2026届甘肃省定西市通渭县高考冲刺数学模拟试题含解析

这是一份2026届甘肃省定西市通渭县高考冲刺数学模拟试题含解析，共4页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，复数满足，则复数等于等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．若2m＞2n＞1，则（ ）
A．B．πm﹣n＞1
C．ln（m﹣n）＞0D．
3．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则为( )
A．B．40C．16D．
4． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A．B．
C．D．
5．设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则m的值为（ ）
A．B．C．1D．3
6．复数满足，则复数等于（）
A．B．C．2D．-2
7．已知函数的最小正周期为的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则的单调递增区间为( )
A．B．
C．D．
8．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时，表示收入完全不平等.记区域为不平等区域，表示其面积，为的面积，将称为基尼系数.
对于下列说法：
①越小，则国民分配越公平；
②设劳伦茨曲线对应的函数为，则对，均有；
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则；
④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则.
其中正确的是：
A．①④B．②③C．①③④D．①②④
9．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ）
A．方差B．中位数C．众数D．平均数
10．已知双曲线的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
11．已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中A（0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为，则实数a的值为_____．
14．若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围有___________.
15．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是______.
①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；
②支出最高值与支出最低值的比是6:1；
③第三季度平均收入为50万元；
④利润最高的月份是2月份．
16．函数的定义域是__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在直三棱柱中，，点分别为和的中点.
（Ⅰ）棱上是否存在点使得平面平面？若存在，写出的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
18．（12分）如图，直三棱柱中，分别是的中点，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．（12分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
20．（12分）在三角形中，角，，的对边分别为，，，若.
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，，求.
21．（12分）已知抛物线，直线与交于，两点，且.
（1）求的值；
（2）如图，过原点的直线与抛物线交于点，与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，证明：直线过定点.
22．（10分）如图，在四棱锥中，平面平面，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成的角.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
分别判断充分性和必要性得到答案.
【详解】
所以 （逆否命题）必要性成立
当，不充分
故是必要不充分条件，答案选B
【点睛】
本题考查了充分必要条件，属于简单题.
2、B
【解析】
根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.
【详解】
若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正确；
而当m，n时，检验可得，A、C、D都不正确，
故选：B．
【点睛】
此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.
3、D
【解析】
如图所示，过分别作于，于，利用和，联立方程组计算得到答案.
【详解】
如图所示：过分别作于，于.
，则，
根据得到：，即，
根据得到：，即，
解得，，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
4、D
【解析】
分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以，
又，则
故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：
（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；
（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.
5、A
【解析】
根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m的值.
【详解】
由复数的除法运算化简可得
，
因为是纯虚数，所以，
∴，
故选：A.
【点睛】
本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.
6、B
【解析】
通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.
【详解】
复数满足，
∴，
故选B.
【点睛】
本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题．
7、D
【解析】
先由函数的周期和图象的平移后的函数的图象性质得出函数的解析式，从而得出的解析式，再根据正弦函数的单调递增区间得出函数的单调递增区间，可得选项.
【详解】
因为函数的最小正周期是，所以，即，所以，
的图象向左平移个单位长度后得到的函数解析式为，
由于其图象关于轴对称，所以，又，所以，所以，
所以，
因为的递增区间是：，，
由，，得：，，
所以函数的单调递增区间为（）.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查正弦型函数的周期性，对称性，单调性，图象的平移，在进行图象的平移时，注意自变量的系数，属于中档题.
8、A
【解析】
对于①，根据基尼系数公式，可得基尼系数越小，不平等区域的面积越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得，均有，可得，所以②错误.对于③，因为，所以，所以③错误.对于④，因为，所以，所以④正确.故选A．
9、A
【解析】
通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变.
【详解】
由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.
本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以没有改变，
根据方差公式可知方差不变.
故选：A
【点睛】
本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10、A
【解析】
根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出，结合，得出，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】
解：由双曲线可知，焦点在轴上，
则双曲线的渐近线方程为：，
由于焦距是虚轴长的2倍，可得：，
∴，
即：，，
所以双曲线的渐近线方程为：.
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程.
11、B
【解析】
由等差数列的性质和已知可得，即可得到，代入由诱导公式计算可得．
【详解】
解：由等差数列的性质可得，解得，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．
12、A
【解析】
利用双曲线：的焦点到渐近线的距离为，求出，的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．
【详解】
双曲线：的焦点到渐近线的距离为，
可得：，可得，，则的渐近线方程为．
故选A．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、3
【解析】
设直线AB的方程为y＝kx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k≠0），联立方程得到B（，），故S，令t，得S，利用均值不等式得到答案.
【详解】
设直线AB的方程为y＝kx+1，则直线AC的方程可设为yx+1，（k≠0）
由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x
∵A的坐标（0，1），∴B的坐标为（，k•1），即B（，），
因此AB•，
同理可得：AC•.
∴Rt△ABC的面积为SAB•AC•
令t，得S.
∵t2，∴S△ABC.
当且仅当，即t时，△ABC的面积S有最大值为.
解之得a＝3或a.
∵a时，t2不符合题意，∴a＝3.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
14、或
【解析】
函数的零点方程的根，求出方程的两根为，，从而可得或，即或.
【详解】
函数在区间的零点方程在区间的根，所以，解得：，，
因为函数在区间上有且仅有一个零点，
所以或，即或.
【点睛】
本题考查函数的零点与方程根的关系，在求含绝对值方程时，要注意对绝对值内数的正负进行讨论.
15、①②③
【解析】
通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可．
【详解】
对于①，2至月份的收入的变化率为20，11至12月份的变化率为20，故相同，正确．
对于②，支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是6：1，正确．
对于③，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40万元，50万元，60万元，故第三季度的平均收入为50万元，正确．
对于④，利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元，高于2月份的利润是80﹣60＝20万元，错误．
故答案为①②③．
【点睛】
本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题目．
16、
【解析】
由，得，所以，所以原函数定义域为，故答案为.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）存在点满足题意，且，证明详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）可考虑采用补形法，取的中点为，连接，可结合等腰三角形性质和线面垂直性质，先证平面，即，若能证明，则可得证，可通过我们反推出点对应位置应在处，进而得证；
（Ⅱ）采用建系法，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面对应法向量，再结合向量夹角公式即可求解；
【详解】
（Ⅰ）存在点满足题意，且.
证明如下：
取的中点为，连接.
则，所以平面.
因为是的中点，所以.
在直三棱柱中，平面平面，且交线为，
所以平面，所以.
在平面内，，，
所以，从而可得.
又因为，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（Ⅱ）如图所示，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系.
易知，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，则有
取，得.
同理可求得平面的法向量为.
则.
由图可知二面角为锐角，所以其余弦值为.
【点睛】
本题考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，属于中档题
18、 (1)证明见解析 (2)
【解析】
（1）连接交于点，由三角形中位线定理得，由此能证明平面．
（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．分别求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
【详解】
证明：证明：连接交于点，
则为的中点．又是的中点，
连接，则．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）由，可得：，即
所以
又因为直棱柱，所以以点为坐标原点，分别以直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，
设平面的法向量为，则且，可解得，令，得平面的一个法向量为，
同理可得平面的一个法向量为，
则
所以二面角的余弦值为.
【点睛】
本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．
19、（1）；（2）
【解析】
（1）分类讨论去绝对值号，即可求解；
（2）原不等式可转化为在R上恒成立，分别求函数与的最小值，根据能同时成立，可得的最小值，即可求解.
【详解】
（1）①当时,不等式可化为,得，无解；
②当-2≤x≤1时,不等式可化为得x>0,故01时,不等式可化为,得x