江苏省南通市2025-2026学年高三冲刺模拟数学试卷（含答案解析）

这是一份江苏省南通市2025-2026学年高三冲刺模拟数学试卷（含答案解析），共8页。试卷主要包含了记为等差数列的前项和.若，，则等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等差数列中，若为前项和，，则的值是（ ）
A．156B．124C．136D．180
2． “”是“直线与互相平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．执行如图的程序框图，若输出的结果，则输入的值为( )
A．B．
C．3或D．或
4．抛物线的焦点为，则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）
A．1个B．2个C．0个D．无数个
5．在区间上随机取一个数，使得成立的概率为等差数列的公差，且，若，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
6．已知定点，，是圆上的任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆
7．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ）
A．若，，则或
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
8．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．记为等差数列的前项和.若，，则（ ）
A．5B．3C．－12D．－13
10．已知无穷等比数列的公比为2，且，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数．若存在实数，且，使得，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
12．已知集合，则集合的非空子集个数是（ ）
A．2B．3C．7D．8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则________．
14．设（其中为自然对数的底数），，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为________.
15．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．
16．在平面直角坐标系xOy中，己知直线与函数的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为，，…，若点的横坐标为1，则点的横坐标为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.
⑴若，，（），求证：数列是等比数列；
⑵若数列是等比数列，求，的值；
⑶若，且，求证：数列是等差数列.
18．（12分）如图,四棱锥中,平面平面,底面为梯形.，且与均为正三角形.为的中点为重心,与相交于点.
(1)求证:平面；
(2)求三棱锥的体积.
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知平行于x轴的动直线l交抛物线C：于点P，点F为C的焦点．圆心不在y轴上的圆M与直线l，PF，x轴都相切，设M的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若直线与曲线E相切于点，过Q且垂直于的直线为，直线，分别与y轴相交于点A，当线段AB的长度最小时，求s的值．
20．（12分）已知函数f(x)＝x－lnx，g(x)＝x2－ax.
（1）求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)；
（2）令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x1，h(x1))，B(x2，h(x2))(x1≠x2)是函数h(x)图像上任意两点，且满足＞1，求实数a的取值范围；
（3）若∃x∈(0,1]，使f(x)≥成立，求实数a的最大值．
21．（12分）某景点上山共有级台阶，寓意长长久久．甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为．为了简便描述问题，我们约定，甲从级台阶开始向上走，一步走一个台阶记分，一步走两个台阶记分，记甲登上第个台阶的概率为，其中，且．
（1）若甲走步时所得分数为，求的分布列和数学期望；
（2）证明：数列是等比数列；
（3）求甲在登山过程中，恰好登上第级台阶的概率．
22．（10分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于、两点，与圆相交于、两点，求的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
因为，可得，根据等差数列前项和，即可求得答案.
【详解】
，
，
.
故选：A.
本题主要考查了求等差数列前项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
2．A
【解析】
利用两条直线互相平行的条件进行判定
【详解】
当时，直线方程为与，可得两直线平行；
若直线与互相平行，则，解得，
，则“”是“直线与互相平行”的充分不必要条件，故选
本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题．
3．D
【解析】
根据逆运算，倒推回求x的值，根据x的范围取舍即可得选项.
【详解】
因为,所以当，解得 ，所以3是输入的x的值；
当时，解得，所以是输入的x的值，
所以输入的x的值为 或3，
故选：D.
本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题.
4．B
【解析】
圆心在的中垂线上，经过点，且与相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆．
【详解】
因为点在抛物线上，
又焦点，，
由抛物线的定义知，过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点，
这样的交点共有2个，
故过点、且与相切的圆的不同情况种数是2种．
故选：．
本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上．
5．D
【解析】
由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件，求得，从而求得，解不等式求得结果.
【详解】
由题意，本题符合几何概型，区间长度为6，
使得成立的的范围为，区间长度为2，
故使得成立的概率为，
又，，，
令，则有，故的最小值为11，
故选：D.
该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目.
6．B
【解析】
根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可.
【详解】
因为线段的垂直平分线与直线相交于点，如下图所示：
所以有，而是中点，连接，故，
因此
当在如下图所示位置时有，所以有，而是中点，连接,
故，因此，
综上所述：有，所以点的轨迹是双曲线.
故选：B
本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想.
7．D
【解析】
根据线面平行和面面平行的性质，可判定A；由线面平行的判定定理，可判断B；C中可判断，所成的二面角为；D中有可能，即得解.
【详解】
选项A：若，，根据线面平行和面面平行的性质，有或，故A正确；
选项B：若，，，由线面平行的判定定理，有，故B正确；
选项C：若，，，故，所成的二面角为，则，故C正确；
选项D，若，，有可能，故D不正确.
故选：D
本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题.
8．C
【解析】
先确定摸一次中奖的概率，5个人摸奖，相当于发生5次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果．
【详解】
从6个球中摸出2个，共有种结果，
两个球的号码之和是3的倍数，共有
摸一次中奖的概率是，
5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是，
有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是，
故选：．
本题主要考查了次独立重复试验中恰好发生次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖5次，相当于做了5次独立重复试验，利用公式做出结果，属于中档题．
9．B
【解析】
由题得，，解得，，计算可得.
【详解】
，，，，解得，，
.
故选：B
本题主要考查了等差数列的通项公式，前项和公式，考查了学生运算求解能力.
10．A
【解析】
依据无穷等比数列求和公式，先求出首项，再求出，利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。
【详解】
因为无穷等比数列的公比为2，则无穷等比数列的公比为。
由有，，解得，所以，
，故选A。
本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。
11．D
【解析】
首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果.
【详解】
，令，得，．
其单调性及极值情况如下：
若存在，使得，
则（如图1）或（如图2）．
（图1）
（图2）
于是可得，
故选：D.
该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.
12．C
【解析】
先确定集合中元素，可得非空子集个数．
【详解】
由题意，共3个元素，其子集个数为，非空子集有7个．
故选：C．
本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有个元素的集合其子集个数为，非空子集有个．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程，结合题意可求得正实数的值.
【详解】
双曲线的渐近线方程为，
由于该双曲线的一条渐近线方程为，，解得.
故答案为：.
本题考查利用双曲线的渐近线方程求参数，考查计算能力，属于基础题.
14．
【解析】
求函数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，设，若函数恰有4个零点，则等价为函数有两个零点，满足或，利用一元二次函数根的分布进行求解即可．
【详解】
当时，，
由得：，解得，
由得：，解得，
即当时，函数取得极大值，同时也是最大值，（e），
当，，
当，，
作出函数的图象如图，
设，
由图象知，当或，方程有一个根，
当或时，方程有2个根，
当时，方程有3个根，
则，等价为，
当时，，
若函数恰有4个零点，
则等价为函数有两个零点，满足或，
则，
即（1）
解得：，
故答案为：
本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及．求的导数，研究函数的的单调性和极值是解决本题的关键，属于难题．
15．0.08
【解析】
先求解这组数据的平均数，然后利用方差的公式可得结果.
【详解】
首先求得，
．
故答案为：0.08.
本题主要考查数据的方差，明确方差的计算公式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.
16．1
【解析】
当时，得，或，依题意可得，可求得，继而可得答案．
【详解】
因为点的横坐标为1，即当时，，
所以或，
又直线与函数的图象在轴右侧的公共点从左到右依次为，，
所以，
故，
所以函数的关系式为．
当时，（1），
即点的横坐标为1，为二函数的图象的第二个公共点．
故答案为：1．
本题考查三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力及思维能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析（2）（3）见解析
【解析】
试题分析：（1）(), 所以，故数列是等比数列；（2）利用特殊值法，得，故；（3）得，所以，得，可证数列是等差数列.
试题解析：
（1）证明：若，则当(),
所以，
即，
所以，
又由，，
得，，即，
所以，
故数列是等比数列．
（2）若是等比数列，设其公比为（ ），
当时，，即，得
， ①
当时，，即，得
， ②
当时，，即，得
， ③
②①，得 ，
③②，得 ，
解得．
代入①式，得．
此时()，
所以，是公比为１的等比数列，
故．
（3）证明：若，由，得，
又，解得．
由，， ，，代入得，
所以，，成等差数列，
由，得，
两式相减得：
即
所以
相减得：
所以
所以
，
因为，所以，
即数列是等差数列.
18．（1）见解析（2）
【解析】
（1）第（1）问，连交于,连接.证明// ，即证平面. (2)第(2)问，主要是利用体积变换，,求得三棱锥的体积.
【详解】
（1）方法一：连交于,连接.
由梯形，且，知
又为的中点，为的重心，∴
在中， ,故// .
又平面, 平面,∴ 平面.
方法二：过作交PD于N,过F作FM||AD交CD于M,连接MN,
G为△PAD的重心，
又ABCD为梯形，AB||CD,
又由所作GN||AD,FM||AD,得// ，所以GNMF为平行四边形.
因为GF||MN,

（2） 方法一:由平面平面， 与均为正三角形， 为的中点
∴， ，得平面，且
由（1）知//平面，∴
又由梯形ABCD，AB||CD，且，知
又为正三角形，得，∴，
得
∴三棱锥的体积为.
方法二: 由平面平面， 与均为正三角形， 为的中点
∴， ，得平面，且
由，∴
而又为正三角形，得，得.
∴，
∴三棱锥的体积为.
19．（1），（2）．
【解析】
根据题意设，可得PF的方程，根据距离即可求出；
点Q处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，根据导数的几何意义和斜率公式，求，并构造函数，利用导数求出函数的最值．
【详解】
因为抛物线C的方程为，所以F的坐标为，
设，因为圆M与x轴、直线l都相切，l平行于x轴，
所以圆M的半径为，点，
则直线PF的方程为，即，
所以，又m，，
所以，即，
所以E的方程为，，
设，，，
由知，点Q处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，
由，所以，，
所以，，
所以，．
令，，
则，
由得，由得，
所以在区间单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极小值也是最小值，即AB取得最小值
此时．
本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及利用导数求函数最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于难题．
20．（1）m(t)＝（2）a≤2－2.（3）a≤2－2.
【解析】
（1）是研究在动区间上的最值问题，这类问题的研究方法就是通过讨论函数的极值点与所研究的区间的大小关系来进行求解．
（2）注意到函数h(x)的图像上任意不同两点A，B连线的斜率总大于1，等价于h(x1)－h(x2)＜x1－x2(x1＜x2)恒成立，从而构造函数F(x)＝h(x)－x在(0，＋∞)上单调递增，进而等价于F′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立来加以研究．
（3）用处理恒成立问题来处理有解问题，先分离变量转化为求对应函数的最值，得到a≤，再利用导数求函数M(x)＝的最大值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性，进而确定函数最值．
【详解】
（1） f′(x)＝1－，x＞0，
令f′(x)＝0，则x＝1.
当t≥1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，f(x)的最小值为f(t)＝t－lnt；
当0＜t＜1时，f(x)在区间(t,1)上为减函数，在区间(1，t＋1)上为增函数，f(x)的最小值为f(1)＝1.
综上，m(t)＝
（2）h(x)＝x2－(a＋1)x＋lnx，
不妨取0＜x1＜x2，则x1－x2＜0，
则由，可得h(x1)－h(x2)＜x1－x2，
变形得h(x1)－x1＜h(x2)－x2恒成立．
令F(x)＝h(x)－x＝x2－(a＋2)x＋lnx，x＞0，
则F(x)＝x2－(a＋2)x＋lnx在(0，＋∞)上单调递增，
故F′(x)＝2x－(a＋2)＋≥0在(0，＋∞)上恒成立，
所以2x＋≥a＋2在(0，＋∞)上恒成立．
因为2x＋≥2，当且仅当x＝时取“＝”，
所以a≤2－2.
（3）因为f(x)≥，所以a(x＋1)≤2x2－xlnx.
因为x∈(0,1]，则x＋1∈(1,2]，所以∃x∈(0,1]，使得a≤成立．
令M(x)＝，则M′(x)＝.
令y＝2x2＋3x－lnx－1，则由y′＝＝0 可得x＝或x＝－1(舍)．
当x∈时，y′＜0，则函数y＝2x2＋3x－lnx－1在上单调递减；
当x∈时，y′＞0，则函数y＝2x2＋3x－lnx－1在上单调递增．
所以y≥ln4－＞0，
所以M′(x)＞0在x∈(0,1]时恒成立，
所以M(x)在(0,1]上单调递增．
所以只需a≤M(1)，即a≤1.
所以实数a的最大值为1.
本题考查了函数与导数综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算能力，属于难题.
21．见解析
【解析】
（1）由题可得的所有可能取值为，，，，
且，，
，，
所以的分布列为
所以的数学期望．
（2）由题可得，所以，
又，，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
（3）由（2）可得
．
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）利用勾股定理结合条件求得和，利用椭圆的定义求得的值，进而可得出，则椭圆的标准方程可求；
（Ⅱ）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理与弦长公式求出，利用几何法求得直线截圆所得弦长，可得出关于的函数表达式，利用不等式的性质可求得的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）在椭圆上， ，，，，
，，
又，，，，
椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）设点、，
联立消去，得，，
则，，
设圆的圆心到直线的距离为，则.
，
，
，，
的取值范围为.
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中弦长之积的取值范围的求解，涉及韦达定理与弦长公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
x
0
+
0
_
0
+
极大值
极小值