2026届甘肃省部分普通高中高三第五次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届甘肃省部分普通高中高三第五次模拟考试数学试卷含解析，共4页。试卷主要包含了已知，则，设过定点的直线与椭圆等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是( )
A．1B．-3C．1或D．-3或
2．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则,，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
4．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）
A．B．C．D．
5．设，随机变量的分布列是
则当在内增大时，（ ）
A．减小，减小B．减小，增大
C．增大，减小D．增大，增大
6．在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰非等边三角形
C．等腰或直角三角形D．钝角三角形
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）
A．B．C．D．
9．设过定点的直线与椭圆：交于不同的两点，，若原点在以为直径的圆的外部，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
10．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在，内的学生人数为（ ）
A．800B．1000C．1200D．1600
11．年部分省市将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为
A．B．
C．D．
12．以，为直径的圆的方程是
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设P为有公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则______________.
14．已知为椭圆上的一个动点，，，设直线和分别与直线交于，两点，若与的面积相等，则线段的长为______.
15．设函数，若在上的最大值为，则________.
16．设函数，若对于任意的，∈[2，，≠，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的各项均为正数，且满足.
（1）求，及的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18．（12分）在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，为定点，点为的中点，动点满足，且，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线交曲线于，两点，为曲线上异于，的任意一点，直线，分别交直线于，两点.问是否为定值？若是，求的值；若不是，请说明理由.
19．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆上且不在轴上的一个动点，为坐标原点，过右焦点作的平行线交椭圆于、两个不同的点，求的值．
20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为
（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线、的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于、两点（异于极点），定点，求的面积
21．（12分）在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+）.
（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积.
22．（10分）已知椭圆的焦距为2，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为的左焦点，点为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点，
（ⅰ）证明：平分线段（其中为坐标原点）；
（ⅱ）当取最小值时，求点的坐标．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
由题得，解方程即得k的值.
【详解】
由题得，解方程即得k=-3或.
故答案为：D
【点睛】
(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点到直线的距离.
2、C
【解析】
根据函数的奇偶性得，再比较的大小，根据函数的单调性可得选项.
【详解】
依题意得，，
当时，，因为，所以在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，
，即，
故选：C.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.
3、C
【解析】
根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得.
【详解】
为得到，
将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
故可得；
再将 向左平移个单位长度，
故可得.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.
4、C
【解析】
根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.
【详解】
由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.
5、C
【解析】
，，判断其在内的单调性即可．
【详解】
解：根据题意在内递增，
，
是以为对称轴，开口向下的抛物线，所以在上单调递减，
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题．
6、C
【解析】
利用正弦定理将边化角，再由，化简可得，最后分类讨论可得；
【详解】
解：因为
所以
所以
所以
所以
所以
当时，为直角三角形；
当时即，为等腰三角形；
的形状是等腰三角形或直角三角形
故选：．
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
7、C
【解析】
利用诱导公式得，，再利用倍角公式，即可得答案.
【详解】
由可得，∴，
∴.
故选：C.
【点睛】
本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号.
8、D
【解析】
先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.
【详解】
根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：
由三视图知： ，
所以，
所以，
所以该几何体的最长棱的长为
故选：D
【点睛】
本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
9、D
【解析】
设直线：，，，由原点在以为直径的圆的外部，可得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求得答案.
【详解】
显然直线不满足条件，故可设直线：，
，，由，得，
，
解得或，
，，
，
，
，
解得，
直线的斜率的取值范围为.
故选：D.
【点睛】
本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
10、B
【解析】
由图可列方程算得a，然后求出成绩在内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在内的学生人数.
【详解】
由频率和为1，得，解得，
所以成绩在内的频率，
所以成绩在内的学生人数.
故选：B
【点睛】
本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.
11、B
【解析】
甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B．
12、A
【解析】
设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出，从而求出圆的方程.
【详解】
设圆的标准方程为，
由题意得圆心为，的中点，
根据中点坐标公式可得，，
又，所以圆的标准方程为：
，化简整理得，
所以本题答案为A.
【点睛】
本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
设
根据椭圆的几何性质可得
,
根据双曲线的几何性质可得，
,
即
故答案为
14、
【解析】
先设点坐标，由三角形面积相等得出两个三角形的边之间的比例关系，这个比例关系又可用线段上点的坐标表示出来，从而可求得点的横坐标，代入椭圆方程得纵坐标，然后可得．
【详解】
如图，设，，，
由，得，
由得，∴，解得，
又在椭圆上，∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查直线与椭圆相交问题，解题时由三角形面积相等得出线段长的比例关系，解题是由把线段长的比例关系用点的横坐标表示．
15、
【解析】
求出函数的导数，由在上，可得在上单调递增，则函数最大值为，即可求出参数的值.
【详解】
解：定义域为
，
在上单调递增，
故在上的最大值为
故答案为：
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于基础题.
16、
【解析】
试题分析：由题意得函数在[2，上单调递增，当时在[2，上单调递增；当时在上单调递增；在上单调递减，因此实数a的取值范围是
考点：函数单调性
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；.；（2）
【解析】
（1）根据题意，知，且，令和即可求出，，以及运用递推关系求出的通项公式；
（2）通过定义法证明出是首项为8，公比为4的等比数列，利用等比数列的前项和公式，即可求得的前项和.
【详解】
解：（1）由题可知，，且，
当时，，则，
当时，，，
由已知可得，且，
∴的通项公式：.
（2）设，则，
所以，，
得是首项为8，公比为4的等比数列，
所以数列的前项和为：
，
即，
所以数列的前项和：.
【点睛】
本题考查通过递推关系求数列的通项公式，以及等比数列的前项和公式，考查计算能力.
18、（1）；（2）是定值，.
【解析】
（1）设出M的坐标为，采用直接法求曲线的方程；
（2）设AB的方程为，，,，求出AT方程，联立直线方程得D点的坐标，同理可得E点的坐标，最后利用向量数量积算即可.
【详解】
（1）设动点M的坐标为，由知∥，又在直线上，
所以P点坐标为，又，点为的中点，所以，，，
由得，即；
（2）
设直线AB的方程为，代入得，设，，
则，，设，则，
所以AT的直线方程为即，令，则
，所以D点的坐标为，同理E点的坐标为，于是，
，所以
，从而，
所以是定值.
【点睛】
本题考查了直接法求抛物线的轨迹方程、直线与抛物线位置关系中的定值问题，在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系，本题思路简单，但计算量比较大，是一道有一定难度的题.
19、（Ⅰ）（Ⅱ）1
【解析】
（Ⅰ）由题，得，，解方程组，即可得到本题答案；
（Ⅱ）设直线，则直线，联立，得，联立，得，由此即可得到本题答案.
【详解】
（Ⅰ）由题可得，即，，
将点代入方程得，即，解得，
所以椭圆的方程为：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
设直线，则直线，
联立，整理得，
所以，
联立，整理得，
设，则，
所以，
所以．
【点睛】
本题主要考查椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的综合问题，考查学生的运算求解能力.
20、（1），；（2）.
【解析】
（1）先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程；
（2）先利用极坐标求出弦长，再求高，最后求的面积．
【详解】
（1）曲线的极坐标方程为： ，
因为曲线的普通方程为： ，
曲线的极坐标方程为；
（2） 由（1）得：点的极坐标为， 点的极坐标为，
，
点到射线的距离为
的面积为 .
【点睛】
本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解面积问题，考查计算能力，属于中等题.
21、 (1) 直线l的普通方程为x＋y－4＝0. 曲线C的直角坐标方程是圆：(x－)2＋(y－1)2＝4. (2)4
【解析】
（1）将直线l参数方程中的消去，即可得直线l的普通方程，对曲线C的极坐标方程两边同时乘以，利用可得曲线C的直角坐标方程；
（2）求出点到直线的距离，再求出的弦长，从而得出△MON的面积．
【详解】
解：(1)由题意有，
得，
x＋y＝4，
直线l的普通方程为x＋y－4＝0.
因为ρ＝4sin
所以ρ＝2sinθ＋2csθ，
两边同时乘以得，
ρ2＝2ρsinθ＋2ρcsθ，
因为，
所以x2＋y2＝2y＋2x，即(x－)2＋(y－1)2＝4，
∴曲线C的直角坐标方程是圆：(x－)2＋(y－1)2＝4.
(2)∵原点O到直线l的距离
直线l过圆C的圆心(，1)，
∴|MN|＝2r＝4，
所以△MON的面积S＝ |MN|×d＝4.
【点睛】
本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化知识，解题的关键是正确使用这一转化公式，还考查了直线与圆的位置关系等知识.
22、（1）（2）（ⅰ）见解析（ⅱ）点的坐标为．
【解析】
（1）由题意得，再由的关系求出，即可得椭圆的标准方程；
（2）（i）设，的中点为，，设直线的方程为，代入椭圆方程中，运用根与系数的关系和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证；
（ii）利用两点间的距离公式及弦长公式将表示出来，由换元法的对勾函数的单调性，可得取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点的坐标.
【详解】
解：（1）由题意得， ，所以，
所以椭圆方程为
（2）设， 的中点为，
（ⅰ）证明：由，可设直线的方程为，
代入椭圆方程，得，
所以，
所以，则直线的斜率为，
因为，所以，
所以三点共线，所以平分线段；
（ii）由两点间的距离公式得
由弦长公式得

所以，
令，则，由在上递增，可得，即时，取得最小值4，
所以当取最小值时，点的坐标为
【点睛】
此题考那可是椭圆方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，运用根与系数的关系和中点坐标公式，同时考查弦长公式，属于较难题.
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