2026年河南省漯河市高三第二次联考数学试卷（含答案解析）

这是一份2026年河南省漯河市高三第二次联考数学试卷（含答案解析），共8页。试卷主要包含了若满足约束条件则的最大值为，设函数，则，的大致图象大致是的，已知，则的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
2．在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知类产品共两件，类产品共三件，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时，检测结束，则第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．若满足约束条件则的最大值为（ ）
A．10B．8C．5D．3
5．设函数，则，的大致图象大致是的( )
A．B．
C．D．
6．若（），，则（ ）
A．0或2B．0C．1或2D．1
7．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．若函数的图象上两点，关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知，则的取值范围是（ ）
A．[0，1]B．C．[1，2]D．[0，2]
10．已知幂函数的图象过点，且，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
11．已知双曲线的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，椭圆的方程为，双曲线方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为________.
14．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元．
15．已知 ，则_____.
16．等差数列（公差不为0），其中，，成等比数列，则这个等比数列的公比为_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知△ABC三内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，且3sin2A+3sin2B＝4sinAsinB+3sin2C．
（1）求csC的值；
（2）若a＝3，c，求△ABC的面积．
18．（12分）设函数 .
(I)求的最小正周期；
(II)若且，求的值.
19．（12分）已知椭圆：（），四点，，，中恰有三点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左右顶点分别为.是椭圆上异于的动点，求的正切的最大值.
20．（12分）的内角所对的边分别是，且，.
（1）求；
（2）若边上的中线，求的面积.
21．（12分）已知椭圆：的离心率为，右焦点为抛物线的焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为坐标原点，过作两条射线，分别交椭圆于、两点，若、斜率之积为，求证：的面积为定值.
22．（10分）设，函数，其中为自然对数的底数.
（1）设函数.
①若，试判断函数与的图像在区间上是否有交点；
②求证：对任意的，直线都不是的切线；
（2）设函数，试判断函数是否存在极小值，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
利用函数奇偶性可求得在时的解析式和，进而构造出不等式求得结果.
【详解】
为定义在上的奇函数，.
当时，，，
为奇函数，，
由得：或；
综上所述：若，则的解集为.
故选：.
本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在处有意义时，的情况.
2．B
【解析】
由点的坐标满足方程，可得在圆上，由坐标满足方程，可得在圆上，则求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.
【详解】
点的坐标满足方程，
在圆上，
在坐标满足方程，
在圆上，
则作出两圆的图象如图，
设两圆内公切线为与，
由图可知，
设两圆内公切线方程为，
则，
圆心在内公切线两侧，，
可得，，
化为，，
即，
，
的取值范围，故选B.
本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.
3．D
【解析】
根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出类产品的概率，不放回情况下第二次检测出类产品的概率，即可得解.
【详解】
类产品共两件，类产品共三件，
则第一次检测出类产品的概率为；
不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出类产品的概率为；
故第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为；
故选：D.
本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题.
4．D
【解析】
画出可行域,将化为,通过平移即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值.
【详解】
解:由约束条件作出可行域如图,
化目标函数为直线方程的斜截式,.由图可知
当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最大值为3.
故选:D.
本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为 的形式,在可行域内通过平移找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.
5．B
【解析】
采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A；通过判断特殊点的函数值符号排除选项D和选项C即可求解.
【详解】
对于选项A:由题意知,函数的定义域为，其关于原点对称，
因为,
所以函数为奇函数,其图象关于原点对称，故选A排除；
对于选项D:因为,故选项D排除;
对于选项C:因为,故选项C排除;
故选:B
本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
6．A
【解析】
利用复数的模的运算列方程，解方程求得的值.
【详解】
由于（），，所以，解得或.
故选：A
本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.
7．B
【解析】
设，，，根据向量线性运算法则可表示出和；分别求解出和，，根据向量夹角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值.
【详解】
设棱长为1，，，
由题意得：，，
，
又
即异面直线与所成角的余弦值为：
本题正确选项：
本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.
8．D
【解析】
由题可知，可转化为曲线与有两个公共点，可转化为方程有两解，构造函数，利用导数研究函数单调性，分析即得解
【详解】
函数的图象上两点，关于直线的对称点在上，
即曲线与有两个公共点，
即方程有两解，
即有两解，
令，
则，
则当时，；当时，，
故时取得极大值，也即为最大值，
当时，；当时，，
所以满足条件．
故选：D
本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.
9．D
【解析】
设，可得，构造（）22，结合，可得，根据向量减法的模长不等式可得解.
【详解】
设，则，
，
∴（）2•2
||22＝4，所以可得：，
配方可得，
所以，
又
则[0，2]．
故选：D．
本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
10．A
【解析】
根据题意求得参数，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断.
【详解】
依题意，得，故，
故，，，
则.
故选：A.
本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题.
11．A
【解析】
根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出，结合，得出，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】
解：由双曲线可知，焦点在轴上，
则双曲线的渐近线方程为：，
由于焦距是虚轴长的2倍，可得：，
∴，
即：，，
所以双曲线的渐近线方程为：.
故选：A.
本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程.
12．B
【解析】
由题意可知函数为上为减函数，可知函数为减函数，且，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
由题意知函数是上的减函数，于是有，解得，
因此，实数的取值范围是．
故选：B.
本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
求出椭圆与双曲线的离心率，根据离心率之积的关系，然后推出关系，即可求解双曲线的渐近线方程.
【详解】
，椭圆的方程为，
的离心率为：，
双曲线方程为，
的离心率：，
与的离心率之积为，
，
，
的渐近线方程为：，即.
故答案为：
本题考查了椭圆、双曲线的几何性质，掌握椭圆、双曲线的离心率公式，属于基础题.
14．7 53
【解析】
根据物品价格不变，可设共有x人，列出方程求解即可
【详解】
设共有人，
由题意知 ，
解得，可知商品价格为53元.
即共有7人，商品价格为53元.
本题主要考查了数学文化及一元一次方程的应用，属于中档题.
15．
【解析】
对原方程两边求导，然后令求得表达式的值.
【详解】
对等式两边求导，得，令，则.
本小题主要考查二项式展开式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题.
16．4
【解析】
根据等差数列关系，用首项和公差表示出，解出首项和公差的关系，即可得解.
【详解】
设等差数列的公差为，
由题意得: ，则整理得，，所以
故答案为：4
此题考查等差数列基本量的计算，涉及等比中项，考查基本计算能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）或．
【解析】
（1）利用正弦定理对已知代数式化简，根据余弦定理求解余弦值；
（2）根据余弦定理求出b＝1或b＝3，结合面积公式求解.
【详解】
（1）已知等式3sin2A+3sin2B＝4sinAsinB+3sin2C，利用正弦定理化简得：3a2+3b2﹣3c2＝4ab，即a2+b2﹣c2ab，
∴csC；
（2）把a＝3，c，代入3a2+3b2﹣3c2＝4ab得：b＝1或b＝3，
∵csC，C为三角形内角，
∴sinC，
∴S△ABCabsinC3×bb，
则△ABC的面积为或．
此题考查利用正余弦定理求解三角形，关键在于熟练掌握正弦定理进行边角互化，利用余弦定理求解边长，根据面积公式求解面积.
18． (I)；(II)
【解析】
(I)化简得到，得到周期.
(II) ，故，根据范围判断，代入计算得到答案.
【详解】
(I)
，故.
(II) ，故，，
，故，，
故，故，
.
本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19．（1）；（2）
【解析】
（1）分析可得必在椭圆上，不在椭圆上，代入即得解；
（2）设直线PA，PB的倾斜角分别为，斜率为，可得.则，，利用均值不等式，即得解.
【详解】
（1）因为关于轴对称，
所以必在椭圆上，
∴不在椭圆上
∴，，
即.
（2）设椭圆上的点（），
设直线PA，PB的倾斜角分别为，斜率为
又
∴.
，
，（不妨设）.
故

当且仅当，即时等号成立
本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
20．（1），（2）
【解析】
（1）先由正弦定理，得到，进而可得，再由，即可得出结果；
（2）先由余弦定理得，，再根据题中数据，可得，从而可求出，得到，进而可求出结果.
【详解】
（1）由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
即，所以，
又因为，所以，.
（2）在和中，由余弦定理得
，.
因为，，，，
又因为，即，
所以，
所以，
又因为，所以.
所以的面积.
本题主要考查解三角形，灵活运用正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.
21．（1）；（2）见解析
【解析】
（1）由条件可得，再根据离心率可求得，则可得椭圆方程；
（2）当与轴垂直时，设直线的方程为：，与椭圆联立求得的坐标，通过、斜率之积为列方程可得的值，进而可得的面积；当与轴不垂直时，设，，的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理和、斜率之积为可得，再利用弦长公式求出，以及到的距离，通过三角形的面积公式求解.
【详解】
（1）抛物线的焦点为，
，
，，
，，
椭圆方程为；
（2）（ⅰ）当与轴垂直时，设直线的方程为：
代入得：，，
，
解得：，
；
（ⅱ）当与轴不垂直时，设，，的方程为
由，
由①
，
，
，
即
整理得：
代入①得：
到的距离
综上：为定值.
本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，是中档题.
22．（1）①函数与的图象在区间上有交点；②证明见解析；（2）且；
【解析】
（1）①令，结合函数零点的判定定理判断即可；②设切点横坐标为，求出切线方程，得到，根据函数的单调性判断即可；
（2）求出的解析式，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，确定的范围即可．
【详解】
解：（1）①当时，函数，
令，，
则，，
故，
又函数在区间上的图象是不间断曲线，
故函数在区间上有零点，
故函数与的图象在区间上有交点；
②证明：假设存在，使得直线是曲线的切线，
切点横坐标为，且，
则切线在点切线方程为，
即，
从而，且，
消去，得，故满足等式，
令，所以，
故函数在和上单调递增，
又函数在时，
故方程有唯一解，
又，
故不存在，即证；
（2）由得，
，，
令，
则，
，
当时，递减，
故当时，，递增，
当时，，递减，
故在处取得极大值，不合题意；
时，则在递减，在，递增，
①当时，，
故在递减，
可得当时，，
当时，，
，
易证，令，，
令，
故，则，
故在递增，
则，
即时，，
故在，内存在，使得，
故在，上递减，在，递增，
故在处取得极小值．
②由（1）知，，
故在递减，在递增，
故时，，递增，不合题意；
③当时，，
当，时，，递减，
当时，，递增，
故在处取极小值，符合题意，
综上，实数的范围是且．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．