【期末冲刺】第25&26章 一次函数与反比例函数综合 优等生讲义 (4大考点精讲+巩固练习)2026年沪教版数学八年级下册

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课程目标 · 精准把握学习方向
理解 一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y=kx 的图象特征及参数意义。
掌握 同一坐标系中两函数图象“共存”的判断方法，能根据图象比较函数值大小，解不等式。
熟练运用 待定系数法求函数解析式，利用交点坐标解决几何面积、线段长度等问题。
能够建模 分段函数（加热冷却、利润变化、沙尘暴等），并分析临界时间和数值范围。
体会数形结合 思想、分类讨论及解析法在综合题中的核心地位。
✨ 核心：图象共存条件 · 交点与不等式 · 面积模型 · 实际应用分段函数。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 一次函数基础
一般式： y=kx+b（k≠0）。k 决定方向（k>0 上升，k0 时两支在一、三象限，k0）或增大（k”连接）；
(3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？
课后巩固 · 针对性练习
课固1（图象共存判断） — 利用一次函数与反比例函数中参数 k,b 符号一致性，结合象限分布选出正确选项。
课固2（根据图象写不等式解集） — 直接观察两函数图象交点，写出反比例函数小于一次函数时自变量取值。
课固3（利用对称性求交点） — 正比例函数与反比例函数交点关于原点对称，由已知交点坐标直接得另一交点坐标。
课固4（待定系数法求解析式） — 已知交点横坐标代入一次函数求纵坐标，再代入反比例函数确定表达式。
课固5（结合图象解不等式） — 已知 A,B 两点坐标，直接由图象得一次函数 ≤ 反比例函数时 x 的取值范围。
课固6（面积求点坐标） — 已知函数解析式及三角形面积，利用 x 轴上点坐标表示面积建立方程，注意多解情况。
课固7（沙尘暴实际应用） — 分段函数模型：加速、匀速、反比例下降。求最高风速及持续时间，求“安全时刻”时长（风速 ≤10 km/h）。需分段计算。
课固8（几何动态函数关系） — 直角三角形中构造垂直，面积与线段函数关系，描绘图象并比较自变量范围。综合相似或三角函数导出解析式。
课固9（综合存在性问题） — 一次函数与反比例函数交于两点，在第三象限反比例图象上找点使得面积倍数关系。利用坐标设参数，解方程并验证。
❤ 复习建议 课后巩固侧重数形结合与模型应用，务必独立完成识图、求解析式、不等式解集的规范书写，并熟练掌握面积问题的“铅垂高法”与坐标运算法则。
1．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx+k与反比例函数y=kxk≠0的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，反比例函数y1=kx（k≠0）的图像和一次函数y2=ax+b（a≠0）的图像相交于A−1,2，B2,−1两点，则当y10的图象交于点A1,6，B3,n两点，与x轴交于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若点M在x轴上，且△AMC的面积为6，求点M的坐标．
(3)结合图形，直接写出kx+b−mx>0时x的取值范围．
7．（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系．
(1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时．
(2)当4≤x≤10时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式．
(3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？
8．（24-25九年级下·重庆·开学考试）如图1，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8．点D为线段AB上一点（点D与端点A、B不重合），AD=x，过点D作DE⊥BC于点E，点F在射线AC上，连接DF．△DAF的面积始终为3，线段DE的长为y1，线段AF的长为y2．
(1)请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出y1≤y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
9．（2026·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+ba≠0的图象与反比例函数y=kxk≠0的图象交于A,C两点，与x轴、y轴分别交于点B,D，已知点A的坐标为−2,4，点C的坐标为8,m．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点P是直线AB下方反比例函数y=kx图象上一点，当△PAB的面积为24时，求点P的坐标．
10．（25-26九年级上·湖南岳阳·月考）已知A−4,2、Bn,−4两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=mx图象的两个交点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式kx+b−mx>0的解集；
(3)已知点P在x轴上，且△OPB的面积是△AOB面积的2倍，求点P的坐标．
类别
核心内容
常用方法/公式
一次函数
y=kx+b (k≠0)
k 决定升降，b 决定 y 截距；与 x 轴交点 −bk,0
反比例函数
y=kx (k≠0)
双曲线，k 几何意义 → 围成矩形面积；对称性
图象共存
符号一致性、象限分布
假设 k 正负推理排除法
交点 & 不等式
联立方程求交点，图象法比大小
解集：y1>y2 对应“上”方图象部分
三角形面积
函数与坐标轴、交点围成图形
S=12×水平宽×铅垂高 或坐标公式
实际应用
分段函数，一次+反比结合
建模时注意自变量范围与临界值
RΩ
…
1
2
3
q
6
…
IA
…
4
p
2.4
2
1.5
…