2026届江苏省宿迁市高考数学四模试卷（含答案解析）

这是一份2026届江苏省宿迁市高考数学四模试卷（含答案解析），共3页。试卷主要包含了已知的垂心为，且是的中点，则，空间点到平面的距离定义如下等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．中，如果，则的形状是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
2．已知双曲线的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，已知，则为( )
A．B．C．或D．或
4．执行如图所示的程序框图，若输出的，则①处应填写（ ）
A．B．C．D．
5．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD，在点E，F处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E，F处的目标球，最后停在点C处，若AE=50cm．EF=40cm．FC=30cm，∠AEF=∠CFE=60°，则该正方形的边长为（ ）
A．50cmB．40cmC．50cmD．20cm
6．已知的垂心为，且是的中点，则（ ）
A．14B．12C．10D．8
7．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面，，两两互相垂直，点，点到，的距离都是3，点是上的动点，满足到的距离与到点的距离相等，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
8．已知非零向量，满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解:
9．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ）
A．方差B．中位数C．众数D．平均数
10．设，点，，，，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．已知数列满足,且,则的值是( )
A．B．C．4D．
12．已知椭圆的右焦点为F，左顶点为A，点P椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，且，则________．
14．（5分）某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素（这些元素可以延缓衰老，还能起到抗癌的效果）对人体的作用，现从只雌蛙和只雄蛙中任选只牛蛙进行抽样试验，则选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________．
15．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为________．
16．有以下四个命题：①在中，的充要条件是；②函数在区间上存在零点的充要条件是；③对于函数，若，则必不是奇函数；④函数与的图象关于直线对称.其中正确命题的序号为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线与直线的直角坐标方程；
（2）若曲线与直线交于两点，求的值.
18．（12分）已知椭圆的左右焦点分别是，点在椭圆上，满足
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线过点，且与椭圆只有一个公共点，直线与的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点的两点，与直线交于点（介于两点之间），是否存在直线，使得直线，，的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出的方程，若不能，请说理由.
19．（12分）已知椭圆的焦点在轴上，且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过椭圆右焦点的直线交于、两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值.
20．（12分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格”.
（Ⅰ）由以上数据绘制成2×2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？
（Ⅱ）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，记来自男生的个数为，求的分布列及数学期望.
附：

21．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF；
（Ⅱ）若二面角CBFD的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值．
22．（10分）已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若对任意恒成立，求的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
化简得lgcsA＝lg＝﹣lg2，即，结合， 可求，得代入sinC＝sinB，从而可求C，B，进而可判断.
【详解】
由，可得lgcsA＝＝﹣lg2，∴，
∵，∴，，∴sinC＝sinB＝＝，∴tanC＝，C＝，B＝.
故选：B
本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题．
2．B
【解析】
试题分析：由题意得，，所以，，所求双曲线方程为．
考点：双曲线方程.
3．D
【解析】
由正弦定理可求得，再由角A的范围可求得角A.
【详解】
由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。
故选：D.
本题主要考查正弦定理,注意角的范围，是否有两解的情况，属于基础题.
4．B
【解析】
模拟程序框图运行分析即得解.
【详解】
；
；.
所以①处应填写“”
故选：B
本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．D
【解析】
过点做正方形边的垂线，如图，设，利用直线三角形中的边角关系，将用表示出来，根据，列方程求出，进而可得正方形的边长.
【详解】
过点做正方形边的垂线，如图，
设，则，，
则
，
因为，则，
整理化简得，又，
得 ，
.
即该正方形的边长为.
故选：D.
本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.
6．A
【解析】
由垂心的性质，得到，可转化，又即得解.
【详解】
因为为的垂心，所以，
所以，而，
所以，
因为是的中点，
所以
．
故选：A
本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
7．D
【解析】
建立平面直角坐标系，将问题转化为点的轨迹上的点到轴的距离的最小值，利用到轴的距离等于到点的距离得到点轨迹方程，得到，进而得到所求最小值.
【详解】
如图，原题等价于在直角坐标系中，点，是第一象限内的动点，满足到轴的距离等于点到点的距离，求点的轨迹上的点到轴的距离的最小值．
设，则，化简得：，
则，解得：，
即点的轨迹上的点到的距离的最小值是.
故选：.
本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.
8．C
【解析】
根据向量的数量积运算，由向量的关系，可得选项.
【详解】
，
，∴等价于，
故选：C.
本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.
9．A
【解析】
通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变.
【详解】
由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.
本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以没有改变，
根据方差公式可知方差不变.
故选：A
本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10．A
【解析】
先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围.
【详解】
由题意知sin，∴，
∴，随n的增大而增大，∴,
∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)= -10，
∴正整数的最小值为3.
本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.
11．B
【解析】
由，可得，所以数列是公比为的等比数列，
所以，则，
则，故选B.
点睛：本题考查了等比数列的概念，等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用，试题有一定的技巧，属于中档试题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，等比数列的性质和在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
12．C
【解析】
不妨设在第一象限，故，根据得到，解得答案.
【详解】
不妨设在第一象限，故，，即，
即，解得，（舍去）.
故选：.
本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数的等式，即可求得实数的值.
【详解】
，且，则，解得.
故答案为：.
本题考查利用向量垂直求参数，涉及垂直向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.
14．
【解析】
记只雌蛙分别为，只雄蛙分别为，从中任选只牛蛙进行抽样试验，其基本事件为，共15个，选出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件为，共9个，故选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是．
15．
【解析】
试题分析：因为正三棱柱的底面边长为，侧棱长为为中点，所以底面的面积为，到平面的距离为就是底面正三角形的高，所以三棱锥的体积为．
考点：几何体的体积的计算．
16．①
【解析】
由三角形的正弦定理和边角关系可判断①；由零点存在定理和二次函数的图象可判断②；
由，结合奇函数的定义，可判断③；由函数图象对称的特点可判断④．
【详解】
解：①在中，，故①正确；
②函数在区间上存在零点，比如在存在零点，
但是，故②错误；
③对于函数，若，满足，
但可能为奇函数，故③错误；
④函数与的图象，可令，即，
即有和的图象关于直线对称，即对称，故④错误．
故答案为：①．
本题主要考查函数的零点存在定理和对称性、奇偶性的判断，考查判断能力和推理能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）曲线的直角坐标方程为；直线的直角坐标方程为（2）
【解析】
（1）由公式可化极坐标方程为直角坐标方程，消参法可化参数方程为普通方程；
（2）联立两曲线方程，解方程组得两交点坐标，从而得两点间距离．
【详解】
解：（1）
曲线的直角坐标方程为
直线的直角坐标方程为
（2）据解，得或
本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化，属于基础题．
18．（1）；（2）不能，理由见解析
【解析】
（1）设，则，由此即可求出椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程可求得，则直线斜率为，设其方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得关于对称，可求得，假设存在直线满足题意，设，可得，由此可得答案．
【详解】
解：（1）设，则，
，
所以椭圆方程为；
（2）设直线的方程为，
与联立得，
∴，
因为两直线的倾斜角互补，所以直线斜率为，
设直线的方程为，
联立整理得，
，
所以关于对称，
由正弦定理得，
因为,所以，
由上得，
假设存在直线满足题意，
设，按某种排列成等比数列，设公比为，则，
所以，则此时直线与平行或重合，与题意不符，
所以不存在满足题意的直线．
本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力与推理能力，属于难题．
19．（1） （2）
【解析】
（1）由已知条件列出关于和的方程，并计算出和的值，jike 得到椭圆的方程.
（2）设出点和点坐标，运用点坐标计算出，分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，求解出的最小值.
【详解】
（1）由己知得：，解得，
所以，椭圆的方程
（2）设，．
当直线垂直于轴时，，且
此时，，
当直线不垂直于轴时，设直线
由，得．
，
.
要使恒成立，只需，即最小值为
本题考查了求解椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，求解过程中需要分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，并运用根与系数的关系转化为只含一个变量的表达式进行求解，需要掌握解题方法，并且有一定的计算量.
20．（Ⅰ）填表见解析，有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关； （Ⅱ）分布列见解析，
【解析】
（Ⅰ）根据茎叶图填写列联表，计算得到答案.
（Ⅱ），计算，，，得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】
（Ⅰ）根据茎叶图可得：
，
故有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果””有关.
（Ⅱ）从茎叶图可知，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生人数分别是4人和2人，从中任意选2人，基本事件总数为，
，，，
.
本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的综合应用能力.
21．（1）见解析（2）
【解析】
分析：(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面BDEF；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值；也可以应用常规法，作出线面角，放在三角形当中来求解.
详解：（Ⅰ）在△ABD中，∠ABD＝30°，由AO2＝AB2+BD2－2AB·BDcs30°，
解得BD＝，所以AB2+BD2=AB2，根据勾股定理得∠ADB＝90°∴AD⊥BD.
又因为DE⊥平面ABCD，AD平面ABCD，∴AD⊥DE.
又因为BDDE＝D，所以AD⊥平面BDEF，又AD平面ABCD，
∴平面ADE⊥平面BDEF，
（Ⅱ）方法一：
如图，由已知可得，，则
，则三角形BCD为锐角为30°的等腰三角形.
则.
过点C做，交DB、AB于点G，H，则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG，则
，DE⊥平面ABCD，则平面.
过G做于点I，则BF平面，即角为
二面角CBFD的平面角，则60°.
则，，则.
在直角梯形BDEF中，G为BD中点，，，，
设 ，则，，则.
，则，即CF与平面ABCD所成角的正弦值为．
（Ⅱ）方法二：
可知DA、DB、DE两两垂直，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
设DE＝h，则D(0，0，0)，B(0，，0)，C(－，－，h).
，.
设平面BCF的法向量为m＝(x，y，z)，
则所以取x=，所以m＝(，-1，－)，
取平面BDEF的法向量为n＝(1，0，0)，
由，解得，则，
又,则，设CF与平面ABCD所成角为，
则sin=.
故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为
点睛：该题考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，线面角的正弦值，在求解的过程中，需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化，在求线面角的有关量的时候，有两种方法，可以应用常规法，也可以应用向量法.
22． (1)；(2).
【解析】
（1）通过讨论的范围，分为，，三种情形，分别求出不等式的解集即可；
（2）通过分离参数思想问题转化为，根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到的范围.
【详解】
(1)当时，原不等式等价于，解得，所以，
当时，原不等式等价于，解得，所以此时不等式无解，
当时，原不等式等价于，解得，所以
综上所述，不等式解集为.
(2)由，得，
当时，恒成立，所以；
当时，.
因为
当且仅当即或时，等号成立，
所以；
综上的取值范围是.
本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题.
男
女
总计
合格
不合格
总计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
男
女
总计
合格
10
16
26
不合格
10
4
14
总计
20
20
40
0
1
2