2026届福建省泉州永春华侨中学高三下学期一模考试数学试题含解析

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2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设且，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．若函数有且仅有一个零点，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的图象大致为( )
A．B．
C．D．
4．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
7．定义在R上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数满足，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，延长交右支于点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
9．已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若， 则双曲线的离心率为( )
A．B．C．4D．2
10．若的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数的值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
11．若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
12．已知，函数，若函数恰有三个零点，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的定义域是___________．
14．等差数列（公差不为0），其中，，成等比数列，则这个等比数列的公比为_____.
15．若，则__________.
16． (x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，设的最小值为m.
（1）求m的值；
（2）是否存在实数a，b，使得，？并说明理由.
18．（12分）已知函数．
（1）当时，试求曲线在点处的切线；
（2）试讨论函数的单调区间．
19．（12分）十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准．提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下：
表1：新农合门诊报销比例
根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下：
表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表
如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次．
（Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？
（Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）的分布列与期望．
20．（12分）已知是公比为的无穷等比数列，其前项和为，满足，________．是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．
从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
21．（12分）已知函数,其中,.
(1)函数的图象能否与x轴相切?若能,求出实数a;若不能,请说明理由.
(2)若在处取得极大值,求实数a的取值范围.
22．（10分）在直角坐标系中，长为3的线段的两端点分别在轴、轴上滑动，点为线段上的点，且满足.记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若点为曲线上的两个动点，记，判断是否存在常数使得点到直线的距离为定值？若存在，求出常数的值和这个定值；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
项，由得到，则，故项正确；
项，当时，该不等式不成立，故项错误；
项，当，时，，即不等式不成立，故项错误；
项，当，时，，即不等式不成立，故项错误．
综上所述，故选．
2、D
【解析】
推导出函数的图象关于直线对称，由题意得出，进而可求得实数的值，并对的值进行检验，即可得出结果.
【详解】
，
则，
，
，所以，函数的图象关于直线对称.
若函数的零点不为，则该函数的零点必成对出现，不合题意.
所以，，即，解得或.
①当时，令，得，作出函数与函数的图象如下图所示：
此时，函数与函数的图象有三个交点，不合乎题意；
②当时，，，当且仅当时，等号成立，则函数有且只有一个零点.
综上所述，.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
3、A
【解析】
确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．
【详解】
时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．
故选：A.
【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．
4、C
【解析】
利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果.
【详解】
，
所以，即.
故选:C.
【点睛】
本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.
5、C
【解析】
利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，直角三角形的斜边长为，
利用等面积法，可得其内切圆的半径为，
所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
6、B
【解析】
试题分析：设在直线上的投影分别是，则，，又是中点，所以，则，在中，所以，即，所以，故选B．
考点：抛物线的性质．
【名师点晴】
在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦的中点到准线的距离首先等于两点到准线距离之和的一半，然后转化为两点到焦点的距离，从而与弦长之间可通过余弦定理建立关系．
7、C
【解析】
先从函数单调性判断的取值范围，再通过题中所给的是正数这一条件和常用不等式方法来确定的取值范围.
【详解】
由的图象知函数在区间单调递增，而，故由可知.故，
又有，综上得的取值范围是.
故选：C
【点睛】
本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.
8、D
【解析】
设双曲线的左焦点为，连接，，，设，则，，，和中，利用勾股定理计算得到答案.
【详解】
设双曲线的左焦点为，连接，，，
设，则，，，
，根据对称性知四边形为矩形，
中：，即，解得；
中：，即，故，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
9、D
【解析】
设，，，根据可得①，再根据又②，由①②可得，化简可得，即可求出离心率．
【详解】
解：设，，，
∵，
∴，即，①
又，②，
由①②可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
故选：D．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．
10、C
【解析】
由二项式系数性质，的展开式中所有二项式系数和为计算．
【详解】
的二项展开式中二项式系数和为，．
故选：C．
【点睛】
本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键．
11、A
【解析】
由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.
【详解】
对于选项B, 为 奇函数可判断B错误;
对于选项C,当时, ,可判断C错误;
对于选项D, ,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D错误;
故选:A.
【点睛】
本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.
12、C
【解析】
当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
【详解】
当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，
如图：
且，
解得，，．
故选．
【点睛】
遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
由于偶次根式中被开方数非负，对数的真数要大于零，然后解不等式组可得答案.
【详解】
解：由题意得，
，解得，
所以，
故答案为：
【点睛】
此题考查函数定义域的求法，属于基础题.
14、4
【解析】
根据等差数列关系，用首项和公差表示出，解出首项和公差的关系，即可得解.
【详解】
设等差数列的公差为，
由题意得: ，则整理得，，所以
故答案为：4
【点睛】
此题考查等差数列基本量的计算，涉及等比中项，考查基本计算能力.
15、
【解析】
由已知利用两角差的正弦函数公式可得，两边平方，由同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解．
【详解】
，得，
在等式两边平方得，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
16、40
【解析】
先求出的展开式的通项，再求出即得解.
【详解】
设的展开式的通项为，
令r=3,则，
令r=2,则，
所以展开式中含x3y3的项为.
所以x3y3的系数为40.
故答案为：40
【点睛】
本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）不存在；详见解析
【解析】
（1）将函数去绝对值化为分段函数的形式，从而可求得函数的最小值，进而可得m.
（2）由，利用基本不等式即可求出.
【详解】
（1）
；
（2），
若，同号，，不成立；
或，异号，，不成立；
故不存在实数，，使得，.
【点睛】
本题考查了分段函数的最值、基本不等式的应用，属于基础题.
18、（1）；（2）见解析
【解析】
（1）对函数进行求导，可以求出曲线在点处的切线，利用直线的斜截式方程可以求出曲线的切线方程；
（2）对函数进行求导，对实数进行分类讨论，可以求出函数的单调区间．
【详解】
（1）当时，函数定义域为，,
所以切线方程为；
（2）
当时，函数定义域为，在上单调递增
当时，恒成立，函数定义域为，又在单调递增，单调递减，单调递增
当时，函数定义域为，在单调递增，单调递减，单调递增
当时，设的两个根为且，由韦达定理易知两根均为正根，且，所以函数的定义域为，又对称轴，且，
在单调递增，单调递减，单调递增
【点睛】
本题考查了曲线切线方程的求法，考查了利用函数的导数讨论函数的单调性问题，考查了分类思想.
19、（Ⅰ）；
（Ⅱ）的发分布列为：
期望．
【解析】
（Ⅰ）由表2可得去各个门诊的人次比例可得2000人中各个门诊的人数，即可知道去三甲医院的总人数，又有60岁所占的百分比可得60岁以上的人数，进而求出任选2人60岁以上的概率；
（Ⅱ）由去各门诊结算的平均费用及表1所报的百分比可得随机变量的可能取值，再由概率可得的分布列，进而求出概率．
【详解】
解：（Ⅰ）由表2可得李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次，分别去村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院人数为，，，，
而三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了，所以去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人数为：人，
设从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的事件记为，则；
（Ⅱ）由题意可得随机变量的可能取值为：，，，，
，，，，
所以的发分布列为：
所以可得期望．
【点睛】
本题主要考查互斥事件、随机事件的概率计算公式、分布列及其数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20、见解析
【解析】
选择①或②或③，求出的值，然后利用等比数列的求和公式可得出关于的不等式，判断不等式是否存在符合条件的正整数解，在有解的情况下，解出不等式，进而可得出结论.
【详解】
选择①：因为，所以，所以．
令，即，，所以使得的正整数的最小值为；
选择②：因为，所以，．
因为，所以不存在满足条件的正整数；
选择③：因为，所以，所以．
令，即，整理得．
当为偶数时，原不等式无解；
当为奇数时，原不等式等价于，
所以使得的正整数的最小值为．
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21、 (1) 答案见解析(2)
【解析】
（1）假设函数的图象与x轴相切于，根据相切可得方程组，看方程是否有解即可；（2）求出的导数，设()，根据函数的单调性及在处取得极大值求出a的范围即可.
【详解】
(1)函数的图象不能与x轴相切,理由若下:
.假设函数的图象与x轴相切于
则即
显然,,代入中得,无实数解.
故函数的图象不能与x轴相切.
(2)()
,,
设(),
恒大于零.
在上单调递增.
又,,,
∴存在唯一,使,且
时,时,
①当时,恒成立,在单调递增,
无极值,不合题意.
②当时,可得当时,,当时,.
所以在内单调递减,在内单调递增,
所以在处取得极小值,不合题意.
③当时,可得当时,,当时,.
所以在内单调递增,在内单调递减,
所以在处取得极大值,符合题意.
此时由得即,
综上可知,实数a的取值范围为.
【点睛】
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．
22、（1）（2）存在；常数，定值
【解析】
（1）设出的坐标，利用以及，求得曲线的方程.
（2）当直线的斜率存在时，设出直线的方程，求得到直线的距离.联立直线的方程和曲线的方程，写出根与系数关系，结合以及为定值，求得的值.当直线的斜率不存在时，验证.由此得到存在常数，且定值.
【详解】
（1）解析：（1）设，，
由题可得
，解得
又，即，
消去得：
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为
设，
由可得：
由点到的距离为定值可得（为常数）即
得：
即
，
又
为定值时，，此时，且符合
当直线的斜率不存在时，设直线方程为
由题可得，时，，经检验，符合条件
综上可知，存在常数，且定值
【点睛】
本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，考查椭圆中的定值问题，属于难题.
医院类别
村卫生室
镇卫生院
二甲医院
三甲医院
门诊报销比例
60%
40%
30%
20%
医院类别
村卫生室
镇卫生院
二甲医院
三甲医院
一个结算年度内各门诊就诊人次占李村总就诊人次的比例
70%
10%
15%
5%
X
20
60
140
400
P
0.7
0.1
0.15
0.05
X
20
60
140
400
P
0.7
0.1
0.15
0.05