易错05 二次函数及其应用（易错专练，8大易错剖析+避错秘籍+易错闯关）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测+答案

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易错点1 一次函数、二次函数、反比例函数图象共存问题
错因剖析
【例1】（2026·江苏·模拟）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：由一次函数的图象可知，，
则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项；
∵，，
∴，
∴抛物线的对称轴直线，
即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意；
故选：D．
避错秘籍
【防错指南】
1、先定系数符号，再逐个验证
同一字母在不同函数中符号必须完全一致，以此为突破口排除错误选项。
2、抓关键特征，拒绝 “凭感觉”
一次函数：看升降（k）、看截距（b）
反比例函数：看在一、三或二、四象限（k）
二次函数：看开口（a）、对称轴（−b2a）、与 y 轴交点（c）
3、用排除法快速解题
先找最明显错误的图象，逐一排除，剩余即为正确答案。
【知识链接】
1、一次函数 y=kx+b(k≠0)
k>0，从左到右上升；k0 交 y 轴正半轴；b0，在一、三象限；k0 开口向上，a0 对应抛物线与 x 轴有两个交点（方程两个不相等实根）；Δ=0 对应抛物线与 x 轴有一个交点（方程两个相等实根）；Δ0、销量为非负整数、涨价幅度不超过原价等），避免后续求解出现不符合实际的答案。
【知识链接】
1、利润最值问题：给出进价、售价、销量的关系，求最大利润，核心是列出“总利润=（售价-进价）×销量”的二次函数，结合自变量取值范围求最值。
2、面积最值问题：结合几何图形（矩形、三角形、抛物线形），给出周长、边长等条件，求最大面积，核心是用一个变量表示另一个变量，列出面积的二次函数。
3、实际应用综合题：结合行程、高度、造价等场景，构建二次函数模型，同时考查最值求解、方案设计（如“获得不低于某一利润的方案有几种”）。
变式迁移
【变式6-1】（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
【答案】(1)
(2)10元或30元
【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数解析式的求解，解决本题的关键是正确求解出一次函数与二次函数的解析式．
（1）先设出一次函数解析式，再根据待定系数法代值求解即可；
（2）先表示出日销售额的函数表达式，再令求解x的值即可．
【详解】（1）解：∵日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，
∴设函数表达式为，
∵当时，；当时，；
∴，解得，
∴，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）解：由（1）知，，
∴日销售额，
∵玩具日销售额为300元，
∴令，即，
整理可得，
解得，，
∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元．
【变式6-2】（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案：
(1)求方案一中与墙垂直的边的长度；
(2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？
【答案】(1)15米；
(2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键．
（1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解．
（2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值．
【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为，
根据题意得，
解得
答：与墙垂直的边的长度为15米；
（2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为，
根据题意得
∴
∵，
∴当时，有最大值363，
答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大．
【变式6-3】（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，一质地均匀的小球从斜坡点处抛出，它抛出的路线可以用抛物线 为常数)的一部分进行刻画，斜坡可用直线(为常数)的一部分进行刻画． 如题图（）所示建立直角坐标系，已知小球能达到的最高点的坐标为，小球在斜坡上的落点的横坐标为．
(1)求出抛物线与直线的函数解析式并写出自变量的取值范围．
(2)当小球落到点时由于受到重力因素的影响会加速下滑，当小球滑到点时速度最大．设小球落到点的速度为，小球滑落到点时的速度为，与满足 (为小球从点滑落到点所需时间)，已知小球从点滑落到点需要秒，请分别求出与的值(提示：平均速度)
(3)如图（）所示，点是抛物线上(小球从起点到落点的运动轨迹)的动点，连接． 是否存在点，使得? 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为，直线的函数解析式为；
(2)；
(3)存在，点的坐标为；
【分析】（）先根据抛物线顶点设出顶点式，代入原点求出抛物线解析式并确定其自变量取值范围；再将落点的横坐标代入抛物线解析式得到点坐标，最后将点坐标代入过原点的直线方程，求出直线解析式并确定其自变量取值范围；
（）先由点的坐标求出到的距离，再结合已知时间算出平均速度，最后利用平均速度公式和速度关系式，逐步求出初速度与末速度；
（）先假设存在满足的点，利用勾股定理列出方程；再设，代入坐标表示出和，通过换元法化简方程，求解后舍去不符合取值范围的解，最后将有效解代入抛物线解析式，得到点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线解析式：
∵小球能达到的最高点的坐标为，
∴设抛物线顶点式，
由图可知抛物线过原点，代入得，
∴，
令，则，
解得：，
∴自变量的取值范围：；
即：抛物线解析式为，
直线解析式：
∵小球在斜坡上的落点的横坐标为，
设点代入抛物线，
得：，
∴，
把点代入斜坡直线，得，
∴，
∴直线解析式为，
∴自变量的取值范围：，
即：直线的函数解析式为；
（2）解：由（）得，
∴到的距离，
∵小球从点滑落到点需要秒，
∴平均速度，
∵与满足，
即，
∴，
即：，
∴，
∴；
（3）解：存在点，使得，
则满足：，
设点的坐标为，（）
∵，
∴，
，
，
∵，
∴，
整理，得，
令，则方程变为：，
去括号，合并同类项，得，
将代回，得，
整理，得，
，对应点，舍去；
，即：对应点，舍去；
，解得，
结合，，
∴代入抛物线解析式，得
，
∴点的坐标为．
易错点7 新定义与二次函数结合理解不到位
错因剖析
【例7】（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点．
(1)二次函数的图像如图所示．
①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____；
②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由．
(2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式．
【答案】(1)①②猜想，理由见解析
(2)或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，新定义，是解题的关键：
（1）①令，得到，进而得到，根据新定义，进行讨论即可得出结果；
②点在直线上，得到，由①可知，再根据与的图像有2个交点，得到，即可得出结果；
（2）把代入函数表达式，得到，令，得到，分3种情况求解即可．
【详解】（1）解：①当时，，
∴，
∴，
∴当时，，
此时在线段的延长线上或线段的延长线上，存在点使，满足题意；
当时，，
∴当点在线段上时，，满足题意；
当时，，
∴直线上不存在点使，不满足题意；
综上：使该函数图像有生长点的的值是；
②猜想，理由如下：
∵点在直线上，
∴，
由（1）知：当时，此时，
∴当时，，此时直线上不存在点使，
∴；
又∵过点作轴的垂线与的图像交于点，
而的最小值为，
∴；
∴；
（2）∵二次函数（h、k为常数）的图像经过点，
∴；
∵是该函数图像的生长点，
∴，
当时，则：，
∴，
∴，
∴，
①当点在线段上时，则：，
∴，
解得，
把代入，得：或，
当时，，满足题意；
当时，，此时点不在线段上，不符合题意，舍去；
∴；
②当点在点的左侧时，则：，
∴，
∴，
∴，
把，代入，得：，
此时，符合题意；
∴；
③当点在点的右侧时，则：，
∴，
∴，
把，代入，得：，
∴
此时，点不在点的右侧，不符合题意，舍去；
综上：或．
避错秘籍
【防错指南】掌握“三步解读法”，精准拆解新定义，明确其核心内涵，避免与二次函数原有概念混淆：
第一步：圈关键词，抓核心（通读新定义，圈出定义中的关键条件、运算规则、特殊要求，明确“新定义描述的是什么、需要满足什么条件、要计算/判断什么”）；
第二步：找关联，辨区别（对比新定义与二次函数的原有概念，明确两者的联系与区别，如“新定义的特征点”是否与顶点、交点重合，避免混淆）；
第三步：举实例，验理解（结合简单的二次函数解析式，代入新定义规则，验证自己的解读是否正确，避免因解读偏差导致解题错误）。
【知识链接】二次函数的解析式与性质：一般式、顶点式的转化，开口方向、对称轴、顶点坐标、判别式的应用，是解读新定义、完成求解的基础；
二次函数与点的坐标：新定义常涉及抛物线的特殊点（如特征点、对称点），需熟练掌握点的坐标与函数值的对应关系，能根据坐标求函数值、根据函数值求坐标；
二次函数的最值与范围：新定义中的“最值”“距离值”等，常需要结合二次函数的最值求解，需熟练掌握限定范围最值的求解方法。
变式迁移
【变式7-1】（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域．
(1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________；
①；②；③．
(2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围；
(3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围．
【答案】(1)①
(2)
(3)或
【分析】（1）根据“1阶近轴点”的定义，结合函数的性质逐个分析判断即可得出结论；
（2）设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，根据题意列出不等式组，进而得出关于的不等式组有解，列出关于的不等式，即可求解；
（3）设“2阶完美点”的坐标为，由题意得，得出“2阶完美点”在函数上，分析可知函数与函数只有一个交点，设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，根据函数与轴的交点个数分情况讨论，再结合二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：经过点，点是“1阶近轴点”，故①符合题意；
设存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为，
由题意得，，
∴不等式组无解，
∴图像上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意；
∵，
∴函数的最小值为2，
∴函数图像上的点到轴的距离大于等于2，
∴函数不存在“1阶近轴点”，故③不符合题意；
∴函数图像上存在“1阶近轴点”的是①；
故答案为：①；
（2）解：设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，
由题意得，，
解得：，
∵一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，
∴关于的不等式组有解，
∴或或，
解得：或或，即，
∴实数的取值范围为；
（3）解：设“2阶完美点”的坐标为，
由题意得，，
∴“2阶完美点”在函数上，
∵二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，
∴函数与函数只有一个交点，
令，整理得，
设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，
当时，，
若函数与轴有2个交点，则当时，有，
∴，
解得：；
若函数与轴只有1个交点，则，
整理得：，
解得：或，
当时，则与轴的交点的横坐标为，
∵，
∴符合题意；
当，则与轴的交点的横坐标为，不符合题意，舍去；
综上所述，实数的取值范围为或．
【点睛】本题考查了新定义，涉及一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质，理解“阶近轴点”和“阶完美点”的定义是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的理解应用和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生．
【变式7-2】（2026·江苏扬州·一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“集团平衡点”．例如，点是函数的图象的“集团平衡点”．
(1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“集团平衡点”的所有函数是__________（填序号）
(2)设函数与的图象的“集团平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值；
(3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有1个“集团平衡点”时，求的坐标．
【答案】(1)③④
(2)的值为或或或0
(3)
【分析】（1）在中，令得，方程无解，可知的图象上不存在“平衡点”；同理可得的图象上不存在“平衡点”， 和的图象上存在“平衡点”；
（2）在中，令得，在中，令得，当时，，可得，，，分三种情况列方程可得答案；
（3）设，求出抛物线的顶点为，而点关于的对称点为，可得旋转后的抛物线解析式为，令得，根据旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，知有两个相等实数根，故，，从而得的坐标为．
【详解】（1）解：根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数，
在中，令得，方程无解，
的图象上不存在“平衡点”；
在中，令得，方程无解，
的图象上不存在“平衡点”；
在中，令得，
可得，
，
则方程有解，
的图象上存在“平衡点”；
在中，令得，
可得
，
则方程有解，
的图象上存在“平衡点”；
故存在“集团平衡点”的函数是③④；
（2）解：在中，令得，
解得或，
，
；
在中，令得，
解得，
，
当时，，
，，，
若，则，
解得；
若，则，
解得或；
若，则，
解得或（此时，重合，舍去）；
的值为或或或0；
（3）解：设，
，
抛物线的顶点为，
点关于的对称点为，
旋转后的抛物线解析式为，
在中，令得：
，
，
旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，
有两个相等实数根，
，即，
，
的坐标为．
【变式7-3】阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”，小明是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请思考小明的方法解决下面问题：
(1)写出函数的“旋转函数”；
(2)若函数与互为“旋转函数”，求的值；
(3)已知函数的图象与轴交于A，B两点，与轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是，，，试证明：经过点，，的二次函数与互为“旋转函数”．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】本题考查了二次函数，新定义型；涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键．
（1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的a、b、c的值，从而得出函数解析式；
（2）根据定义得出m和n的二元一次方程组，从而得出答案；
（3）首先求出三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得
故解析式为：．
（2）解：∵函数与互为“旋转函数”，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：当时，，
∴，
当时，，
解得：，
，
点A、B、C关于原点的对称点分别是，
∴，
设过点的二次函数解析式为，
将代入，得：，
解得：，
过点的二次函数解析式为．
，，，
∵，
，，，
∵，
∴两个函数互为“旋转函数”．
易错点8 二次函数与几何综合考虑不全
错因剖析
【例8】（2026·江苏苏州·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接．
(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标．
(2)若将该二次函数图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求m的取值范围．
(3)点P是直线上的动点，过点P作直线的垂线，记点M关于直线的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可；
（2）先求出直线的解析式为．过点M作直线轴，分别交于点E，交于点F，利用解析式分别求得E，F的坐标，利用抛物线平移的性质，列出不等式即可求得结论；
（3）利用分类讨论的方法分两种情况，结合平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，点，
∴，
解得：，
∴该二次函数的解析式为，
∵，
∴顶点；
（2）解：设直线的解析式为，
∴．
解得：，
∴直线的解析式为．
过点M作直线轴，分别交于点E，交于点F，如图，
当时，，
∴．
∵将该二次函数图象向下平移个单位，
∴平移后的点M的坐标为，
∵平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），
∴，
∴；
（3）解：当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，点P的坐标为或，理由：
①当四边形为平行四边形时，．
连接，过点M作轴于点H，设与交于点F，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点M关于直线的对称点为Q，
∴．
过点P作轴于点G，
设，则，
∵，
，
∴．
∴，
∴．
∴；
②当四边形为平行四边形时，．
连接，过点M作轴于点H，设与交于点F，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点M关于直线的对称点为Q，
∴，
过点P作轴于点G，
设，则，
∵，
，
∴，
∴，
∴．
∴．
综上，当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
避错秘籍
【防错指南】二次函数与几何综合题的核心是“基础过关+综合应用”，需同时夯实两类知识，提升转化能力：
1、强化二次函数基础：熟练掌握解析式转化（一般式→顶点式）、顶点坐标、对称轴、判别式、自变量取值范围等核心知识点，能快速根据解析式判断图象特征；
2、巩固几何核心知识：牢记三角形（直角、等腰、相似）、四边形（平行四边形、矩形、菱形）、圆的判定定理和性质，熟练掌握坐标法求长度、面积、角度的方法；
3、提升转化能力：熟练掌握“坐标→长度”（勾股定理）、“坐标→面积”（割补法、底乘高）、“几何条件→函数表达式”（如由“垂直”得到斜率关系、由“相等”得到等式）的转化方法，打通数形结合的通道。
【知识链接】
二次函数与三角形综合：求抛物线上是否存在点，使构成的三角形为直角三角形、等腰三角形、相似三角形，或求三角形的面积、周长最值；
二次函数与四边形综合：求抛物线上是否存在点，使构成的四边形为平行四边形、矩形、菱形、正方形，或结合四边形的性质求点的坐标、边长；
二次函数与圆综合：求抛物线与圆的交点个数、圆的半径，或结合圆的切线、圆周角性质，求二次函数的系数取值范围；
综合压轴题：二次函数、几何图形与动点问题结合，考查分类讨论、数形结合思维，需全面考虑动点的不同位置，避免漏解。
变式迁移
【变式8-1】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．
(1)点的坐标是 ，点的坐标是 ．
(2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点．
①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长．
【答案】(1)；
(2)①存在，点的坐标为或；②
【分析】（1）解方程可求得、的坐标，令，可求得点的坐标，即可得解；
（2）①设点的坐标为，其中，可得，，，分两种情况画出图形，并根据菱形的性质求解即可；
②设点的坐标为，其中，由直线可设直线的解析式为，由点的坐标可得，则，根据的函数表达式可得，求出，根据可求得，求出点，点的坐标，即可得的长．
【详解】（1）解：当时，，解得：，，
∵点在点的左侧
∴，，
当时，，即．
故答案为：，．
（2）解：①存在，理由如下：
∵，，
∴直线的函数表达式为，
设点的坐标为，其中，
∵，，
∴，，，
∵，
∴当时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当时，四边形为菱形，
∴，
∴，解得：，（舍去），
∴点的坐标为，
∵点向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点，
∴点的坐标为；
如图，当时，四边形为菱形，
∴，
∴，解得：，（舍去），
∴点的坐标为，
∵点向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点，
∴点的坐标为；
综上，存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或；
②设点的坐标为，其中，
②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长．
∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，，
∴直线的函数表达式为；
∵直线，
∴设直线的解析式为，
∵点的坐标，
∴，
∴
∴，
∵抛物线的对称轴与直线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），
∴点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质、坐标与图形、勾股定理、二次函数与面积的综合等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
【变式8-2】（2026·江苏苏州·模拟预测）抛物线交轴于点，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，已知．
(1)如图1，求抛物线解析式；
(2)如图2，点是第一象限抛物线上一点，设点横坐标为，面积为，试用表示S；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，将射线绕点逆时针旋转得到的射线与的延长线交于点，与轴交于点，连接与轴交于点，连接，过点作轴的垂线与过点作的垂线交于点，连接，与交于点，且，求点点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）二次函数与轴有交点，根据根与系数的关系，即可求解；
（2）由（1）可知点的坐标，可求出直线的解析式，过点作轴，交于，交轴于，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）如图所示，作轴，，在轴上取一点，使得，可得等腰直角三角形，四边形是正方形，，，可求出直线，直线的解析式，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，且，
设，，
∴，
∴两边平方得，①，
∵，，
∴②，
∴①②得，，即
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图所示，过点作轴，交于，交轴于，
∵点是第一象限抛物线上一点，设点横坐标为，
∴，
令抛物线中，则，
解得：或，
∴，，且，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点横坐标为，点在直线上，
∴，
∴，
∵，且，
∴．
（3）解：如图所示，作轴，，在轴上取一点，使得，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴等腰直角三角形，
∵轴，轴，且，
∴四边形是正方形，即，
∴，
∴，
∴，
∴，且，
∴，且四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或（舍），
∴，
∴，且是等腰直角三角形，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，则：
，
解得：
∴直线的解析式为：，
∵直线，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图形的性质，三角形的面积计算方法，待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式8-3】（2026·江苏苏州·模拟预测）抛物线过点，顶点为，与轴交于、两点（在点左侧），且．
(1)求抛物线的解析式和顶点的坐标；
(2)若点在抛物线上且，求点的坐标；
(3)若点在抛物线上，且，请直接写出满足条件的点坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点的坐标为；
(2)点的坐标或；
(3)点的坐标．
【分析】1）先求得，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求得点的坐标为，在线段上取点，使，此时，求得，则，分点在轴上方和下方时，两种情况讨论，分别求得直线的解析式，联立解一元二次方程即可求解；
（3）作交的延长线于点，过点作轴，分别过点和作的垂线，垂足分别为和，证明，求得点的坐标为，求得直线的解析式，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴点的坐标为，
在线段上取点，使，此时，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
则，
∴，
∵，
∴，
当点在轴上方时，设交轴于点，
∴，
解得，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
整理得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标；
当点在轴下方时，设交轴于点，
∴，解得，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
整理得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标；
综上，点的坐标或；
（3）解：如图，作交的延长线于点，过点作轴，分别过点和作的垂线，垂足分别为和，
∴是等腰直角三角形，且，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴点的横坐标为，点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
整理得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标．
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，解直角三角形，一次函数，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质，合理添加辅助线是解题的关键．

（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，的值随值的增大而减小
C．点的坐标为
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握“抛物线的对称性、开口方向与的关系、函数值的变化规律”是解题的关键．
【详解】A．二次函数图像开口向上，故，A错误；
B．对称轴为，图像开口向上，当​时，随增大而增大，B错误；
C．抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，设，则，解得，故，C正确；
D．对应时的函数值，由图像可知在对称轴左侧，此时，故，D错误．
故选：C．
（2025·江苏盐城·二模）二次函数的图象如图所示，则点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据当时函数值大于，即，根据图象与轴没有交点，可知，即可判断出所在的象限．
【详解】解： 解：根据图象与轴没有交点，
∴，
∵当时函数值大于，即
∴点在第二象限
故选：B．
（2025·江苏南京·二模）函数的图像如图所示．类似的，函数的图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出，根据二次函数得出与y轴的交点在y轴负半轴，然后当时，，求出与x轴的交点即可判断，熟练掌握二次函数图象的性质是解题关键．
【详解】解：，
当时，，
∴与y轴的交点在y轴负半轴，
当时，，
令，则，
解得：或，
∴当时，与x轴正半轴有两个交点，
只有选项D符合题意，
故选：D
（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可．
【详解】解：是等边三角形，
∴，
∵
，
即，
，
∴，
过点A作于G点，则，
∴
∴，
∴，
∴，
过点D作于点H，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
'
，
∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为，
∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意，
故选：B
（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可．
【详解】解：抛物线)的对称轴为直线，
当三点在抛物线 上，
，
关于对称轴对称，
将代入得，
解得，
当时，得，，
点E在抛物线上，
故抛物线同时经过三点；
当三点在抛物线上
把代入得，
解得，
当时，，
在抛物线上，
故抛物线同时过 三点；
当三点在抛物线上，
把代入得，
解得，
把点代入，
在抛物线上，
抛物线同时过三点；
综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是．
的值不可能为Ｃ．
故选：C ．
（2026·江苏无锡·一模）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有( )
A．①③④B．②④C．②③D．②③④
【答案】D
【分析】首先由抛物线开口向上得到，然后由对称轴得到，然后由抛物线与轴交于负半轴得到，即可判断①；②由对称轴为直线，根据在抛物线上，得出，根据，即可得出，根据是直角三角形时，，，结合②的结论得出，进而可得是钝角三角形，即可判断③，根据分别将和，解方程得出方程的解，进而判断④
【详解】解抛物线开口向上，
，
对称轴为直线
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故①不正确；
对称轴为直线，
在抛物线上，
，
，
，
，
，故②正确；
如图，设直线与轴交于点，
依题意，，
当是直角三角形时，，
∴
∵对称轴为直线，
∴点的纵坐标为：
∵
∴
即
∴是钝角三角形，故③正确；
∵
∴时，，
∴方程为，
解得：
当时，
∴方程为，
解得：或
∴若方程的两根为、，则，．故④正确
（2026·江苏无锡·一模）已知是的函数，是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为．若存在常数，使得，则称此函数为“k-利普希兹条件函数”．下列四个结论：其中正确的是（ ）
①函数是“3-利普希兹条件函数”；
②函数是“5-利普希兹条件函数”；
③若函数是“2026-利普希兹条件函数”，则的最大值为2026；
④已知函数，当时，此函数是“k-利普希兹条件函数”恒成立，则的最小值为11．
A．①②③B．①③C．②④D．①③④
【答案】D
【分析】 对于每个函数，需要计算，并与进行比较，看是否满足．
【详解】解： 设是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为
判断结论① ：已知函数，
∴， ，
∴．
∵，满足，此时，
∴函数是“3-利普希兹条件函数”，结论①正确；
判断结论②： 对于函数，
∴，，
∴，
当时，，，而，不满足，
∴函数不是“5-利普希兹条件函数”，结论②错误；
判断结论③： 已知函数是“2026-利普希兹条件函数”，
∴，
∴．
∵函数是“2026-利普希兹条件函数”，
∴，即 ．
由于，
∴，两边同时除以可得，则m的最大值为2026，结论③正确；
判断结论④： 已知函数，当时，
∴，，
∴，整理，得，
∵，
∴，
∴，即，
∴，满足，则k的最小值为11，结论④正确．
综上，正确的是①③④，答案选D．
（2025·江苏徐州·模拟预测）将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为__________．
【答案】
【分析】本题主要考查了函数图象的平移，根据图象的平移规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式即可．
【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的解析式为．
故答案为：．
（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围．
【详解】解：，
∴函数图象的对称轴为直线，开口向上，
∵，
∴当时，；时，，当时，，
∴的取值范围是：，
故答案为：．
（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是______．
【答案】
【分析】本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
∴当时，有最大值为；
故答案为：．
（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是______．
【答案】/
【分析】本题考查了根据二次函数与一次函数的交点确定不等式的解集，由图象并结合交点坐标即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，
∴由图象可得：关于x的不等式的解集是，
故答案为：．
（2025·江苏·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是___________（填出所有正确结论的序号）．
【答案】①
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式得关系，方程与函数的关系等知识，采用数形结合的思想是解此题的关键．通过分析函数的图象特征，对各个结论进行分析即可．
【详解】解：由图象可知，图象关于直线对称，故①正确，符合题意；
由“元宝型函数”函数的图象可知，当且时，图象位于x轴上方，
关于的不等式的解是且；故②正错误，不符合题意；
当时，，
由图象可得：当时，关于的方程有四个实数解；故③错误，不符合题意；
由图象可知，函数的值随值的变化情况取决于函数在时的增减性，并不一定是当时，值随值的增大而减小．故④错误，不符合题意．
综上所述，正确的是①．
故答案为：①．
（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为．
(1)______；
(2)求点C的坐标；
(3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
(3)或
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，正确的求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键．
（1）求出时，函数的函数值，得到点坐标，即可得出结果；
（2）根据点落在x轴正半轴上，得到点向下平移了个单位，进而得到点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，进而求出的纵坐标，代入函数解析式，求出点坐标即可；
（3）待定系数法求出二次函数的解析式，设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：，把点坐标代入，求出解析式，进而根据二次函数的图像和性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，
∴，
∴；
故答案为：3；
（2）解：∵，点的对应点落在x轴正半轴上，
∴点向下平移个单位，
∴点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，
∵点的纵坐标为，
∴点的纵坐标为；
∵点在线段上，即点在直线上，
∴当时，，
∴；
（3）解：∵，，二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．
∴，把代入，得：，
∴，
∴，
∵平移后点的对应点落在x轴正半轴上，
∴设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，
∴新的抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：或（舍去）；
∴，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点关于对称轴的对称点为，
∵对于满足的任意实数，总成立，
∴或，
∴或．
（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数．
(1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围；
(2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值；
(3)求证：该二次函数的图像不经过原点．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查二次函数图像与轴的交点问题，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）由二次函数的图像与直线有两个交点，知函数的最小值小于，列式计算即可；
（2）根据图像与x轴有交点，，列式计算即可；
（3）根据当时，，即可证明．
【详解】（1）解：因为二次函数中，，
所以二次函数的图像开口向上，
因为二次函数的图像与直线有两个交点，
所以函数的最小值小于，
则，
即，
解得．
（2）解：因为二次函数的图像与轴有交点，
所以，
所以，
又因为，
所以，
解得．
（3）证明：当时，，
所以二次函数的图像不经过原点．
（2025·江苏苏州·模拟预测）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习．
【数学建模】
一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图．
【解决问题】
已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面．过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由．
【拓展应用】
该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题：
（3）如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值．
（4）在（3）的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数．
【答案】（1）；（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由见解析；（3）的最大值为：20.5m；（4）旋转角的度数为或或
【分析】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，旋转的性质．
（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知得出当时，正好是厢式货车宽度，求出即可；
（3）首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出；
（4）根据题意，画出符合条件的三角形，根据旋转的性质分三种情况求解即可．
【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点，
代入顶点式得：，
∴，
解得：，
∴；
（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由如下：
当宽、高的厢式货车从隧道驶过时，
∴，
∴代入解析式得：；
∴，
∴厢式货车能顺利通过隧道；
（3）假设，可得，
∴；
∵矩形的周长为l，
∴，
∴当时，l的最大值为：；
（4）在（3）的条件下，当矩形周长最大时，，，，
∴，，
过点P作于点M，
∵，
∴，，
∴，，
如图，分以下三种情况：
当时，根据旋转的性质得，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴；
当时，；
当时，；
综上所述，旋转角的度数为或或．
（2025·江苏无锡·二模）已知平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是线段上一点，若，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作，垂足为点F，若 ，求平移后抛物线的表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，结合得出，，再利用待定系数法求解即可；
（2）过点作于点，过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点，则为等腰直角三角形，得出，设点的坐标为，证明，得出，，即且，求出，，即可得出，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，求解即可；
（3）求出，设抛物线向左平移了个单位，则点，新抛物线的解析式为，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，由（2）可得，，求出直线的解析式为，设点的坐标为，证明，得出，解直角三角形可得，从而可得，
求出，，，，代入式子计算得出，即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且，
∴，，
将代入抛物线解析式可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点作于点，过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点，
，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设点的坐标为，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
即且，
解得：，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，即，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴；
（3）解：∵，抛物线的顶点为D，
∴，
设抛物线向左平移了个单位，则点，新抛物线的解析式为，
如图，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，
，
由（2）可得，，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
解得：，
∴新抛物线的解析式为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式、解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．概念混淆：混淆图象经过的象限与系数符号的逻辑，同一字母系数在不同函数中符号必须一致，常出现前后矛盾的判断。
认知偏差：只看单一函数图象特征，缺乏整体联动意识，不先统一k、a 等系数符号再逐一验证。
基础薄弱：
1、不会由图象快速反推系数符号，如一次函数 y=kx+b 升降趋势与 k、截距与 b 的关系不熟练。
2、二次函数对称轴公式、开口方向、顶点位置等基础知识记忆混乱。
3、不会排除法、代入法等基本解题策略，面对多函数综合图象无从下手。
概念混淆：
1、混淆平移方向与符号变化的对应关系，把 “左加右减、上加下减” 记反或用错。
2、混淆对 x 平移和对整体平移，只对常数项加减，不对括号内的 x 进行变形，导致平移式写错。
3、混淆一般式平移与顶点式平移的差异，直接在 y=ax2+bx+c 中乱加减，不先化成顶点式。
认知偏差：
1、误以为平移是改变开口大小与方向，实际平移只改变位置，a 始终不变。
2、凭直觉判断左右平移，认为 “向右就是加”，忽略是对自变量 x 本身进行操作。
3、把 “平移后的解析式” 和 “平移前的顶点坐标” 混为一谈，只算顶点不写函数式。
基础薄弱：
1、不会熟练将一般式化为顶点式，无法准确找到顶点进行平移。
2、对 “左加右减” 的适用对象不清晰，不知道只针对单独的 x，而非含系数的 ax。
3、顶点坐标公式记忆模糊，(−b2a,4ac−b24a) 容易写错符号。
概念混淆：将系数a、b、c的作用混淆，无法准确对应图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点等特征。
认知偏差：对系数之间的关联、特殊点的意义理解不透彻，忽略隐含条件，导致判断失误。对系数之间的相互影响、特殊图象特征对应的系数条件理解片面，缺乏“全面分析、结合公式”的思维习惯，容易陷入单一条件判断的误区。
基础薄弱：对二次函数的核心公式记忆不扎实，缺乏计算熟练度，基础知识点掌握不牢固，无法将公式与图象特征灵活结合应用。
概念混淆：将二次函数在全体实数范围内的最值（顶点最值），直接等同于给定自变量范围内的最值，忽略自变量范围的限制。
认知偏差：无法准确判断二次函数的顶点横坐标是否在给定的自变量范围内，或对“范围与顶点的位置关系”对应的最值情况判断错误，存在思维漏洞。
基础薄弱：记混二次函数顶点坐标公式，代入端点值、顶点值计算时出错，或解题步骤不完整，导致最值判断错误。
概念混淆：无法将方程、不等式的代数意义与函数图象的几何意义对应起来，认为两者是孤立的知识体系。
认知偏差：在求解一元二次不等式时，对 “开口方向” 与 “不等式符号” 之间的对应关系判断错误，导致解集范围颠倒。
基础薄弱：对函数的图象性质（开口方向、对称轴、与坐标轴交点、判别式）掌握不牢固，导致无法通过图象直观地分析方程、不等式，解题方法单一，灵活性不足。
概念混淆：对二次函数的实际应用场景理解模糊，未掌握“可构建二次函数的实际问题核心特征”，缺乏“实际问题→数量关系→函数模型”的转化意识，将不同函数模型的适用场景混淆。
认知偏差：缺乏“审题→提炼数量关系→设元→列解析式”的规范建模思路，对实际问题中的核心等量关系、隐含条件挖掘不全面，无法将文字描述转化为数学语言，建模逻辑混乱。
基础薄弱：二次函数的配方、顶点公式应用不熟练，计算能力薄弱，同时缺乏“建模→求解→检验”的完整解题意识，忽略建模后的检验环节，导致模型正确但最终答案错误。
每件的售价x/元
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日销售量y/件
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15
12
9
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方案一
方案二
如图1，围成一个面积为的矩形花圃．
如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）．
概念混淆：对新定义的关键词、核心规则解读不细致，缺乏“拆解新定义”的意识，将新定义简单等同于二次函数的原有概念，无法建立“新定义规则→二次函数性质”的对应关系。
认知偏差：阅读理解能力和知识迁移能力不足，缺乏“文字描述→数学语言→二次函数性质”的转化思维，对新定义的应用场景和迁移方向判断失误，无法将陌生的新定义转化为熟悉的二次函数问题。
基础薄弱：二次函数的核心知识（顶点公式、判别式、开口方向、对称轴）掌握不扎实，计算能力和应用能力不足，无法为新定义的解读和应用提供支撑，导致“能读懂定义，却解不出题目”。
概念混淆：对二次函数与几何图形的关联逻辑理解不透彻，混淆“函数图象上的点”与“几何图形顶点”的区别，未明确几何图形的存在条件（如三角形三边关系、圆的半径限制），缺乏“数形结合、双向关联”的思维。
认知偏差：认知片面，缺乏分类讨论的意识和能力，对几何图形的多种位置关系、构成情况考虑不全面，陷入“单一情况”的思维误区，无法全面覆盖所有可能的情形。
基础薄弱：二次函数与几何图形的核心知识掌握不扎实，两者的综合应用能力不足，缺乏“函数坐标→几何性质”“几何条件→函数表达式”的双向转化能力，无法支撑全面的分类讨论和求解。