 0；
正比例函数? = ??的图象可知? > 0，故此选项不符合题意；
??
?
对于 B、由一次函数? = ?? + ?图象可知? < 0，? > 0，则? < 0；
正比例函数? = ??的图象可知? > 0，故此选项不符合题意；
??
?
对于 C、由一次函数? = ?? + ?图象可知? < 0，? > 0，? < 0；
正比例函数? = ??的图象可知? < 0，故此选项符合题意；
??
?
对于 D、由一次函数? = ?? + ?图象可知? > 0，? > 0，? > 0；
正比例函数? = ??的图象可知? < 0，故此选项不符合题意．
??
?
【变式 02】已知二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的图象如图，则一次函数? = ??−?和反比例函数? = ?的图象为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象的综合，熟练掌握二次函数，一次函数和反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
根据二次函数图象可得?，?，?的符号，则可判断出一次函数和反比例函数的大致图象．
【详解】解：∵二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的图象开口向下，
∴? < 0，
∵对称轴在 y 轴左侧，
∴− ? < 0，
2?
∴? < 0，
∴一次函数? = ??−?的图象经过第一、二、四象限，
∵二次函数? = ??2 +?? + ?(? ≠ 0)的图象与 y 轴交于负半轴，
∴? < 0，
?
∴反比例函数? = ?的图象分布在第二、四象限．
故选：C．
【变式 03】? = ??−?和? = −?(? ≠ 0)在同一坐标系内的图像可能是（ ）
?
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图像，掌握一次函数和反比例函数图像与相关参数的关系是解题的关键．
分别根据各选项的一次函数和反比例函数图像确定 m 的取值范围，如果不存在矛盾，即符合题意．
【详解】解：A．由一次函数? = ??−?的图像可知? > 0，由反比例函数? = −?(? ≠ 0)图像可知? < 0，
?
存在矛盾，不符合题意；
B．由一次函数? = ??−?的图像可知? > 0，由反比例函数
?(? ≠ 0)
? = −图像可知? > 0，不存在矛盾，
?
符合题意；
C．由一次函数? = ??−?的增减性来看? < 0，又其与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴，即−? < 0，即? > 0
存在矛盾，不符合题意；
D．由一次函数? = ??−?的增减性来看? < 0，又其与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴，即−? < 0，即? > 0
存在矛盾，不符合题意．故选 B．
【变式 04】二次函数? = ??2与一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图像与各系数的关系，熟知相关知识点是正确解答此题的关键．
根据二次函数? = ??2的图像特征判断?的正负，再依据?的正负确定一次函数? = ?? + ?(? ≠ 0)的图像所经
过的象限，从而对各选项进行判断．
【详解】解：A、B、 ∵ 由二次函数的图象开口向上，? > 0，
∴ 一次函数? = ?? + ?的图象应经过一、二、三象限，故 A、B 选项错误，不符合题意；
C、D、 ∵ 由二次函数的图象开口向下，? < 0，
∴ 一次函数? = ?? + ?的图象应经过二、三、四象限，故 D 选项错误，不符合题意，C 选项正确，符合题意；故选：C．
【变式 05】在平面直角坐标系中，反比例函数? = ℎ(ℎ ≠ 0)的图象如图所示，则二次函数? = ?(?−ℎ)2(? ≠ 0)
?
的图象可能是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质和二次函数的图象，掌握好二次函数的顶点坐标是解题关键．由反比例函数的图象确定ℎ > 0，二次函数? = ?(?−ℎ)2(? ≠ 0)的顶点坐标为(ℎ,0)，因此选择顶点在 x 轴正半轴上的图即可．
【详解】解：∵反比例函数? = ℎ(ℎ ≠ 0)的图象在一、三象限，
?
∴ℎ > 0，
∵二次函数? = ?(?−ℎ)2(? ≠ 0)的顶点坐标为(ℎ,0)，
∴二次函数的顶点在 x 轴正半轴上，
观察各选项，只有选项 D 符合题意，故选：D．
【变式 06】（2025·安徽蚌埠·三模）函数? = ??2−2? + 1(?是常数，? ≠ 0，下同)和? = ?? + ?在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的性质以及图象的综合判断，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
分两种情况分析：当? > 0时；当? < 0时；再综合选项判断即可解答．
【详解】解：当? > 0时，二次函数? = ??2−2? + 1的图象开口向上，与?轴正半轴相交，对称轴为? = −−2
2?
11
= ?，? > 0，一次函数? = ?? + ?的图象经过第一、二、三象限；
当? < 0时，二次函数? = ??2−2? + 1的图象开口向下，与?轴正半轴相交，对称轴为? = −−2 = 1 ， 1
< 0，一次函数? = ?? + ?的图象经过第二、三、四象限，则 A，C，D 不符合题意，故选：B．
题型四函数图象的平移、对称变换
2?
??
【典例 01】直线? = −2?平移，若平移后的直线与一次函数? = 4?−3的图象的交点在 y 轴上，则平移后直线的函数解析式为（ ）
A．? = −2?−3B．? = −2? + 3C．? = 2?−3D．? = 2? + 3
【答案】A
【分析】本题先利用 y 轴上点的横坐标为 0 求出交点坐标，再根据一次函数平移的性质设出平移后直线的解析式，最后将交点坐标代入求解即可．
【详解】解：∵y 轴上的点横坐标为 0
∴把? = 0代入? = 4?−3，得? = 4 × 0−3 = −3，
∴两直线的交点为(0,−3)，
设平移后的解析式为? = −2? + ?．将(0,−3)代入 ? = −2? + ?：
−3 = −2 × 0 + ?，
? = −3，
∴平移后直线的函数解析式为? = −2?−3．
【变式 01】（24-25 八年级上·陕西咸阳·期中）将一次函数? = ?? + 2(? ≠ 0)的图象向下平移 2 个单位长度，且平移后的函数图象经过点(−2, 1)，则平移后的函数表达式为（ ）
A．1B111
? = ?
．? = −?C．? = −?−1D．? =
?−1
2222
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，求一次函数解析式，先根据“上加下减，左减右加”的平移规律求出平移后的直线解析式，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：将一次函数? = ?? + 2(? ≠ 0)的图象向下平移 2 个单位长度后的一次函数解析式为
? = ?? + 2−2 = ??，
∵平移后的函数图象经过点(−2, 1)，
∴−2? = 1，
1
∴? = −2，
1
∴平移后的直线解析式为? = −?，
2
故选：B．
【变式 02】（25-26 八年级上·广西贺州·期末）将函数? = 2?−3的图象沿?轴对折，对折后的函数表达式为
（ ）
A．? = 2?−3B．? = −2?−3C．? = 2? + 3D．? = −2? + 3
【答案】D
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，轴对称的性质．函数图象沿 x 轴对折即关于 x 轴对称，纵坐标变为相反数．
【详解】解：∵原函数为? = 2?−3，对折后点(?,?)变为(?,−?)，
∴−? = 2?−3，即? = −2? + 3故选：D
【变式 03】（25-26 九年级上·安徽芜湖·期末）将抛物线? = −?2 +1先向左平移3个单位长度，再向下平移3
个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A．? = −(?−3)2−2B．? = −(? + 3)2−2
C．? = (? + 3)2−2D．? = −(? + 2)2−3
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数抛物线的平移问题，利用抛物线平移“左加右减，上加下减”的规则进行推导即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵将? = −?2 +1先向左平移3个单位长度，根据“左加右减”，得? = −(? + 3)2 +1，再向下平移 3个单位长度，根据“上加下减”，得? = −(? + 3)2 +1−3 = −(? + 3)2−2，
∴所得新抛物线的顶点式为：? = −(? + 3)2−2，故选：B．
【变式 04】（24-25 九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）将抛物线 ? = (?−2)2 +3 向下平移 2 个单位，再向右平移 2 个单位，所得到的抛物线解析式是（ ）
A．? = (?−4)2 +1B．? = (? + 4)2−1
C．? = (?−4)2 +2D．? = (?−4)2−1
【答案】A
【分析】本题考查抛物线的平移，利用初中抛物线平移的规律“左加右减自变量，上加下减常数项”，逐步计算即可得到新抛物线的解析式，结合选项即可得到答案；
【详解】解：∵ 将抛物线 ? = (?−2)2 +3 向下平移 2 个单位，再向右平移 2 个单位，
∴ 平移后解析式为：? = (?−2−2)2 +3−2 = (?−4)2 +1，故选：A．
【变式 05】抛物线? = 2?2−4?−6关于?轴对称后，所得到的抛物线解析式为（ ）
A．? = −2?2 +4? + 6B．? = 2?2 +4?−6
C．? = 2?2 +2?−6D．? = −2?2−2? + 6
【答案】B
【分析】本题考查了函数图象关于坐标轴对称规律，二次函数的图象及性质，理解函数图象关于?轴对称是将解析式中?变换为−?是解题的关键．
【详解】解： ∵ 对称后开口方向和与?轴的交点坐标都没有发生改变，
∴ 抛物线? = 2?2−4?−6关于?轴对称后为
? = 2 × (−?)2−4 × (−?)−6
= 2?2 +4?−6，
故选：B．
【变式 06】（25-26 九年级上·山西吕梁·期末）把抛物线? = −?2 +2?向左平移 1 个单位长度，得到新的抛物线的函数表达式为（ ）
A．? = −?2 +2? + 1B．? = −?2 +2?−1
C．? = −?2 +1D．? = −(?−2)2 +1
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象的平移，先将原抛物线化为顶点式，再根据抛物线平移“左加右减”的规律求出新抛物线的表达式，进而确定选项．
【详解】解：∵原抛物线表达式为? = −?2 +2?
∴配方得? = −(?2−2?) = −(?−1)2 +1
∴原抛物线顶点坐标为(1,1)
∵向左平移 1 个单位长度
∴新抛物线的顶点坐标为(0,1)
∴新抛物线的表达式为? = −?2 +1
故选：C．
题型五 动点问题的函数图象判断
【典例 01】如图，点?和点?同时从正方形????的顶点?出发，点?沿着??→??运动，点?沿着??→??运动，速度都为2cm/s，终点都是点?．若?? = 4cm，则 △ ???的面积 S（cm2）与运动时间?(s)之间的函数关系的大致图象是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了动点问题的函数图象．当0 ≤ ? ≤ 2时，?△???
?△??? = ?????−?△???−?△???−?△???，结合图形，即可求解．
【详解】解：当0 ≤ ? ≤ 2时，如图，
∴?? = 2?，?? = 2?，
1
= 2 × 2? × 2? = 2
?2；当2 ≤ ? ≤ 4时，
∴?
1
△??? = 2 × 2? × 2? = 2
?2，此时抛物线开口向上．
当2 ≤ ? ≤ 4时，如图，
∴?? = 2?cm，?? + ?? = 2?cm，
∵?? = 4cm，四边形????是正方形，
∴?? = 4cm，
∴?? = (2?−4)cm，?? = (2?−4)cm，
∴?? = 4−?? = (8−2?)cm，?? = 4−?? = (8−2?)cm
∴?△??? = ?正方形????−?△???−?△???−?△???
= 4 × 4−2 × 1 × 4 × (2?−4)−1(8−2?)2 = −2?2 +8?，此时抛物线的开口向下．
22
综上，选项 A 符合题意，
故选：A．
【变式 01】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，正方形????的边长为4cm，动点?，?同时从点?出发，以1cm/s的速度分别沿?→?→?和?→?→?的路径向点?运动．设运动时间为?（单位：s），四边形????的面积为?（单位：cm2）则?与?(0 < ? < 8)之间的函数图象大致是下列图中的（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】先求出点?从点?运动到点?，点?从点?运动到点?的时间为4s；点?从点?运动到点?，点?从点?运动到点?的时间为8s，再分两种情况：①0 < ? ≤ 4和②4 < ? < 8，利用面积关系求出?与?之间的函数关系式，由此即可得．
【详解】解：∵正方形????的边长为4cm，
∴ ?? = ?? = ?? = ?? = 4cm，∠? = ∠? = 90°，
∴ ?
△???
= ?
1
△??? = 2 × 4 × 4 = 8
(cm2)，
由题意可知，点?从点?运动到点?，点?从点?运动到点?
4 = 4(s)；点?从点?运动到点?，点?从
点?运动到点?
4+4 = 8(s)，
的时间为1
的时间为 1
①当0 < ? ≤ 4时，?? = ?? = ?cm，
则? = ?
△???
−?
△???
= 8−1?2；
2
②当4 < ? < 8时，?? = ?? = 4 + 4−? = (8−?)cm，
则? = ?
△???
−?
△???
= 8−1(8−?)2
2
= −+8?−24；
1?2
2
2
8− 1 ?2(0 < ? ≤ 4)
综上，?与?(0 < ? < 8)之间的函数关系式为? =
− 1 ?2 2
+ 8?−24(4 < ? < 8) ，
根据二次函数的图像与性质，选项 A 符合题意，选项 B、C、D 不符合题意，故选：A．
【变式 02】（2025·四川绵阳·一模）如图，腰长分别为 2 和 4 的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小直角三角形移动的距离为 x，两个三角形重叠面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的性质，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，再进行分类讨论，根据三角形面积公式进行列式化简，即可作答．
【详解】解：∵腰长分别为 2 和 4 的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．
①0 ≤ ? ≤ 2时，两个等腰直角三角形重叠面积为小的等腰直角三角形的面积，
∴? =
1 × 2 × 2 = 2；
2
②当2 ≤ ? ≤ 4时，
依题意，?? = ??−?? = 4−2 = 2，??′ = ?? = 2，移动距离??′ = ?，
则??′ = ??′−?? = ?−2
∴?? = ??′−??′ = 2−(?−2) = 4−?
∴重叠的面积=边长为(4−?)的等腰直角三角形的面积，
即? = 1 × (4−?) × (4−?) = 1?2−4? + 8，
22
此时是开口方向向上的二次函数，
③当? ≥ 4时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为 0，故选 A．
【变式 03】如图，在矩形????中，?? = 2，∠??? = 30°，动点?由点?出发，沿?→?→?的路径匀速运动，过点?作对角线??的垂线，垂足为?，设?? = ?， △ ???的面积为?，则下列图象中，能表示?与?的函数关 系的图象大致是（ ）
A．
B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及矩形性质、含30°的直角三角形性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分类讨论，准确得到?与?的函数关系式是解决问题的关键．
根据题意，分点?在??上和点?在??上，作出图形，运用含30°的直角三角形性质求出??长度，由三角形面积公式表示出?与?的函数关系式，根据二次函数图象与性质分析即可得到答案．
【详解】解：当点?在??上时，如图所示：
在矩形????中，∠??? = 30°，则∠??? = 60°，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ 在Rt △ ???中，∠??? = 30°，设?? = ?， △ ???的面积为?，
3?2
∴ ?? = 3?，
则? =
1
2?? ⋅ ?? =
1
2? ⋅ 3? =
2
，0 ≤ ? ≤ 1，
是二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为?轴，符合要求的是 B 选项中的图；当点?在??上时，如图所示：
在矩形????中，?? = 2，∠??? = 30°，则?? = 2?? = 4，设?? = ?， △ ???的面积为?，
∴ ?? = ??−?? = 4−?，
∵ ?? ⊥ ??，
∴ 在Rt △ ???中，∠??? = 30°，?? = 4−?，则?? = 3?? = 3(4−?)，
33
则? = 1?? ⋅ ?? = 1? ⋅ 3(4−?) = − 3?2 + 2 3?，1 < ? ≤ 2 3，
22363
是二次函数，图象为抛物线，开口向下，对称轴为? = 2，符合要求的是 B 选项中的图；综上所述，能表示?与?的函数关系的图象大致是，
，
故选：B．
【变式 04】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点?− 3,1，点?是?轴上的一个动点，以??为边作等边 △ ???，当点?(?,?)在第一象限内时，下列图象中可以表示?与?的函数关系的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，在 y 轴上截取?? = 2，作?? ⊥ ?轴于点 F，连接??，??，??，作?? ⊥ ??于 P，由勾股定理求出?? = 2，解直角
三角形得sin∠??? = ?? = 1则∠??? = 30°，进而推出△ ???是等边三角形，则?? = ??，再证明
??2
△ ???≌ △ ???得∠??? = ∠??? = 150°，进而可得?? = 3??，则?−2 = 3?，即? = 3? + 2，结合一次函数图象的性质可得结论．
【详解】解：在 y 轴上截取?? = 2，作?? ⊥ ?轴于点 F，连接??，??，??，作?? ⊥ ??于 P，
∵点 A 的坐标为− 3,1，
∴?? = 3，?? = 1，
??2 + ??2
∴?? =
=
= 2，
4
??1
∴sin∠??? = ?? = 2，
∴∠??? = 30°，
∴∠??? = 60°，
∴ △ ???是等边三角形，
∴?? = ??，
∵ △ ???是等边三角形，
∴?? = ??，∠??? = ∠??? = 60°，
∴∠??? = ∠???，
∴ △ ???≌ △ ???，
∴∠??? = ∠??? = 150°，
∵∠??? = 120°，
∴∠??? = 30°，
∴?? = 3??，
∴?−2 = 3?，即? = 3? + 2，又? > 0，
则下列图象中，可以表示?与?的函数关系的是选项 A．故选：A．
【变式 05】（2025·黑龙江·模拟预测）如图，⊙ ?的直径??为4，?? = ??，点?为??的中点，点?沿路线?→?→?
运动，连接??，??．用?表示点?的运动路程，?表示 △ ???的面积下列图像适合表示?与?的对应关系的是
（ ）
A．B．C．
D．
【答案】A
【分析】分点 P 在??上运动和点 P 在??上运动两种情况，分别用含 x 的式子表示出△ ???的面积，即可求解．
【详解】解：当点 P 在??上运动时，作?? ⊥ ??于点 E，如图：
∵??为 ⊙ ?的直径，
∴∠??? = 90°，
∵?? = ??，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴∠? = ∠? = 45°，
∴?? = ?? = ??sin? = 4sin45° = 4 × 2 = 2 2，
2
∵点 D 为??的中点，
∴?? =
1?? = 2，
2
∵∠? = 45°，?? ⊥ ??，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
∴?? = ??sin? = ?sin45° = 2?，
2
1
∴?
121
2
△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 ×
×? = ?；
22
即当0 < ? < 4时，
1 ，可以排除 C，D 选项；
? = 2?
当点 P 在??上运动时，如图：
∵?? = ?? + ??−? = 4 + 2 2−?，
1
∴?
12
2
2
△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 ×
× 4 + 2 2−? = − 2 ? + 2
+2，
即当4 < ? < 4 + 2 2时，
2
2
? = − 2 ? + 2
故选：A．
+2，可以排除 B 选项；
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，用勾股定理解三角形，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
【变式 06】（2025·河南郑州·一模）如图，矩形????中，?? = 3，?? = 4，动点?从?点出发，按?→?→?
的方向在??和??上移动，记?? = ?，点?到直线??的距离为?，则?关于?的函数图象大致是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查动点问题函数图象，解题关键是利用相似三角形的判定与性质，难点在于根据点 P 的位
置分情况讨论．
①点P 在??上时，点D 到??的距离为??的长度，②点P 在??上时，根据同角的余角相等求出∠??? = ∠???，再利用相似三角形的性质列出比例式整理得到 y 与 x 的关系式，从而得解．
【详解】①点 P 在??上时，0 ≤ ? ≤ 3，点 D 到??的距离为??的长度，是定值 4；
②点 P 在??上时，3 < ? ≤ 5，
∵∠??? + ∠??? = 90°，
∠??? + ∠??? = 90°，
∴∠??? = ∠???，
又∵∠? = ∠??? = 90°，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ??，
??
??
3?
即? = 4，
∴? =
12
? ，
只有 B 选项图形符合，故选：B．
题型六 几何图形变化中的函数图象
【典例 01】（2025·辽宁锦州·二模）如图①， △ ???是等腰三角形，?是底边??的中点，动点?从点?出发，沿边??→??匀速运动，运动到点?时停止．设点?的运动路程为?，??的长为?，?与?的函数图象如图②所示，则?的值为（ ）
12524
A． 5B．2C． 5D．5
【答案】C
【分析】本题考查了函数与几何图形相结合的变换，勾股定理，合理从图中获取相关信息是解题的关键．从图形变化中获取??和??的长，连接??，利用勾股定理求出??的长，再利用等面积法列式运算即可．
【详解】由题图①可知，当? = 0时，? = 8，此时点?与点?重合，
∴?? = 8，
∵?是底边??的中点，
∴?? = ?? = 8，
∵当? = 20时? = 8，此时点 E 与点 C 重合，
∴?? + ?? = 20，
∴?? = ?? = 10，
如图，连接 AD，则?? ⊥ ??，
∴∠??? = 90°，
??2−??2
∴?? =
=
= 6，
102−82
由题图②可知，m 为函数的最小值，
∴点?到??的距离为?，
11
∴?△??? = 2?? × ?? = 2?? × ?，
∴1 × 8 × 6 =
2
1 × 10 × ?，
2
24
解得：? = 5 ，
故选：C．
【变式 01】（2025·甘肃酒泉·模拟预测）如图①，在▱????中，动点 P 从点 B 出发，沿折线?→?→?→?运动，设点 P 经过的路程为 x， △ ???的面积为 y，y 是 x 的函数，函数的图象如图②所示，则▱????的周长为（ ）．
A．14B．18C．20D．28
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、函数图象等知识点，从函数图象中获得??、??的长是解题的关键．
由图②知，?? = 6，?? = 14−6 = 8，再根据平行四边形的周长公式计算即可．
【详解】解：由图②知，?? = 6，?? = 14−6 = 8，
∵▱????，
∴?? = ?? = 6,?? = ?? = 8，
∴▱????的周长为?? + ?? + ?? + ?? = 28．故选：D．
【变式 02】（2025·河南周口·一模）如图①，在四边形????中，?? ∥ ??，∠??? = 90°，动点 P 从点 B 出发，沿 B→C→D 方向运动，运动至点 D 停止．设点 P 运动的路程为 x， △ ???的面积为 y，如果 y 关于 x的函数图象如图②所示，则△ ???的周长是（ ）
13
A．6 +
【答案】B
B．5 +
C．4 +
D．3 +
13
13
13
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，
先设?△??? = 1?? ⋅ ℎ，再结合图象可知点 P 在??边上运动时，可知?? = 2，再根据点 P 在??运动路程时，
2
可得?? = 3，然后根据勾股定理求出?? = 13，则此题可解．
【详解】解：设△ ???边??上的高为 h．
1
∴?△??? = 2?? ⋅ ℎ，
当动点 P 沿??边上运动时，?? = ℎ = ?，
1
∴?△??? = 2?? ⋅ ?，对应图象为0 < ? < 2部分，
由图象可知：点 P 在??边上运动的路程为?? = 2−0 = 2；
当点 P 沿??边上运动时，ℎ = ??,?
1为定值，对应图象2 < ? < 5部分，由图象可知，点 P 在
△??? = 2?? ⋅ ??
??运动路程为?? = 5−2 = 3．如图，连接??，
∵在四边形????中，?? ∥ ??，∠??? = 90°，
??2＋??2
32 + 22
∴∠??? = 90°，
根据勾股定理，得?? =
=
= 13，
13
∴?△??? = ?? + ?? + ?? = 2 + 3 += 5 + 13．
【变式 03】（2025·甘肃金昌·一模）如图 1，在平行四边形 ABCD 中，动点 P 从点 A 出发，沿折线??→??方向匀速运动，运动到点 C 时停止，设点 P 的运动路程为 x，线段 AP 的长度为 y，y 与 x 的函数图象如图 2所示．若 AP 的最大值为 4，则 BC 的长为（ ）
A．4B．4.4C．4.8D．5
【答案】D
【分析】本题考查了根据函数图象获取有效信息，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
连接??，过点 A 作??′ ⊥ ??于?′，根据函数图象可知：?? = 4，?? = 3，?? + ??′ = 4.8，所以 ??′
= 1.8，在Rt????′中，由勾股定理得：??′ = 2.4，在Rt △ ??′?中，由勾股定理得：?′? = 3.2，最后根据
?? = ??′ + ?′?即可解答．
【详解】解：连接??，过点?作??′ ⊥ ??于点?′，如解图，由题意得?? = 4，?? = 3，?? + ??′ = 4.8，
32−1.82
∴ ??′ = 4.8−3 = 1.8，
??2−??′2
??′ =
=
= 2.4，
??2−??′2
?′? =
=
= 3.2，
42−2.42
∴ ?? = ??′ + ?′? = 1.8 + 3.2 = 5，
故选：D．
【变式 04】（2026 八年级下·全国·专题练习）如图①，点 P 从菱形????的边??上的一点开始运动，沿直线运动到菱形的中心，再沿直线运动到点 C 停止．设点 P 运动的路程为 x，点 P 到??的距离为 m，到??的
?
距离为 n，且? = ?（当点 P 与点 C 重合时，? = 0），点 P 运动时，y 随 x 的变化关系如图②所示，则菱形
????的面积为（ ）
7
A．12
【答案】B
B．6
C．10D．6
7
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，动点问题的函数图象，连接??，??交于点?，连接??，当0 ≤ ? ≤ 2时，y 的值恒等于 1，点?的运动路径是△ ???的中位线，则可得到
?? = 2 × 2 = 4，再根据当? = 5时，? = 0，求出?? = 3，由菱形的性质求出??，??的长即可得到答案．
【详解】解：如图，连接??，??交于点?，连接??．
由题意，得当0 ≤ ? ≤ 2时，y 的值恒等于 1，
∴? = ?．
∴点?的运动路径是△ ???的中位线，且?? = 2 × 2 = 4．
∵当? = 5时，? = 0，
∴?? = 3．
由菱形的性质可得 ?? = 2??，?? = 2??，?? ⊥ ??，
∴?? = 2?? = 6，
??2−??2
∴?? == 7．
∴?? = 2?? = 2 7．
7
11
∴?菱形???? = 2?? ⋅ ?? = 2 × 2× 6 = 6 7．
故选：B．
【变式 05】（25-26 八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形????中，∠? = 60°，动点?从点?出发，沿折线??→??→??方向匀速运动，运动到点?停止．设点?的运动路程为?， △ ???的面积为?，?与?的函数图象如图②所示，则??的长为（ ）
3
A．
【答案】B
B．2C．4D．6
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理；根据图①和图②判定三角形???为等边三角形，它的面积为 3解答即可．
【详解】解：连接??，
在菱形????中，∠? = 60°，?? = ??，
∴△ ???为等边三角形，
设?? = ?，由图②可知， △ ???的面积为 3，过点?作?? ⊥ ??，则∠??? = 30°，
∴?? =
1??，
2
??2−??2
∴?? =
= 3?? = 3?? = 3?，
1
∴?
22
13? = 3?2
△??? = 2 × ?? × ?? = 2 × ? × 24
3
∴ 3?2 =
4
解得： ? = 2(负值已舍)，即则??的长为 2．
【变式 06】（2026·湖北黄石·一模）如图①，在菱形????中，∠? = 45°，动点?从点?出发，以每秒 1 个单位的速度沿线段??运动到点?停止，同时动点?从点?出发，以每秒 2 个单位的速度沿折线?−?−?运动到点?停止．图②是点?，?运动时△ ???的面积?与运动时间?的函数关系的图象，则?的值为（ ）
2
C．9 2
2
D．9 3
2
A．2B．2
【答案】C
【分析】本题考查了动点函数的图象，菱形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是由点的运动结合图 2
得出??、??的长．根据题意可得?? = ?? = ?? = 6，分当点 Q 在??上时，即0 ≤ ? < 3时和当点 Q 在??上时，即3 ≤ ? ≤ 6时，分别表示出?△???，分析可知当点 Q 到达点 C 时，? = ?，此时? = 3，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：由题图 2 得，? = 6时，点 P 停止运动，
∴ 点 P 以每秒 1 个单位速度从点?运动到点?用了 6 秒，
∴ ?? = ?? = ?? = 6，
由点 P 和点 Q 的运动可知，?? = ?,?? = 6−?，当点 Q 在??上时，即0 ≤ ? < 3时，?? = 2?，过点 P 作?? ⊥ ??交??于?，
∵ ∠? = 45°，
∴ ?? = ?? ⋅ sin45° = 2(6−?)，
2
1
∴ ?
12(6−?) = − 2?2 +3 2?，
△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 ⋅ 2? ⋅ 22
当点 Q 在??上时，即3 ≤ ? ≤ 6时，
∵ 四边形????是菱形，
∴ ?? ∥ ??，
∴ ?
1
= ?
12(6−?) = −3 2? + 9 2，
△???
△??? = 2?? ⋅ ?? = 2 × 6 × 22
由上可知，当点 Q 到达点 C 时，? = ?，
2
，
2
即当? = 3时，? = −3 2 × 3 + 9= 9 2
2
故选：C
（限时训练：15 分钟）
1．（2025·广东汕头·一模）若直线? = 2? + ?与直线? = ?? + 3关于直线? = −?对称，则 k、b 值分别为
（ ）
1111
A．? = 2、? = 6 B．? = 2、? = 3C．? = −2、? = 6D．? = −2、? = 3
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图像与几何变换，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．根据题意得到直线? = 2? + ?关于直线? = −?的对称点，然后利用待定系数法即可求解．
?
【详解】解：直线? = 2? + ?与?轴的交点为 − 2 ,0 ，与?轴的交点为(0,?)；
?
∴ 点 − 2 ,0 关于直线? = −?的对称点为 0,
，点(0,?)关于直线? = −?的对称点为(−?,0)，
?
2
?
2
把点0,、(−?,0)代入? = ?? + 3， 3 = ?
得：2，
0 = −?? + 3
1
解得：? = 2，? = 6，
故选：A．
2．将抛物线? = (?−2)2 +1向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，所得抛物线是（ ）
A．? = ?2B．? = (?−1)2C．? = (?−4)2 +2D．? = ?2 +2
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移的法则是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”的平移的法则即可解决问题．
【详解】解：由题知，
将抛物线? = (?−2)2 +1向左平移 2 个单位长度，所得抛物线的解析式为? = (?−2 + 2)2 +1 = ?2 +1，再向下平移 1 个单位长度，所得抛物线解析式是? = ?2．
故选：A．
向如图所示的空容器内注水，注满为止，则水面高度ℎ关于注水量?的函数图象大致是（ ）
B．
C．D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器各部分的大小与高度不同，每部分的粗细不同得到用时的不同．可得水面高度ℎ随注水量?变化而分三个阶段，再进一步分析即可.
【详解】解：最下段的容器最粗，第二段容器较粗，第三段最细，
∴最下段的函数图象水面高度ℎ随注水量?的增大而增长缓慢，用时最长，且图象为线段，第二段的函数图象水面高度ℎ随注水量?的增大而增长较第一段快，且图象为曲线，
第三段的函数图象水面高度ℎ随注水量?的增大而增长较第二段快，用时最小，图象为线段，
∴A 符合题意．故选：A．
4．（2025·江西萍乡·二模）如图所示的是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，则容器中水面的高度ℎ
随时间?变化的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体、利用函数的图象解决实际问题等知识点，正确理解函数的图象表示的意义是解题的关键．
该三视图表示的容器上面是圆台、上面细、下面粗，圆台下面是圆柱分两部分讨论水面上升情况即可解答．
【详解】解：该三视图表示的容器上面是圆台，上面细，下面粗，圆台下面是圆柱，随着时间的增加，水面高度逐渐增加，开始时是匀速增加。上面细，高度增加得越来越快，即 B 选项符合题意．
故选 B．
5．（25-26 八年级下·全国·周测）老师组织学生们去生态园郊游，从学校出发沿如图所示的行程匀速去生态园．设他们与学校的距离为 s（单位：m），所用时间为 t（单位：min）．下列选项中的图象，可能表示 s与 t 之间关系的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数图像，熟练掌握根据题干信息判断大致图像是解题的关键；根据题干信息判断大致图像．
【详解】解：A、老师组织学生们去生态园郊游，从学校出发先步行20min到离学校1200m的凉亭，然后在
凉亭休息了20min，再步行20min，最终到离凉亭1200m的生态园，选项 A 与上述分析一致，符合题意； B、他们距离学校越来越远，?值也随之增大，选项 B 总路程是减小的，不符合题意；
C、最终?值为0，代表他们最终回到了学校，与题干“去生态园”不符，不符合题意；
D、中间在凉亭休息一段时间，此时与学校的距离不变，图像为平行与?轴的线段，选项 D 没有体现出休息阶段，不符合题意；
故选： A．
6．函数? = ??−?与? = ?(? ≠ 0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
?
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数、反比例函数图象与系数的关系逐项判断即可．
【详解】解：若? > 0，反比例函数过一、三象限，一次函数过一、三、四象限；若? < 0，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、四象限．
故选：A．
7．如图，正方形????的边长为 2，点 P 沿折线?−?−?匀速运动，到点 A 时停止，过点 P 作?? ⊥ ??于点 E，作?? ⊥ ??于点 F，设点 P 运动的路程为 x，四边形????的面积为 y，能大致表示 y 与 x 之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点?在??和??上的不同位置分段建立面积函数，通过分析函数类型与增减性确定图像特征，进而得出答案．
【详解】解：当点?沿?−?运动：根据题意，?? = ?，
∵ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，∠? = 90°，
∴ 四边形????为矩形，
∵ ??为正方形????的对角线，
∴ ∠??? = 45°，
∴ △ ???是等腰直角三角形，
?? = ?? = 2− ?
∴ ?? = ?? = 2?， 2 ，
22
∴ ?
= ?? × ?? = 2? 2− 2 ?1?2 + 2?，
矩形????
= −
222
∴ 函数图像为开口向下的抛物线；当点?沿?−?运动：
四边形????为矩形，?? = ??，
∵ ?? = ?? = ?−?? = ?−2 2，
2
∴ ?矩形???? = ?? × ?? = ?−22 = 2?−4 2，
∴ 函数图像为一次函数，?随?的增加而增加．
综上，表示?与?之间的函数关系的图象先是开口向下的抛物线，然后是?随?的增加而增加的一次函数． 8．（25-26 九年级上·河南开封·期末）如图，Rt △ ???中，∠? = 90°，点 D 为??的中点，动点 P 从点 A 出发沿??→??运动到点 B．设点 P 的运动路程为 x， △ ???的面积为 y，y 与 x 的函数图象如图 2 所示，则??的长为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】A
【分析】从函数图象终点得到直角三角形两直角边之和?? + ?? = 14，从图象峰值得到点?到达?时△ ???的最大面积为 12．利用直角三角形斜边中点性质，得到 △ ??? 面积与两直角边的关系，联立两直角边之和的方程，解出两直角边的乘积．结合勾股定理，通过两直角边的和与积，计算出斜边??的长度．
【详解】解：动点?从?沿??→??到?，总路程?? + ?? = 14（由图 2 终点? = 14得）．当?到?时， △ ???面积最大为 12；
1
?是??中点，故?到??的高为2??．
设?? = ?，?? = ?，
1
2
? + ? = 14
则
⋅ ? ⋅ 1 ? = 12
2
化简得：
? + ? = 14
?? = 48
根据勾股定理：??2 = ?2 + ?2 = (? + ?)2−2??
代入数值：??2 = 142−2 × 48 = 196−96 = 100
100
开方得：?? == 10．
【点睛】从函数图象中提取直角边之和与最大面积的信息，再构建方程求解边长．
9．如图，在长方形自动化工作区????中，一台???巡检小车?从点?出发，沿?→?→?→?的路径匀速运动，最终到达点?．设小车运动的时间为?（秒），△ ???的面积为?（平方米）．已知?与?的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为(0,0)、(4,6)、(7,6)，最终在? = 11时?降为 0．根据图像信息， 下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（ ）
A．当? = 9时， △ ???的面积为 3 平方米
B．小车的运动速度为 1 米／秒 C．长方形????的周长为 14 米
D．在运动过程中， △ ???的面积为 2 平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为 10 秒
【答案】D
【分析】本题主要考查了通过函数图象解决几何问题，解题的关键是掌握数形结合的思想．通过函数图象获取信息，然后逐项进行判断即可．
63
【详解】解：A.由图可知，用时 4 秒，面积达到 6 平方米，面积每秒的变化为4 = 2平方米，
当? = 9时， △ ???的面积为6−(9−7)
3
× 2 = 3
平方米，
该选项正确，不符合题意；
B.假设运动速度为?米／秒，?? = ?? = ℎ，
1(7−4)
结合图象可得2 × 4?ℎ = 6，
? = ℎ，联立两个方程可得，
? = 1，
该选项正确，不符合题意；
C.由选项 B 可知，小车的运动速度为 1 米／秒，
∴?? = 4 × 1 = 4,?? = (7−4) × 1 = 3，
∴长方形????的周长为(4 + 3) × 2 = 14米，该选项正确，不符合题意；
3
D.由选项 A 得，面积每秒的变化为2平方米，
3
当△ ???的面积增加为 2 平方米时，2? = 2，
4
解得? = 3；
平方米时，2=，
当△ ???的面积减少为 2
3(?−7)(6−2)
29
解得? = 3 ；
429
∴这两个时刻之和为3 + 3 = 11 ≠ 10，
该选项错误，符合题意；故选：D．
10．（2025·安徽合肥·三模）如图，在 △ ???中，∠??? = 90°，?? = ?? = 6，点 D 在边??上，
?? = 2??，点 E 是边??上的动点（不与端点 A，B 重合），点 F 是边??上的动点（不与端点 A，C 重合），连接??,??，且∠??? = 45°，若?? = ?， △ ???的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、动点的函数图象问题，解题的关键是通过相似三角形得到边的关系，进而得出?关于?的函数表达式，再根据函数性质判断函数图象．
????
先求出??的长度以及??、??的长度，通过角度关系证明 △ ??? ∽△ ???，得出?? = ??，根据边的关系求
出??关于?的表达式，进而得出?关于?的函数表达式，根据函数性质确定函数图象．
【详解】解： ∵ ∠??? = 90°，?? = ?? = 6，
62 + 62
∴ ∠? = ∠? = 45°，?? == 6 2，
∵ ?? = 2??，
∴ ?? = 2 2，?? = 4 2，
∵ ∠??? = 45°，
∴ ∠??? + ∠??? = 135°，
∵ ∠??? + ∠??? = 135°，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
?
4 2
∴
2 2
，
= ??
1616
∴ ?? =
? ，?? = 6− ? ，
过点?作?? ⊥ ??于点?，
∵ ??∥??，
∴△ ??? ∽△ ???，
????2
∴ ?? = ?? = 3，
∴ ?? =
1
?? = 4，
2
3
16
?
32
6−
∴ ? = 2 ×× 4 = 12− ? ，
168
又当?? = 6时，即? = 6，? = 3，
∴ 8 < ? < 6，
3
32
∴ ?关于?的函数的图象是将反比例函数? = − ? 的图象向上平移 12 个单位长度得到的图象的一部分，只有
选项 C 符合条件．故选：C.
11．（25-26 九年级上·广东佛山·月考）如图 1，在Rt △ ???中，∠? = 90°，D 为??上一点，动点?以每秒 1
个单位的速度从?点出发，在三角形边上沿?→?→?匀速运动，到达点?时停止，以??为边作正方形
????．设点?的运动时间为?s，正方形????的面积为?．当点?由点?运动到点?时，经探究发现?是关于?的二次函数，并绘制成如图 2 所示的图象．根据图象信息，求得线段??的长为．
【答案】6
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是从图中获取信息．
连接??，过点 D 作?? ⊥ ??于点 G；当点 P 在线段??上运动时，在Rt △ ???中，?? = ?，则? = ??2 = ?2
+??2，函数值随 t 的增大而增大，与点 B 重合时最大；当点 P 在线段??上运动时，S 先减小，再增大，在 与点 G 重合时最小，与点 A 重合时达到最大；由此得?? = 2，??2 = 2，??2 = 18，由勾股定理求得??，再证明△ ??? ∽△ ???，即可求解，
【详解】解：如图，连接??，过点 D 作?? ⊥ ??于点 G，当点 P 在线段??上运动时，
在Rt △ ???中，?? = ?，则? = ??2 = ?2 +??2，
∴函数值随 t 的增大而增大，与点 B 重合时最大；
当点 P 在线段??上运动时，??的长度是先减小，到与点 G 重合时，达到最小，再增大，与点 A 重合时达到最大，而? = ??2，
∴S 先减小，再增大，在与点 G 重合时最小，与点 A 重合时达到最大，
∴结合图象知，?? = 2，??2 = 2，??2 = 18，
∴?? = 2，?? = 3 2，
??2−??2
在Rt △ ???中，由勾股定理得?? =
=
= 4，
18−2
∵∠??? = ∠? = 90°，∠? = ∠?，
∴ △ ??? ∽△ ???，
∴?? = ?? = 2，
????2
2??
2
∴?? == 6，
故答案为：6．
12．（2026·湖北·模拟预测）如图，在矩形????中，?? = 4，E 是??边上的一个动点，?? ⊥ ??，??交??于点 F，设?? = ?，?? = ?，图 2 是点 E 从点 B 运动到点 C 的过程中，y 关于 x 的函数图象．
（1）?? = ；
（2）连接??，若?△??? = 8.8，则? = ．
【答案】51 或 3
【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．
（1）首先推导出△ ??? ∽△ ???，利用三角形相似求出?关于?的函数关系式
1(?−2)241
?2
? = −
5
+ 5 =
5(4?−
)，根据函数关系式进行分析求解；
（2）利用三角形面积公式求得?? = 4.4，?? = ??−?? = 0.6，即? = 0.6，代入1
?2)，解一元二
? = 5(4?−
次方程即可求解．
【详解】解：（1） ∵ ?? = 4，?? = ?，
∴ ?? = ??−?? = 4−?．
∵ ?? ⊥ ??，
∴ ∠??? + ∠??? = 90°．
∵ ∠??? + ∠??? = 90°，
∴ ∠??? = ∠???．
∵ ∠? = ∠? = 90°，
∴△ ??? ∽△ ???，
????
∴ ?? = ??，
??
设?? = ?，则4−? = ?，
整理得? = 1 (4?−?2)，
?
4
5
由图象可知，点?从点?运动到点?的过程中，?关于?的函数图象为抛物线，且顶点坐标为2,，
5
∴ 设抛物线的解析式为? = ?(?−2)2 + 4，
∵ 抛物线过点(4,0)，
4
∴ 4? + 5
= 0，
1
解得? = −5，
∴ ? = −1(?−2)2 + 4 = 1(4?−?2)，
555
∴ ? = 5，
∴ ?? = 5．故答案为∶5．
（2）∵?△??? = 8.8，?? = ?? = 4，
∴?? =
8.8×2
4
= 4.4，
∴?? = ??−?? = 0.6，
1
∴(4?−?
5
2) = 0.6，
整理得?2−4? + 3 = 0，解得? = 3或? = 1，
故答案为：1 或 3．