2026届福建省永春县一中高三二诊模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届福建省永春县一中高三二诊模拟考试数学试卷含解析，共29页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，若复数等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知非零向量满足，，且与的夹角为，则（ ）
A．6B．C．D．3
2．已知整数满足，记点的坐标为，则点满足的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．的展开式中，满足的的系数之和为（ ）
A．B．C．D．
4．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙
6．双曲线的左右焦点为，一条渐近线方程为，过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于，满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．D．2
7．若复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（）
A．B．
C．D．
9．已知定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记，，则a，b，c的大小关系为( )
A．B．C．D．
10．设集合、是全集的两个子集，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．若复数（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
12．根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是( )
A．至少有一个样本点落在回归直线上
B．若所有样本点都在回归直线上，则变量同的相关系数为1
C．对所有的解释变量（），的值一定与有误差
D．若回归直线的斜率，则变量x与y正相关
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_____.
14．设为数列的前项和，若，则____
15．展开式中项的系数是__________
16．如图，在平行四边形中，，,则的值为_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是“极差数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）证明：的“极差数列”仍是；
（3）求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列.
18．（12分）设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若存在，使得不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
19．（12分）如图,设点为椭圆的右焦点，圆过且斜率为的直线交圆于两点，交椭圆于点两点，已知当时，
（1）求椭圆的方程.
（2）当时，求的面积.
20．（12分）如图，在正四棱锥中，，点、分别在线段、上，．
（1）若，求证：⊥；
（2）若二面角的大小为，求线段的长．
21．（12分） [选修4 5：不等式选讲]
已知都是正实数，且，求证: ．
22．（10分）如图，三棱柱中，侧面为菱形，.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可．
【详解】
解：非零向量，满足，可知两个向量垂直，，且与的夹角为，
说明以向量，为邻边，为对角线的平行四边形是正方形，所以则．
故选：．
【点睛】
本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．
2、D
【解析】
列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.
【详解】
因为是整数，所以所有满足条件的点是位于圆（含边界）内的整数点，满足条件的整数点有
共37个，
满足的整数点有7个，则所求概率为.
故选：.
【点睛】
本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.
3、B
【解析】
，有，，三种情形，用中的系数乘以中的系数，然后相加可得．
【详解】
当时，的展开式中的系数为
．当，时，系数为；当，时，系数为；当，时，系数为；故满足的的系数之和为．
故选：B．
【点睛】
本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键．
4、D
【解析】
圆心坐标为，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．
【详解】
圆的圆心为，
由题意可得，即，，，
则，当且仅当且即时取等号，
故选：．
【点睛】
本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．
5、A
【解析】
利用逐一验证的方法进行求解.
【详解】
若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．
【点睛】
本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．
6、A
【解析】
设，直线的方程为，联立方程得到，，根据向量关系化简到，得到离心率.
【详解】
设，直线的方程为.
联立整理得，
则.
因为，所以为线段的中点，所以，，整理得，
故该双曲线的离心率.
故选：.
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
7、A
【解析】
将 整理成的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限.
【详解】
解：，所以所对应的点为在第一象限.
故选:A.
【点睛】
本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把 当成进行计算.
8、B
【解析】
根据已知得到函数两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得的值，结合其对称轴，求得的值，进而求得解析式.根据图像变换的知识求得的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得的单调递减区间.
【详解】
解：已知函数，其中，，其图像关于直线对称，
对满足的，，有，∴.
再根据其图像关于直线对称，可得，.
∴，∴.
将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像.
令，求得，
则函数的单调递减区间是，，
故选B.
【点睛】
本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.
9、B
【解析】
根据f（x）为偶函数便可求出m＝0，从而f（x）＝﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断.
【详解】
解：∵f（x）为偶函数；
∴f（﹣x）＝f（x）；
∴﹣1＝﹣1；
∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；
（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；
∴mx＝0；
∴m＝0；
∴f（x）＝﹣1；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a＝f（||）＝f（），
b＝f（），c＝f（2）；
∵0＜＜2＜；
∴a