2026年上海市徐汇区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2026年上海市徐汇区中考数学二模试卷（含解析），共58页。试卷主要包含了下列计算正确的是，计算，因式分解，分式方程的解是　　 ，不等式的解集是　　 等内容，欢迎下载使用。
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．全民阅读有助于提升国家和民族的精神力量．上海各区和高校都有开放型图书馆提供给市民，以下是其中四个图书馆标志，其图案（忽略文字部分）不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数中，的值随的增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
4．在△中，、分别是边、的中点，下列说法不正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．某学校组织了一场体能测试，抽出50个人的成绩（分数）进行统计，结果如图所示．关于这50人的分数，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是15B．众数是15C．中位数是75D．众数是85
6．如图，已知，半径为的与边、均相切，如果与的两边都相切，且与相交，那么的半径长可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二.填空题（共12题，每题4分，满分48分）.
7．计算： ．
8．因式分解： ．
9．分式方程的解是 ．
10．不等式的解集是 ．
11．某科技园区调查发现，园区每家企业平均每周使用生成式工具处理文档约552000次．数据552000用科学记数法表示为 ．
12．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
13．商场抽奖箱里三个完全一样的小球里面装着小纸条，其中两个写着“谢谢参与”，一个写着“小礼品一份”．某顾客随机摸出两个小球，都是“谢谢参与”的概率是 ．
14．如图，用24米铝型线材做成一个窗框（含内框、，窗框上方是两个全等的正方形和，下方是矩形，如果正方形的边长为米，那么下方矩形的面积为 平方米．（用含的代数式表示）
15．如图1所示，用一条宽相等的足够长的矩形纸条打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．图2中的度数是 ．
16．某校为了开设学生喜欢的美育课程，随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从书法、国画、合唱、水彩画（分别记为、、、这四个课程中选择一个自己最喜爱的课程，并将调查结果绘制成如下两张不完整的统计图．已知该校共有1000名学生，根据图中信息，请你估计选择“合唱”课程的学生大概有 人．
17．如图，在菱形中，点、分别在边、上，将菱形沿着翻折，使点恰好与△的重心重合．若菱形的面积为18，则△的面积为 ．
18．如图，在△中，，，点在边上，如果与△的一边所在的直线相切，且经过△的一个顶点，那么的长是 ．
三.（本大题共6题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值：已知代数式，其中．
20．（10分）已知函数，请解决下列问题：
（1）请按照列表、描点、连线的步骤，在平面直角坐标系中画出函数的大致图象；
（2）如果一条直线与坐标轴的交点和函数图象与坐标轴的两个交点完全相同，那么这条直线的表达式是 ；
（3）是函数图象上的点，如果，那么的取值范围是 ．
列表如下：
21．（10分）如果一个三角形一条边上的高等于这条边的一半，那么这个三角形叫做“半高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“半底”．
（1）如图1，△是以为“半底”的“半高底”三角形，已知，求的长；
（2）如图2，是的一条弦，用无刻度直尺和圆规作图，在圆上确定一个点，使得△是以为“半底”的“半高底”三角形（保留作图痕迹，无需写作法）．
22．（10分）上海市居民自来水水费由供水费和污水处理费两部分组成，污水处理量由于损耗按照用水量的核定计算，污水处理费统一单价为2元小户型家庭供水费按年用水量分三档计费，收费标准如表，每户每年应缴自来水水费（元与用水量关系如图所示．
根据上述信息，解答下列问题：
（1）第1档的自来水水费的单价为 元；图中点的纵坐标为 ；
（2）小华家去年的年用水量为，共缴纳水费1065元．通过计算推出的值为 元；
（3）已知小明家去年共缴水费2234元，求小明家去年的年用水量．
23．（12分）如图，已知、为的两条弦，，联结、并延长交弦于点、，且．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为，直线经过点，且．
（1）求直线的表达式；
（2）已知抛物线也经过、两点，且开口向下，顶点为．设为抛物线与直线的交点，联结、、．当四边形是梯形时，求抛物线的表达式．
25．（14分）在四边形中，，点在边上，且，，联结、．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，求的值；
（3）如图3，当四边形为矩形且时，点在线段上，且截、两边所得的两条弦相等．如果与的公共弦所在直线恰好经过点，的半径为3，求此公共弦的长．
参考答案
一.选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】选项：根据合并同类项法则，，而非，错误．
选项：根据幂的乘方法则，，而非，错误．
选项：根据积的乘方法则，，正确．
选项：根据合并同类项法则，，不能合并同类项，而非，错误．
解：选项，根据合并同类项法则，同类项相减时，系数相减，字母和指数不变；，而不是，所以选项错误；
选项，根据幂的乘方法则：，则，不是，所以选项错误；
选项，根据积的乘方法则：，则，所以选项正确；
选项，根据合并同类项法则，同类项相加时，系数相加，字母和指数不变．，不是同类项，不能合并，所以选项错误．
故选：．
2．全民阅读有助于提升国家和民族的精神力量．上海各区和高校都有开放型图书馆提供给市民，以下是其中四个图书馆标志，其图案（忽略文字部分）不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析即可．
解：、、均是轴对称图形，
不是轴对称图形，符合题意．
故选：．
3．下列函数中，的值随的增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据正比例函数与反比例函数的性质解答即可．
解：、，
随的增大而增大，不符合题意；
、，
随的增大而减小，符合题意；
、，
函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，不符合题意；
、，
函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，不符合题意．
故选：．
4．在△中，、分别是边、的中点，下列说法不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平面向量的线性运算逐一判断即可．
解：在△中，、分别是边、的中点，
，，，
故选项正确；
，
故选项错误；
故选：．
5．某学校组织了一场体能测试，抽出50个人的成绩（分数）进行统计，结果如图所示．关于这50人的分数，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是15B．众数是15C．中位数是75D．众数是85
【分析】一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据按大小排列，最中间一个（奇数个数据）或两个（偶数个数据）数据的平均数是中位数，按照这两个概念进行求解即可．
解：现抽出50个人的体育考试分数，并对此进行统计如图所示：
75分和85分出现的次数最多，故众数是75和85；把分数按大小排列，最中间的两个数是第25与26个数，故中位数是，
故选项说法正确．
故选：．
6．如图，已知，半径为的与边、均相切，如果与的两边都相切，且与相交，那么的半径长可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】过点作于点，于点，如图，根据切线的性质和切线长定理得到，平分，则，所以，再判断点在射线上，所以，当与外切时，设的半径为，利用两圆外切的性质得或，即或，求出，从而得到与相交时，的取值范围为且，然后利用此范围对各选项进行判断．
解：过点作于点，于点，如图，
与边、均相切，
，平分，
，
，
与的两边都相切，
点到的两边相等，
点在射线上，
，
当与外切时，设的半径为，则或，
即或，
解得或，
与相交时，的取值范围为且．
故选：．
二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．计算： ．
【分析】根据幂的负整数指数运算法则进行计算即可．
解：．故答案为．
8．因式分解： ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
解：原式
，
故答案为：．
9．分式方程的解是 ．
【分析】把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可．
解：把原方程变形为：，
方程两边同时乘，得，
，
，
检验：把代入，把代入，
是分式方程的解，是分式方程的增根．
故答案为：．
10．不等式的解集是 ．
【分析】先分别解出两个一元一次不等式，再取它们的公共部分，即为不等式组的解集．
解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集是：，
故答案为：．
11．某科技园区调查发现，园区每家企业平均每周使用生成式工具处理文档约552000次．数据552000用科学记数法表示为 ．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
解：．
故答案为：．
12．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出△，解之可得答案．
解：根据题意，得：△，
解得，
故答案为：．
13．商场抽奖箱里三个完全一样的小球里面装着小纸条，其中两个写着“谢谢参与”，一个写着“小礼品一份”．某顾客随机摸出两个小球，都是“谢谢参与”的概率是 ．
【分析】根据题意可以画出相应的树状图，然后计算出都是“谢谢参与”的概率即可．
解：设谢谢参与用表示，小礼品一份用表示，
树状图如下所示，
由上可得，一共有6种等可能性，其中都是“谢谢参与”的可能性有2种，
都是“谢谢参与”的概率为，
故答案为：．
14．如图，用24米铝型线材做成一个窗框（含内框、，窗框上方是两个全等的正方形和，下方是矩形，如果正方形的边长为米，那么下方矩形的面积为 平方米．（用含的代数式表示）
【分析】根据下方矩形的长是正方形的边长2倍，先用表示出下方矩形的宽，再用面积公式进行解答．
解：米，
下方矩形的面积为：平方米，
故答案为：．
15．如图1所示，用一条宽相等的足够长的矩形纸条打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．图2中的度数是 ．
【分析】先根据多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，求出每个内角的度数即可．
解：正五边形的内角和为，
正五边形每个内角都相等，都为，
，
，
△是等腰三角形，
，
．
故答案为：．
16．某校为了开设学生喜欢的美育课程，随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从书法、国画、合唱、水彩画（分别记为、、、这四个课程中选择一个自己最喜爱的课程，并将调查结果绘制成如下两张不完整的统计图．已知该校共有1000名学生，根据图中信息，请你估计选择“合唱”课程的学生大概有 300 人．
【分析】根据用样本估计总体，用1000乘以样本中选择课程的人数所占的百分比，即可得出答案．
解：样本容量为：，
估计选择“合唱”课程的学生大概有：（人，
故答案为：300．
17．如图，在菱形中，点、分别在边、上，将菱形沿着翻折，使点恰好与△的重心重合．若菱形的面积为18，则△的面积为 4 ．
【分析】连接，由菱形的性质得到，，，△的面积，由三角形的重心的性质得到，，由轴对称的性质得到垂直平分，因此，求出，判定△△，推出，求出．
解：连接，
四边形是菱形，
，，，△的面积菱形面积的一半，
△的重心在上，
，
，
，
和关于对称，
垂直平分，
，
，
，，
，
△△，
，
．
故答案为：4．
18．如图，在△中，，，点在边上，如果与△的一边所在的直线相切，且经过△的一个顶点，那么的长是或 ．
【分析】过点作于点，过点作，交的延长线于点，由等腰三角形性质得，由勾股定理得，由此得，再由三角形面积公式得，进而得，再分两种情况讨论如下：
①当与相切且经过点时，设且点为，连接，设，则，在△中，由，据此的，
②当与直线相切且经过点时，设且点为，连接，设，则，在△中，由，据此得，综上所述即可得出的长．
解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图1所示：
△和△都是直角三角形，
在△中，，，
，
在△中，由勾股定理得：，
，
由三角形面积公式得：，
，
在△中，，
依题意有以下两种情况：
①当与相切且经过点时，设且点为，连接，如图2所示：
，，
，
△是直角三角形，
设，则，
在△中，，
，
解得：，
，
②当与直线相切且经过点时，设且点为，连接，如图2所示：
直线，，
，
△是直角三角形，
设，
，
则，
在△中，，
，
解得：，
，
综上所述：的长是或．
故答案为：或．
三.（本大题共6题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值：已知代数式，其中．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
解：
，
当时，原式．
20．（10分）已知函数，请解决下列问题：
（1）请按照列表、描点、连线的步骤，在平面直角坐标系中画出函数的大致图象；
（2）如果一条直线与坐标轴的交点和函数图象与坐标轴的两个交点完全相同，那么这条直线的表达式是 ；
（3）是函数图象上的点，如果，那么的取值范围是 ．
列表如下：
【分析】（1）依据题意，通过列表描点连线可以得解；
（2）依据题意，由待定系数法计算可以得解；
（3）依据题意，结合（1）随的增大而减小，又令，可得，进而可以得解．
解：（1）由题意，列表如下：
作图如下：
；
（2）由题意，设所求直线为，
又图象过，，
．
，．
所求直线为．
故答案为：；
（3）由题意，结合（1）随的增大而减小，
又令，
．
当时，．
故答案为：．
21．（10分）如果一个三角形一条边上的高等于这条边的一半，那么这个三角形叫做“半高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“半底”．
（1）如图1，△是以为“半底”的“半高底”三角形，已知，求的长；
（2）如图2，是的一条弦，用无刻度直尺和圆规作图，在圆上确定一个点，使得△是以为“半底”的“半高底”三角形（保留作图痕迹，无需写作法）．
【分析】（1）如图1中，过点作交的延长线于点，设．利用勾股定理国际服非常求出可得结论；
（2）如图2中，过点作于点，以为圆心，为半径作弧交于点，过点作交于点，，连接，，，，△，△即为所求．
解：（1）如图1中，过点作交的延长线于点，设．
，
，
，
，
，
，
解得（负根已经舍去），
；
（2）如图2中，△，△即为所求．
22．（10分）上海市居民自来水水费由供水费和污水处理费两部分组成，污水处理量由于损耗按照用水量的核定计算，污水处理费统一单价为2元小户型家庭供水费按年用水量分三档计费，收费标准如表，每户每年应缴自来水水费（元与用水量关系如图所示．
根据上述信息，解答下列问题：
（1）第1档的自来水水费的单价为 4.05 元；图中点的纵坐标为 ；
（2）小华家去年的年用水量为，共缴纳水费1065元．通过计算推出的值为 元；
（3）已知小明家去年共缴水费2234元，求小明家去年的年用水量．
【分析】（1）依据题意，由第1档水费单价供水费单价污水处理费单价，从而（元，总水费为：（元，进而可以得解；
（2）依据题意得，，进而计算可以得解；
（3）依据题意，设小明家去年的年用水量为，则，从而计算可以得解．
解：（1）由题意，第1档水费单价供水费单价污水处理费单价，
（元，
又点对应用水量，
总水费为：（元，
故答案为：4.05；891；
（2）由题意得，，
．
故答案为：4；
（3）由题意，设小明家去年的年用水量为，
．
．
答：小明家去年的年用水量为．
23．（12分）如图，已知、为的两条弦，，联结、并延长交弦于点、，且．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
【分析】（1）先连，，用证△△，得到．利用等腰三角形△和△的性质，证明底角．由“内错角相等，两直线平行”，推出；
（2）由，变形得比例式，结合公共角，证△△，得．由（1）的，得内错角；再由，得，从而推出．证△△，得圆心角，根据“圆心角相等则所对弧相等”，得．
【解答】证明：（1）连接、．
、为的半径，
，
．
在△ 和△中，
，
△△，
，．
与是对顶角，
．
，，
．
，，
△和△均为等腰三角形．
，，
．
和是内错角，
．
（2），．
又（公共角），
△△．
．
，
（两直线平行，内错角相等）．
．
，
．
．
点在线段上，
．
．
在△和△中，
，，且，
△△．
．
．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为，直线经过点，且．
（1）求直线的表达式；
（2）已知抛物线也经过、两点，且开口向下，顶点为．设为抛物线与直线的交点，联结、、．当四边形是梯形时，求抛物线的表达式．
【分析】（1）根据待定系数法求得抛物线，即可知点，过点作轴，交轴于点，交直线于点，可证明△△，有，结合两点之间距离求得，利用待定系数法即可求得直线的表达式；
（2）根据题意的，利用待定系数法求得抛物线，则点，联立方程求得点，结合梯形的性质若，过点作轴于点，过点作平行于轴的直线与过点作轴于点，线段与轴交于点，则点，且△△，有，两点之间距离公式求得（当值接近时不满足题干要求的梯形字母顺序，故舍去）；若，过点作轴于点，过点作平行于轴的直线与过点作轴于点，同理可得△△，点，求得即可．
解：（1）抛物线经过点和点，
，
解得，
则抛物线，
点，
如图，过点作轴，交轴于点，交直线于点，
则，，
，
，
，
△△，
，
点和点，
，，
则，
解得，
点，
设直线的解析式为，
直线经过点和点，
，
解得，
则直线的表达式；
（2）抛物线开口向下，
，
抛物线经过、两点，
，
解得，
则抛物线，
抛物线顶点为，
，
联立，
解得，，
则点，
四边形是梯形，
，或，
①如图，若，过点作轴于点，过点作平行于轴的直线与过点作轴于点，线段与轴交于点，
则，，点，点，
△△，
，
点，点，点，点，点，
，，，，
则，
解得，（构不成梯形，舍去），
那么，抛物线；
②若，过点作轴于点，过点作平行于轴的直线与过点作轴于点，
同理可得△△，点，点，
，，，，，
则，
解得，（构不成梯形，舍去），
那么，抛物线．
25．（14分）在四边形中，，点在边上，且，，联结、．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，求的值；
（3）如图3，当四边形为矩形且时，点在线段上，且截、两边所得的两条弦相等．如果与的公共弦所在直线恰好经过点，的半径为3，求此公共弦的长．
【分析】（1）延长交延长线于点，由，可得△△，再证明△△，即可证明结论；
（2）延长交延长线于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，同理（1）可得，，设，，则，，，，求出，，在△中，利用勾股定理即可求解；
（3）过点作于点，连接，，设与交于点，由条件先可得，，再由截、两边所得的两条弦相等，可得，再证明△是等边三角形，可得，再由中，的公共弦，可得垂直平分，即可求解．
【解答】（1）证明：如图，延长交延长线于点，
，
△△，
，
，
，
，
，
，
，，
即，
，
△△，
，
，，
．
（2）解：如图，延长交延长线于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
同理（1）可得，△△，
，，
，
同理（1）可得，△△，
，
，
设，，则，，，，
，，，
四边形是矩形，
，，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
在△中，，
，，
△△，
，
，即，
，，
，
在△中，，
，
解得，
，
；
（3）解：如图，过点作于点，连接，，设与交于点，
四边形为矩形且，
，，，
则，，
在△中，，
在△中，，
截、两边所得的两条弦相等，
点到和的距离相等，
，
，，
，
△△，
，
，
点为的中点，则，
，
△是等边三角形，
，
中和的公共弦，
，，
垂直平分，
，，
，
，
在△中，，
．
分类
第1档
第2档
第3档
用水量
不超过220
超过220不超过300的部分
超过300的部分
供水费单价（元
2.25
6.99
污水处理费（元
2.00
0
1
2
3
2
1
0
分类
第1档
第2档
第3档
用水量
不超过220
超过220不超过300的部分
超过300的部分
供水费单价（元
2.25
6.99
污水处理费（元
2.00