第01讲 实数与二次根式（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测+答案

这是一份第01讲 实数与二次根式（复习讲义）（江苏专用）2026年中考数学一轮复习讲练测+答案，共8页。
01· TOC \ "1-1" \h \z \u \l "_Tc214359310" 考情剖析·命题前瞻1
02· \l "_Tc214359311" 知识导航·网络构建3
\l "_Tc214359312" 03·考点解析·知识通关 PAGEREF _Tc214359312 \h 3
04· \l "_Tc214359313" 命题洞悉·题型预测14
05·重难突破·思维进阶难 \l "_Tc214359314" 29
\l "_Tc214367046" 06·优题精选·练能提分33
考点一 实数的分类
1.正数与负数：
正数：大于0的数叫做正数；如：2，+7，+0.3，23……

负数：小于0的数叫做负数；如：−2，−7，−0.3，−23……
2.实数及其分类
（1）有理数：整数与分数统称为有理数；有理数的表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数四种；
有限小数、无限循环小数都属于分数的不同形式。有理数也可以说成可以写成nm(此处m,n均为整数)；
（2）无理数：即无限不循环小数；无理数的表现形式通常有以下四种：开方开不尽的；化简后带有π的；无限不循环小数；一些三角函数；
（3）实数：有理数与无理数统称为实数；
（4）实数按照定义分类按照性质分类

1．（2024·江苏南京·中考真题）下列四个数中，是负数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算、正负数的定义、化简多重符号
【分析】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号叫做负数是解题的关键．先利用绝对值，相反数的定义及有理数乘方的运算法则，计算各数，再根据正负数的定义判断即可．
【详解】解：A.是负数，故选项A符合题意；
B. 是正数，故选项B不符合题意；
C. 是正数，故选项C不符合题意；
D.是正数，故选项D不符合题意；
故选：A．
2．（2025·江苏淮安·一模）下面各数中是无理数的是（ ）
A．2025B．C．D．
【答案】C
【知识点】无理数
【分析】本题考查无理数，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．
【详解】解：是分数，2025，，是整数，它们不是无理数，
是无限不循环小数，它是无理数，
故选：C．
3．（2025·江苏扬州·一模）无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对整个科学和哲学产生了深远的影响．下列四个数是无理数的是（ ）
A．0.1313B．C．D．
【答案】D
【知识点】无理数、求一个数的立方根
【分析】本题考查了无理数．无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，据此逐一判断即可得答案．
【详解】A． 0.1313是有理数，不符合题意；
B．是有理数，不符合题意；
C．是有理数，不符合题意；
D．是无理数，符合题意；
故选：D．
考点二 相反数、绝对值、倒数
1.相反数：绝对值相同而符号不同的两个数称为相反数；
相反数的性质：；
互为相反数的两个数对应的点位于数轴上原点两侧，且到原点的距离相等（0除外）；
0的相反数是0；
相反数等于本身的数是0.
2.绝对值：表示一个数的点到原点的距离；
绝对值的性质：非负性，即；
；
3.倒数：如果两个数的乘积等于1，这两个数互为倒数。
倒数等于本身的数是；
0没有倒数。
4．（2025·江苏淮安·中考真题）的相反数是( )
A．B．C．D．3
【答案】D
【知识点】相反数的定义
【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同两个数互为相反数，进行判断即可．
【详解】解∶的相反数是3；
故选D．
5．（2025·江苏连云港·中考真题）的绝对值是（ ）
A．5B．C．D．
【答案】A
【知识点】求一个数的绝对值
【分析】本题考查绝对值的概念，根据绝对值的定义直接求解即可．绝对值表示一个数在数轴上到原点的距离，非负性是其核心性质．对于负数，其绝对值等于它的相反数．
【详解】解：，
因此，的绝对值为5，
故选：A．
6．（2025·江苏常州·一模）的倒数是（ ）
A．B．2025C．D．
【答案】C
【知识点】倒数
【分析】本题考查了倒数的定义，掌握“乘积是1的两个数互为倒数”是解题关键．
【详解】解：，
的倒数是，
故选：C．
考点三 数轴
1.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线；
数轴是比较数的大小的工具（右边的数>左边的数）；
数轴上两点间的距离；
数轴上动点表示的数
数轴上的点与实数是一一对应的关系；
数轴是数形结合的重要工具。
7．（2025·江苏淮安·一模）如图，数轴上点A表示的数为a，则与a最接近的整数是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【知识点】用数轴上的点表示有理数
【分析】本题考查了数轴，利用数轴上的点估算代数式，解题的关键是数形结合．由数轴可知，，即可求解．
【详解】解：由数轴可知，在和之间，且更靠近，
，
与最接近的整数是，
故选：B．
8．（2025·江苏徐州·二模）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】有理数的除法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、两个有理数的乘法运算
【分析】本题考查了有理数在数轴上的表示，有理数的加、减、乘、除等运算法则的理解，深刻理解有理数的运算法则是解题的关键；
根据a，b两数在数轴上对应的点位置可得：，再根据有理数的加、减、乘、除等运算法则逐一判断即可.
【详解】解：由a，b两数在数轴上对应的点位置可得：，
∴，
∴，
综上分析可知：选项C正确，符合题意；
故选：C.
9．（2025·江苏苏州·模拟预测）数轴上表示、两数的点分别在原点左、右两侧，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】有理数的除法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、两个有理数的乘法运算、有理数加法运算
【分析】本题考查了数轴上的点表示数，有理数的加法、乘法和除法，属于基础知识，解题的关键是根据在数轴上的位置确定数的符号．根据点在数轴上的位置判断字母的符号，从而判断各选项．
【详解】解：∵a在原点的左侧，b在原点的右侧，
∴，
∴，，，
∵两数的绝对值未知，
∴的符号无法确定，
故选：C．
考点四 实数的大小比较
1、实数的大小比较的常用方法：
方法一：数轴比较法：左边的数0⇔a>b,
a−b=0⇔a=b,
a−bb;ab=1⇔a=b;abb。
2、无理数的大小估计方法:
先找到离最近的两个平方数，例如的前面一个平方数为,后面一个平方数为，即,
则
例如：估计的大小。
找到距离47最近的前后两个平方数36和49，即，所以：
10．（2025·江苏宿迁·中考真题）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．2B．-2C．D．
【答案】A
【知识点】有理数大小比较
【分析】本题考查了有理数的大小比较，关键在于明确正数大于，大于负数，两个负数比较，绝对值小的，反而大．通过分析正负数的大小关系即可得出结论．
【详解】解：∵，，且，
∴，
最大的数2，
故选：A．
11．（2025·江苏苏州·中考真题）下列实数中，比2小的数是（ ）
A．5B．4C．3D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【分析】比较各选项与2的大小关系，选出比2小的数即可．
本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
【详解】解： A、 ，不符合条件．
B、 ，不符合条件．
C、 ，不符合条件．
D、 ，符合条件．
故选：D．
12．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】无理数的大小估算、实数与数轴
【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可．
【详解】解：设点表示的数为，由图可知：，
∵，即：，故选项A不符合题意；
∵，即：，故选项B不符合题意；
∵，即：，故选项C符合题意；
∵，即：，故选项D不符合题意；
故选C．
考点五 科学记数法
科学记数法：
把一个数写做的形式，其中，是整数，这种记数法叫做科学记数法。
一个绝对值大于1的数，写成科学记数法后，指数为正指数；
一个绝对值小于1的数，写成科学记数法后，指数为负指数；
13．（2025·江苏淮安·中考真题）2025年五一假期，淮安各大景区景点人气爆棚．经了解，淮安全市共接待游客约526.1万人次，实现旅游总收入约24.2亿元．数据“24.2亿”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：24.2亿，
故选：C．
14．（2025·江苏徐州·中考真题）2025年“五一”假期，约有166200人次的参观者走进淮塔园林接受红色教育．将166200用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将166200写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故答案为：．
15．（2025·江苏苏州·三模）（深度求索）是一家中国的人工智能公司，专注于通用人工智能的研发，尤其在搜索增强型语言模型领域表现突出．如：是其开发的一个强大的混合专家语言模型，含亿个总参数，可贵的是开发团队成员均来自本土，没有任何海外归来人员．把数据用科学记数法表示应是 ．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查了科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．
科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数绝对值时，是负数．根据科学记数法的表示形式进行求解即可．
【详解】解： ．
故答案为：．
考点六 二次根式
1.二次根式的概念
形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．
2. 二次根式有意义的条件
要使二次根式有意义，则
3.最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
4.同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．
5.二次根式的性质
性质1：；
性质2：；
性质3：；
6.二次根式的运算
（1）二次根式的加减:
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
（2）二次根式的乘除:
乘法法则：；除法法则：．
16．（2025·江苏镇江·中考真题）使二次根式有意义的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的求解即可得．
【详解】解：使二次根式有意义，则，
解得，
故选：A．
17．（2025·江苏南京·一模）要使有意义，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数，据此求的取值范围即可．
【详解】解：由题意得：，
解得，
的取值范围为．
故答案为：．
18．（2025·江苏南京·模拟预测）计算 ．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，根据二次根式的乘法运算法则和二次根式的性质即可求解，掌握二次根式运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
考点七 实数的运算
1.平方根、算术平方根和立方根
（1）平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根（或二次方跟），记作：。
平方根的性质：
（2）算术平方根：正数的正的平方根叫做的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（3）立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数就叫做 的立方根（或的三次方根）。
立方根的性质：
。
2.实数混合运算技巧：
要熟练掌握加、减、乘、除、乘方、开方等各种运算的法则；
要注意观察运算的顺序和括号的使用；
合理使用运算律简化运算，提高正确率和运算速度。
19．（2025·江苏苏州·中考真题）计算：．
【答案】10
【知识点】实数的混合运算
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．先去绝对值，进行乘方和开方运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
20．（2025·江苏连云港·中考真题）计算．
【答案】6
【知识点】零指数幂、实数的混合运算
【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，先进行乘法，开方，零指数幂的运算，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
【详解】解：原式．
21．（2025·江苏镇江·一模）计算：
【答案】2
【知识点】负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算、求一个数的立方根
【分析】此题考查了实数的混合运算．利用化简绝对值、负整数指数幂、零指数幂、立方根进行计算，再进行有理数的加减法即可．
【详解】解：
命题点一 实数的分类
►题型01 正负数的意义
【典例】．（2025·江苏无锡·一模）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走10步记作“”，则向北行走8步可记作（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】相反意义的量
【分析】本题主要考查了正负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：“正”和“负”相对，所以，若将向南行走10步记作“”，则向北行走8步可记作．
故选：A．
【变式】
（2025·江苏南通·二模）《九章算术》记载的“余”和“不足”等概念，充分说明中国是世界上最早采用正负数表示相反意义量的国家．若将“收入80元”记作“元”，则“支出50元”记作（ ）
A．50元B．元C．30元D．元
【答案】B
【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用
【分析】本题考查了正负数的运用，掌握正负数的意义是关键．
根据题意，收入用正数表示，则支出用负数表示，由此即可求解．
【详解】解：“收入80元”记作“元”，
∴“支出50元”记作，
故选：B ．
2．（2025·江苏镇江·中考真题）如果汽车加油30升记作升，那么用去油10升，记作 ．
【答案】升
【知识点】相反意义的量
【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，根据题意准确分析可得结果．
根据加油记作，则用去油记作即可得解．
【详解】汽车加油30升记作升，
用去油10升记作升；
故答案是：升．
►题型02 无理数的识别
【典例】．（2025·江苏连云港·二模）下列各实数中，是无理数的是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【知识点】无理数
【分析】本题考查无理数的定义，无理数即无限不循环小数，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数．根据无理数定义及常见形式即可得出答案．
【详解】解：，1，都是有理数，是无理数，
故选：C．
【变式】
1．（2025·江苏扬州·三模）下列实数是无理数的是（ ）
A．1B．C．D．2024
【答案】B
【知识点】零指数幂、无理数、求一个数的算术平方根
【分析】本题主要考查了无理数的概念，零指数幂，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②含有与有理数的和差积商；③有规律但无限不循环的小数．据此判断即可．
【详解】解：A、1是有理数，不符合题意；
B、是无理数，符合题意；
C、是有理数，不符合题意；
D、2024是有理数，不符合题意；
故选：B．
2．（2025·江苏泰州·一模）下列实数中是无理数的是（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【知识点】无理数
【分析】本题考查了无理数的定义，熟记定义是解题关键．根据无理数的定义即可得．
【详解】解：观察四个选项可知，只有是无理数，
故选：A．
命题点二 相反数、绝对值、倒数
►题型01 求一个数的相反数
【典例】．（2025·江苏常州·中考真题）如图，数轴上点P表示的数的相反数是（ ）
A．B．-1C．0D．
【答案】A
【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义
【分析】本题考查求一个数的相反数，数轴，根据数轴得到点P表示的数为，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：由图可知：点P表示的数为，
∴数轴上点P表示的数的相反数是，
故选：A．
【变式】
1．（2025·江苏宿迁·二模）下列说法正确的是（ ）
A．2025的绝对值是B．2025的相反数是
C．2025的倒数是D．2025的相反数的绝对值是
【答案】B
【知识点】求一个数的绝对值、相反数的定义
【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值，熟练掌握这几个定义是解题的关键．
根据相反数、倒数、绝对值的定义判断即可．
【详解】解：A． 2025的绝对值是2025，故该选项错误；
B． 2025的相反数是，故该选项正确；
C． 2025的倒数是，故该选项错误；
D． 2025的相反数的绝对值是2025，故该选项错误．
故选B．
2．（2025·江苏南京·模拟预测）2025的相反数是 ， 的倒数是 ．
【答案】
【知识点】倒数、相反数的定义
【分析】本题主要考查了相反数和倒数的定义，解题的关键是熟练掌握以上两个定义．
利用相反数和倒数的定义进行求解即可．
【详解】解：2025的相反数是，
的倒数是，
故答案为：，．
►题型02 求一个数的绝对值
【典例】．（2025·江苏·中考真题）小明从小区楼出发，实数的绝对值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【知识点】求一个数的绝对值、实数的性质
【分析】本题考查了实数的绝对值，掌握“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”是解题的关键．
根据一个负数的绝对值是它的相反数即可得出答案．
【详解】解：实数的绝对值是，
故选：A．
【变式】
1．（2025·江苏南京·二模）在数轴上，下列四个数对应的点与原点距离最近的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】绝对值的几何意义、实数与数轴
【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握绝对值的几何意义．
先求出选项中各个数的绝对值，然后比较绝对值的大小，再根据绝对值的几何意义进行判断即可．
【详解】解：∵
∴数1对应的点与原点距离最近，
故选：B．
2．（2025·江苏无锡·中考真题） ．
【答案】
【知识点】求一个数的绝对值
【分析】本题考查的是求解一个数的绝对值，根据绝对值的含义可得答案．
【详解】解：，
故答案为：
►题型03 求一个数的倒数
【典例】．（2025·江苏南京·一模）的倒数是 ；的相反数是 ．
【答案】 / 2
【知识点】倒数、相反数的定义
【分析】此题主要考查了一个数的倒数的求法，以及相反数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一、②求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置．
首先根据求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一，可得：的倒数是；然后根据相反数的含义和求法，可得：的相反数是2．
【详解】解：的倒数是；的相反数是2．
故答案为：，2．
【变式】
1．（2025·江苏南京·二模）如果实数a、b满足 ，那么a、b互为倒数．
【答案】
【知识点】倒数
【分析】本题主要考查倒数，根据倒数的定义（两个数乘积为1，则这两个数互为倒数）解答即可．
【详解】解：∵a、b互为倒数，
∴，
故答案为：．
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）有理数的倒数是（ ）
A．B．C．3D．1
【答案】B
【知识点】倒数
【分析】本题考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键；
根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，求解即可．
【详解】解：的倒数是，
故选：B．
命题点三 数轴
►题型01 根据数轴上点的位置判断表示的数
【典例】．（2025·江苏苏州·二模）数轴上表示的点在（ ）
A．与之间B．与之间C．与之间D．与之间
【答案】B
【知识点】用数轴上的点表示有理数、有理数大小比较
【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，有理数大小比较，根据数轴的特点，在原点的右边，数依次向右增大，在原点的左边，数依次向左减小即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴数轴上表示的点在与之间，
故选：．
【变式】
1．（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】用数轴上的点表示有理数、不等式的性质
【分析】先由，，，根据不等式性质得出，再分别判定即可．
【详解】解：∵，，
∴
∵
∴
A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．（2024·江苏苏州·中考真题）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义
【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断．
【详解】解：∵，，，，，
∴与原点距离最近的是1，
故选：B．
►题型02 根据数轴上的点的位置判断式子结果的正负
【典例】．（2024·江苏徐州·模拟预测）实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数加法运算
【分析】本题主要考查了实数与数轴，绝对值的化简．根据题意得到，结合，可得，由绝对值的意义即可化简．
【详解】解：根据题意得到，
，
，
，
故选：D．
【变式】
1．（2024·江苏南京·三模）如图，数轴上点两点所表示的数分别为，下列各式中：①；②；③；④，计算结果一定是正数的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、运用平方差公式进行运算、实数与数轴
【分析】本题考查了数轴与实数，由数轴可得，，据此逐项判断即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得，，，
∴，，
∴，
∵，
∴可能是正数，也可能是负数，
∴不一定是正数，
∴计算结果一定是正数的有个，
故选：．
2．（2024·江苏徐州·模拟预测）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、实数与数轴
【分析】本题考查实数与数轴，利用数轴上数的位置判断大小，然后分别进行判断即可．解题的关键是会利用数轴进行判断．
【详解】解：A、，，
，
故此选项不符合题意；
B、，，
，
正确，
故此选项符合题意；
C、，，异号两数和取绝对值大的数的符号，
，
故此选项不符合题意；
D、，
，
故此选项不符合题意；
故选：．
命题点四 实数的大小比较
►题型01 实数的大小比较
【典例】．（2024·江苏南京·中考真题）比较大小： （填“”“”或“”）
【答案】
【知识点】有理数大小比较
【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．据此解答即可．
【详解】解：∵，
，
又，
∴．
故答案为：．
【变式】
1．（2025·江苏苏州·模拟预测）大于的整数有( )
A．5个B．10个C．无数个D．11个
【答案】C
【知识点】有理数大小比较
【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正整数和0大于负数，且正整数有无数个即可得到答案．
【详解】解：由于正整数和0都大于负数，而正整数有无数个，
∴大于的整数有无数个，
故选：C．
2．（2025·江苏连云港·一模）写出一个比1小的无理数： ．（只写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】实数的大小比较、无理数
【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的定义，理解无理数的定义是解题关键．只需要写出一个比1小的无理数即可．
【详解】解：比1小的无理数为，
故答案为：．
►题型02 无理数的大小估算
【典例】．（2025·江苏淮安·一模）数轴上点P表示的数为，则与点P距离最近的整数点表示的数为 ．
【答案】4
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题主要考查了无理数的估算．先求出和4的平方，再进行比较大小，然后根据二次根式的性质求出答案即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，即，
∵点P表示的数为，
∴与点P距离最近的整数点表示的数为：4，
故答案为：．
【变式】
1．（2025·江苏徐州·一模）写出一个比大且比小的整数为 ．
【答案】2或3
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；由题意可知，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴这个数可以是2或3；
故答案为：2或3．
2．（2025·江苏徐州·一模）下列整数中，与最接近的是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法进行求解是解决本题的关键．
估算出即可得出答案．
【详解】解：∵，
，
，
∴与最接近的数是6．
故选：C．
命题点五 科学记数法
►题型01 将一个数用科学记数法表示
【典例】
（2025·江苏无锡·中考真题）2025年春节期间，无锡市65家备案博物馆接待游客总数约819000人次．数据819000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数的方法，准确确定与值是关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：．
故选：A
【变式】
1．（2025·江苏盐城·中考真题）小明了解到“五一”期间全市共接待游客约6806000人次，数据6806000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：．
故选：B．
2．（2025·江苏南通·二模）2025年2月12日，中国载人航天工程办公室宣布，载人月球探测任务的登月服命名为“望宇”．已知月球距离地球的距离约为384000，将384000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：．
故选：A．
命题点六 二次根式
►题型01 二次根式有意义的条件
【典例】．（2025·江苏南通·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集、二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解．
【详解】解：由题意得：，
∴；
故答案为：．
【变式】
1．（2025·江苏苏州·模拟预测）在实数范围内，若有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据题意列出不等式求得结果即可；
【详解】解：由题意可知：，
解得：．
故答案为：．
2．（2025·江苏连云港·中考真题）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】求一元一次不等式的解集、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围．
【详解】解：在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
故选：D．
►题型02二次根式的化简与运算
【典例】．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】二次根式的除法、二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可．
【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误；
B．，运算正确；
C．，运算正确；
D．，运算正确；
故选：A．
【变式】
1．（2025·江苏泰州·二模）下列二次根式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】二次根式的除法、二次根式的加减运算、二次根式的乘法
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算．根据二次根式的四则运算，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D
2．（2025·江苏南通·模拟预测）下列运算正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】二次根式的除法、二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据合并同类二次根式法则判断选项A、B；根据二次根式的乘法法则判断选项C；根据二次根式的除法法则以及二次根式的性质判断选项D即可．
【详解】A．与2不是同类二次根式，不可以合并，故原计算错误，不符合题意；
B．与3不是同类二次根式，不可以合并，故原计算错误，不符合题意；
C．，原计算正确，符合题意；
D．，故原计算错误，不符合题意；
故选∶C．
命题点七 实数的运算
►题型01 实数的混合运算
【典例】．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：．
【答案】4
【知识点】负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算、零指数幂、实数的混合运算
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可．
【详解】解：，
，
，
．
【变式】
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）计算：．
【答案】
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算
【分析】此题考查了实数的混合运算，根据零指数幂、特殊角三角函数值、绝对值计算即可．
【详解】
．
2．（2024·江苏苏州·中考真题）计算：．
【答案】2
【知识点】求一个数的绝对值、零指数幂、实数的混合运算、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了实数的运算，利用绝对值的意义，零指数幂的意义，算术平方根的定义化简计算即可．
【详解】解：原式
．
突破一 实数与数轴相结合的应用
【典例】．（2025·江苏南京·二模）实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】实数的混合运算、实数与数轴
【分析】本题考查了实数与数轴，实数的运算，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
根据题意，得到，结合实数的运算法则逐一进行判断即可．
【详解】解：根据题意，，
∴，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项正确，符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项错误，不符合题意；
故选：B ．
【变式】
1．（2025·江苏镇江·二模）如图，在数轴上表示实数的点可能是 ．
【答案】
【知识点】无理数的大小估算、实数与数轴
【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴．熟练掌握无理数的大小估算，实数与数轴是解题的关键．
先估算的值，即可判断表示实数在数轴上的位置．
【详解】解：∵，
，
∴在数轴上表示实数的点可能是点．
故答案为：．
2．（2025·全国·一模）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】C
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、利用二次根式的性质化简、实数与数轴
【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断数的符号，式子的符号，再根据二次根式的性质，绝对值的意义，进行化简即可．
【详解】解：由数轴可知：，
∴，
∴；
故选C．
突破二 实数与新定义运算
【典例】．（2025·江苏·模拟预测）规定：符号[x]叫做取整符号，它表示不超过x的最大整数，例如：，，，，．则的值是（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】D
【知识点】无理数整数部分的有关计算、新定义下的实数运算
【分析】本题考查取整函数，熟练掌握无理数大小比较的方法，弄清定义是解题的关键．
由，再根据定义进行运算即可．
【详解】解：
，
故选：D．
【变式】
1．（2025·江苏扬州·一模）对任意一个三位数，如果满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“迥异数”．将一个“迥异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与的商记为，例如，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到，这三个新三位数的和为，，所以．若、都是“迥异数”，其中，（，，、都是正整数），当时，的最大值为 ．
【答案】/
【知识点】新定义下的实数运算
【分析】本题考查了实数的新定义运算，设，且，根据定义可得，即得，，进而由得，再根据、都是正整数解答即可求解，理解新定义是解题的关键．
【详解】解：设，且，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵、都是正整数，
∴（不合）或或（不合）或，
∴，或，，
∴或，
∵，
∴的最大值为，
故答案为：．
2．（2025·江苏无锡·二模）一个正整数能够写成两个正整数与的乘积与它们的和的差，即，那么叫做“智惠数”．例如：，，所以与都是“智惠数”．若，则满足条件的“智惠数”中最大的数是 ；若，取，中较大的数为个位数字，较小的数为十位数字组成的两位数记为，将的个位数字与十位数字交换后形成的新两位数记为．若为完全平方数，且能被整除，则满足条件的“智惠数”的值为 ．
【答案】 8 或
【知识点】整式四则混合运算、新定义下的实数运算
【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算，理解题意，掌握整式的混合运算法则是关键．
根据题意得到，由此即可可得满足条件的“智惠数”中最大的数，设，（是正整数），由此列举判定即可．
【详解】解：，叫做“智惠数”，若，
∴，
∴，
∵，
∴有最大值，
∵，
∴当时，，
∴满足条件的“智惠数”中最大的数是；
已知，
∴，，
∴是完全平方数，
能被整除，
设，（是正整数），
∴，
∴或，
∴或，
∴或，
∴符合条件的：或，对应的“智惠数”的值为或；
故答案为：①；②或 ．
1．（2025·江苏盐城·三模）《九章算术》记载的“余”和“不足”等概念，充分说明中国是世界上最早采用正负数表示相反意义量的国家，若将“收入80元”记作“元”，则“支出30元”记作（ ）
A．50元B．元C．30元D．元
【答案】D
【知识点】相反意义的量
【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若收入用“”表示，那么支出就用“”表示，据此求解即可．
【详解】解：若将“收入80元”记作“元”，则“支出30元”记作元，
故选：D．
2．（2025·江苏淮安·模拟预测）（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【知识点】化简多重符号
【分析】本题考查化简多重符号，根据相反数的定义，进行化简即可．
【详解】解：；
故选：B
3．（2025·江苏泰州·三模）下列计算结果中值最小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】绝对值的几何意义、有理数的乘方运算、负整数指数幂
【分析】本题主要考查了有理数的乘方、相反数、绝对值以及负整数指数幂的运算，熟练掌握这些运算的法则是解题的关键．分别计算每个选项的值，再比较大小．
【详解】解：∵，，，，，
∴值最小的是．
故选：A．
4．（2025·江苏宿迁·中考真题）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．2B．-2C．D．
【答案】A
【知识点】有理数大小比较
【分析】本题考查了有理数的大小比较，关键在于明确正数大于，大于负数，两个负数比较，绝对值小的，反而大．通过分析正负数的大小关系即可得出结论．
【详解】解：∵，，且，
∴，
最大的数2，
故选：A．
5．（2025·江苏淮安·中考真题）2025年五一假期，淮安各大景区景点人气爆棚．经了解，淮安全市共接待游客约526.1万人次，实现旅游总收入约24.2亿元．数据“24.2亿”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：24.2亿，
故选：C．
6．（2025·江苏无锡·一模）的平方根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求一个数的平方根
【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：的平方根是，
故选：．
7．（2025·江苏南京·三模）下列各数中的无理数是（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【知识点】求一个数的算术平方根、无理数、零指数幂、特殊三角形的三角函数
【分析】此题主要考查了无理数．熟练掌握无理数的定义，0指数，特殊角的三角函数，算术平根性质，是解题的关键．无限不循环小数为无理数．如带根号开不尽方的，化简结果含π的，特殊构造的，像0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0），等形式的数才是无理数．
分别根据无理数、有理数的定义即可判断．
【详解】解： A. ，是无理数，符合题意：
B. ，是有理数，不符合题意；
C. ，是有理数，不符合题意；
D. ，是有理数，不符合题意．
故选：A．
8．（2025·江苏南京·二模）绝对值不大于的整数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【知识点】绝对值的几何意义、无理数的大小估算
【分析】本题考查了估算无理数的大小，绝对值的意义，先估算出的大小，再根据绝对值的意义求出所有符合条件的整数即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴绝对值不大于的整数有，，0，
∴绝对值不大于的整数的个数是5．
故选：D．
9．（2025·江苏南京·模拟预测）长跑因为其便捷性及有效性成为人们最喜爱的运动方式之一，普通人长跑的平均速度约为，估计的值在（ ）
A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间
【答案】B
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题考查了无理数的估算，先整理，再得出的取值范围，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∴，
∴，
故选：B．
10．（2025·江苏连云港·中考真题）计算．
【答案】6
【知识点】实数的混合运算、零指数幂
【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，先进行乘法，开方，零指数幂的运算，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
【详解】解：原式．
1．（2024·江苏徐州·模拟预测）实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算
【分析】本题主要考查了实数与数轴，绝对值的化简．根据题意得到，结合，可得，由绝对值的意义即可化简．
【详解】解：根据题意得到，
，
，
，
故选：D．
2．（2025·江苏扬州·二模）若与互为相反数，则 ．
【答案】1
【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、加减消元法
【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，也考查了二元一次方程组的求解，熟知非负数的性质是解题的关键；
根据非负数的性质可得关于a、b的方程组，解方程组求出a、b后再代入所求式子计算即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：1．
3．（2025·江苏徐州·一模）写出一个比大且比小的整数为 ．
【答案】2或3
【知识点】无理数的大小估算
【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；由题意可知，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：，
∴这个数可以是2或3；
故答案为：2或3．
4．（2025·江苏苏州·一模）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算
【分析】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各式是解题关键．
（1）首先计算绝对值、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可；
（2）首先计算乘方、开方，再计算乘除，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可；
（3）首先计算绝对值、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可；
（4）首先计算乘方、开方、去绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
5．（2025·江苏徐州·一模）已知，则实数m的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】无理数的大小估算、利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算
【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的运算以及无理数的估算．
利用二次根式的性质先化简，计算，利用平方法估算即可解答．
【详解】解；，
∵
∴，
，即，
故选 B．
1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）的绝对值是（ ）
A．2025B．C．D．
【答案】A
【知识点】求一个数的绝对值
【分析】本题考查绝对值．负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案．
【详解】解：的绝对值是2025，
故选：A．
2．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义
【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先由数轴得，，且，再逐项分析即可．
【详解】解：由数轴得，，且
∴，，
故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意，
故选：D．
3．（2025·北京·模拟预测）有理数，对应的点在数轴上的位置如图，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算
【分析】本题考查了有理数与数轴，根据数轴可得，，据此即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得，，，
∴，，
∴，，
选项A、B、C错误，选项D正确，
故选：D．
4．（2025·山东青岛·模拟预测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负
【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握把有理数表示在数轴上和有理数的加减法则．
先观察数轴可知，且，然后根据互为相反数的定义、有理数的除法法则和加减法则，判断各个选项的正误即可．
【详解】由数轴可知，且，
，故A错误；
，故B错误；
，即，故C错误；
，故D正确．
故选：D．
5．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，这是石家庄市2025年某月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（ ）
A．星期一B．星期二C．星期三D．星期四
【答案】B
【知识点】有理数大小比较、有理数减法的实际应用
【分析】本题主要考查了有理数减法的应用和有理数的比较大小等知识点，分别求出每天的温差，然后进行比较即可，熟练掌握有理数减法的运算法则是解决此题的关键．
【详解】解：星期一的温差为：，
星期二的温差为：，
星期三的温差为：，
星期四的温差为：，
∵，
∴日温差最大的一天是星期二．
故选：B．
6．（2025·重庆·中考真题）下列四个数中，最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】有理数大小比较、用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】此题考查了科学记数法的应用能力，运用科学记数法知识将各选项数字还原，再进行比较、求解．关键是能准确理解并运用以上知识．
【详解】解：，，，，
，
，
∴四个数中，最大的是，
故选：D．
7．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据定义求解即可．
【详解】解：亿，
故选：C
8．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【知识点】相反数的定义、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了算术平方根的计算及相反数的概念，解题的关键是先求出√4的具体值，再根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）确定其相反数．
计算的值：因为，所以；求2的相反数：根据相反数定义，2的相反数是，因此的相反数是．
【详解】解：∵表示4的算术平方根，且，
∴．
根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），可得2的相反数是，即的相反数是．
故选：B．
9．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可．
【详解】解：当时，，，故、和没有意义，不符合题意，有意义，符合题意；
故选B．
10．（2025·福建·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项．
【详解】解：要使在实数范围内有意义，
需满足被开方数，
解得．
∴符合．
故选：D．
11．（2025·陕西·中考真题）计算：．
【答案】
【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、二次根式的乘法
【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，先运算乘法，乘方，负整数指数幂，再运算加减法，即可作答．
【详解】解：
．
12．（2025·山东济南·中考真题）计算：．
【答案】
【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算．
【详解】解：原式
．
13．（2025·黑龙江大庆·中考真题）求值：．
【答案】
【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算、零指数幂
【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别计算算术平方根，零指数幂，化简绝对值，再进行加减计算即可．
【详解】解：
．
14．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：．
【答案】
【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可．
【详解】解：原式
15．（2025·广东深圳·中考真题）计算：．
【答案】7
【知识点】实数的混合运算、零指数幂
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：先进行开方，去绝对值，零指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可.
【详解】原式
.
命题点一 实数的分类
题型01 正负数的意义
题型02 无理数的识别
命题点二 相反数、绝对值、倒数的概念
题型01 求一个数的绝对值
题型02 求一个数的相反数
题型03 求一个数的倒数
命题点三 数轴
题型01 根据数轴上的点的位置判断表示的数
题型02 根据数轴上的点的位置判断式子结果的正负
命题点四 实数的大小比较
题型01 实数的大小比较
题型02 无理数的大小估算
命题点五 科学记数法
题型01 科学记数法
命题点六 二次根式
题型01 二次根式有意义的条件
题型02 二次根式的化简与运算
命题点七 实数的运算
题型01 实数的混合运算
突破一 实数与数轴相结合问题
突破二 实数与新定义运算
基础巩固→能力提升→全国新趋势
考点
2025年
2024年
2023年
课标要求
相反数、绝对值、倒数
徐州T1、淮安T1
盐城T1、
连云港T1
无锡T11
……
盐城T1、
连云港T1
南京T10、无锡T1、常州T1、
镇江T1
……
苏州T1
连云港T1
宿迁T1
镇江T1
……
理解相反数、绝对值、倒数的意义，会求实数的相反数、绝对值、倒数；
科学记数法
盐城T8、
淮安T3、无锡T2
宿迁T3、南通T2、苏州T3
……
常州 T6、宿迁T3、南通T2、镇江T3、苏州T3、徐州T9
无锡T12
……
南京T1、南通T2、盐城T5、淮安T3、连云港T3、泰州T8
徐州T10、无锡T12、扬州T9
……
会用科学记数法表示数（包括大于1的正数和小于1的正数），能进行科学记数法与实际数之间的转化。
实数的大小比较
苏州T1
宿迁T1、扬州T1
……
淮安 T1
常州T4
扬州T5
徐州T3
……
能进行实数大小比较；
二次根式
镇江T2
徐州T5
连云港T3
南通T12
盐城T9
徐州T3
常州T2
扬州T12
连云港T10
宿迁T9
南京T8
无锡T2
徐州T11
淮安T9
苏州T9
……
了解二次根式、最简二次根式的概念及其运算法则，会进行简单的四则运算；
实数的运算
镇江T17
淮安T17
徐州T19
连云港T17
苏州T17
……
苏州T17
连云港T17
宿迁T19
盐城T17
……
宿迁T19
苏州T17
连云港T17
盐城T17
……
能进行实数加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算；
命题预测
相反数、绝对值、倒数是每年必考考点，通常这三个只考其中之一；科学记数法的考查是每年必考考点，一般会结合当年热点事件或新闻内容为背景考查；二次根式的考查通常包括两个内容，一个是二次根式有意义的条件，二是二次根式的运算，二次根式有意义的条件与分式有意义的条件通常二选一考查，而二次根式的运算一般会与实数的混合运算综合在一起考查，其题型一般以解答题的形式放在解答题的第1题，偶尔也会放在选填中以小题形式单独考查。2026年的中考与近几年形式不会有大的变化。
加法交换律
乘法交换律
加法结合律
乘法结合律
乘法分配律
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