黑龙江鸡西市2025—2026学年第二学期第二次模拟测试数学试题（含解析）中考模拟

这是一份黑龙江鸡西市2025—2026学年第二学期第二次模拟测试数学试题（含解析）中考模拟，共28页。试卷主要包含了考试时间120分钟，全卷共三道大题，总分120分等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．考试时间120分钟．
2．全卷共三道大题，总分120分．
一、选择题（每题3分，满分30分）
1. 下列运算中，计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】选项A：根据完全平方公式，，计算错误，不符合题意．
选项B：同底数幂相乘，底数不变、指数相加，，计算错误，不符合题意．
选项C：积的乘方运算，，计算正确，符合题意．
选项D：同底数幂相除，底数不变、指数相减，，计算错误，不符合题意．
2. 的前景充满无限可能，将在各个领域发挥重要作用．下面用画的几幅中式纹样，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形既不是轴对称又不是中心对称图形，不符合题意．
3. 由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的主视图和俯视图如下图，则所需的小正方体的个数最多是（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，根据主视图和俯视图得出这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层最多小正方体的个数，由主视图可得第二层小正方体的最多个数，相加即可．
【详解】解：由俯视图易得最底层最多有6个小正方体，第二层最多有4个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最多为个．
故选：C
4. 一组数据2，3，x，6，3的平均数与中位数相同，则x的值是（ ）
A. 1B. 2C. 6D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了中位数和平均数，熟练掌握中位数定义，是解题的关键．数据中有两个3，无论x为何值，排序后中位数恒为3，因此只需令平均数等于3，解方程即可．
【详解】解：∵数据中有两个3，
∴无论x为何值，排序后中位数恒为3，
∵平均数与中位数相同，
∴平均数为3，
∴，
解得：.
故选：A．
5. 某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的元降到了元．设平均每次降价的百分率为，则下列方程中正确的是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意，掌握两次连续降价的含义，列出正确的方程是解答本题的关键．
根据题意，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出方程，由此得到答案．
【详解】解：根据题意设：
设平均每次降价的百分率为，
则根据题意可列方程为：，
故选：．
6. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式方程的解及其解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，理解分式有意义的条件是正确解答的前提．
先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，由分式方程的解为正数以及分式有意义的条件确定m的取值范围．
【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得，，
解得，
由于分式方程的解为正数，
所以，即，
又∵，，
解得：，
∴
∴
∴m的取值范围为且，
故选：D．
7. 天河区某中学组织师生共人参加社会实践活动，有A，B两种型号客车可供租用，两种客车载客量分别为人、人，要求每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公园的租车方案有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】C
【解析】
【详解】解：设租用A车x辆，B车y辆，则由题意可知40x+50y=500，
整理得：4x+5y=50，
当x=0时，y=10，符合题意；
当x=1时，y=，不符合题意；
……
当x=5时，y=6，符合题意；
……
当x=10时，y=2，符合题意．
因此符合题意得可能情况有3种．
故选：C
本题考查二元一次方程的应用，根据题意找出数量关系，列出等式是解题关键．
8. 如图，矩形的顶点在轴上，在轴上，双曲线与交于点，与交于点，轴于点，轴于点，交于点．若矩形和矩形的面积分别是和，则的值为（ ）
A. B. +1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，用表示点的坐标和线段长，从而利用面积建立方程即可求解．解题关键是利用参数表示线段长．
【详解】解：设，则，
∵矩形的面积为1，轴于点，
∴，
∴点的纵坐标为，
当时，=，解得，
∴，
∵矩形的面积为，
∴，
整理得，
解得：
∵，
∴．
9. 如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的性质得出，求出，，求出，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，根据相似三角形的判定得出，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可．
【详解】解析：四边形是矩形，，，
，，，
点E、F分别为、的中点，
，，
，
，
，
．
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
解得：，
故选：A．
本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
10. 如图，在正方形中，，对角线与交于点O，于点G，E为平面内一动点，且，F为中点，连接，．有下列说法：①；②取中点P，连接，则；③当四边形为正方形时，；④在点E运动过程中，的最小值为．其中正确的序号有（ ）
A. ①②B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意知，则为的中位线，结合题意得，则①正确； 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，即有，即可判定②正确；根据题意得，连接，过点F作交于点H，则点E、点G和点O三点共线，且，进一步得，即可求得，则③错误；连接，可得，利用勾股定理求得，结合三角形三边关系有，即可求得的最小值，判定④正确．
【详解】解：∵四边形为正方形，对角线与交于点O，
∴，
∵，
∴，
∵F为中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，则①正确；
如图，
∵点P为中点，，
∴，
∴，
∴，则②正确；
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
连接，过点F作交于点H，如图，
∵四边形为正方形，
∴点E、点G和点O三点共线，，
∴，
∴，
∵F为中点，
∴，
∴，则③错误；
连接，如图，
∵点P为中点，，
∴，
则，
那么，，
∴的最小值为，则④正确；
故选：B．
本题主要考查正方形的性质、三角形中位线的性质、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形三边关系以及勾股定理，解题的关键是熟悉正方形的性质和直角三角形的性质．
二、填空题（每题3分，满分30分）
11. 数字1400000用科学记数法可表示为___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．对于绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，解题关键是正确确定a和n的值．
【详解】解：．
12. 函数中自变量x的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查的是求解函数的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据分式与二次根式有意义的条件可得且，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
13. 如图，在四边形中，，，对角线于点，若添加一个条件后，可使得四边形是正方形，则添加的条件可以是______（不再增加其他线条和字母）
【答案】或
【解析】
【分析】解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形．
根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．
【详解】解：∵在四边形中，，，
∴是平行四边形，
又∵，
∴是菱形，
∴要使四边形是正方形，则还需增加一个条件是：或．
故答案为：或．
14. 为了领略古都魅力，感受中华文明的历史沉淀，鹏鹏和小海准备五一节在西安，洛阳，开封和杭州四个古都城市中各自随机选择一个进行游玩（假设两人选择每个城市的机会均等），则二人恰好选择同一城市的概率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】画树状图，得到所有等可能的结果，得出满足“二人恰好选择同一城市”的结果数，代入概率公式求解即可．
【详解】解：设A西安、B洛阳、C开封、D杭州，
画树状图如下，
共有种等可能的结果，其中，二人恰好选择同一城市的结果为种，
二人恰好选择同一城市的概率为．
15. 关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了根据一元一次不等式组的整数解个数求参数，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的步骤以及解的情况．
先解不等式组，得到x的取值范围，再根据整数解的个数列出关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：解不等式，得；
解不等式，得．
所以不等式组的解集为．
因为有且只有4个整数解，所以整数解为，
因此，
解得．
故答案为：．
16. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为______°．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质．连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案．
【详解】解：连接，则，
又∵是的直径，
∴，
∴，
又∵是的内接四边形，
∴，
故答案为：．
17. 圆锥的侧面积为，母线长为7，则这个圆锥的底面半径为___________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了求圆锥的底面圆半径，圆锥的侧面积底面圆的周长母线长，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：，
∴这个圆锥的底面半径为4，
故答案为：4．
18. 如图在矩形中，，P为矩形内一点，且，E为上一动点，则的最小值为________．

【答案】
【解析】
【分析】根据P为矩形内一点，且，为定值，得出点P在一个圆上运动，设点P在上，过点O作于点F，，交的延长线于点G，连接，，延长，取，连接，，交于点，交于点，说明垂直平分，得出，说明，根据两点之间线段最短，得出当、、P三点共线时，最小，即最小，说明当点E在点，点P在点处时，最小，求出其最小值即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，，
∵P为矩形内一点，且，为定值，
∴点P在一个圆上运动，
如图，设点P在上，过点O作于点F，，交的延长线于点G，连接，，延长，取，连接，，交于点，交于点，

∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当、、P三点共线时，最小，即最小，
∴当点E在点，点P在点处时，最小，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的最小值为．
19. 在矩形中，P为上一个动点，将沿折叠得到，点A的对应点为点E，射线交矩形的边于点F，若．，当F为矩形边的中点时，的长为_________．
【答案】4或
【解析】
【分析】分①当F为中点时或②当F为中点时，两种情况讨论，①根据线段中点性质、折叠的性质，解得，再由勾股定理计算的长，设，在中，由勾股定理结合一元一次方程，解得；②连接，由中点性质和勾股定理解得，再根据翻折的性质得到，设，在与中，由勾股定理分别计算的平方，联立两个方程即可解题．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
①当F为中点时，，
由翻折性质得：，，
在中，由勾股定理得：，
，
设，
则，
∴在中，由勾股定理得，
，
解得：，
故；
②当F为中点时，如图所示，连接，
为中点，
，
又∵四边形是矩形，
，
∴在中，由勾股定理得：，
又由翻折性质得，
，
设，
则，
在中，，
，
在中，，
，
解得：，
故，
∴综上，的长为4或．
20. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，都在轴上，点，，都在直线上，并且，，，分别与轴垂直，，，分别与直线垂直，若，则的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了与一次函数有关的规律探索，等腰直角三角形的性质与判定，根据题意可求出，则可证明是等腰直角三角形，得到，进而可证明是等腰直角三角形，，则可推出，据此求出的长，证明是等腰直角三角形，得到，据此根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：在中，当时，，
∵，轴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵与直线垂直，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理可得，
，
……，
以此类推可知，，
∴，
同理可得是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共60分）
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式化简求值，特殊角的三角函数值．先根据分式混合运算法则，对原式进行化简，再求出a的值，最后将a的值代入化简后的式子进行计算即可．
【详解】解：
当时，
原式．
22. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将沿x轴向左平移7个单位，画出平移后得到的．
（2）将绕着点A顺时针旋转，画出旋转后得到的．
（3）在（2）的条件下，求线段扫过的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了图形平移、旋转的定义及性质．
（1）按照平移定义，作图即可；
（2）按照旋转定义，作图即可；
（3）由题可知，线段扫过的面积为圆心角为的扇形面积，先算出线段的长，再计算扇形面积即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
【小问3详解】
解：由题意，在平面直角坐标系中，
∴线段扫过的面积．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）请在y轴上找一点M，使的周长最小，请直接写出点M的坐标；
【答案】（1）
（2）点M的坐标为
【解析】
【分析】（1）由已知条件，运用待定系数法，求得a，c的值，从而求得抛物线的表达式；
（2）先求出点D坐标，点M为y轴上一点，连接，，作点D关于y轴的对称点，连接，，则有，则，由此可得，当点M为与y轴的交点时，有最小值．运用待定系数法，求出直线的解析式，从而求得该直线与y轴交点，即可得到点M的坐标．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴将，代入抛物线，
可得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
解：如图1，作轴于点E，连接．
∵，
∴抛物线顶点，
∵，，轴于点E，
∴，，，
在中，
，
∴的周长为：．
如图2，点M为y轴上一点，连接，，作点D关于y轴的对称点，连接，，则有，
∴，
∴当点M为与y轴的交点时，有最小值，最小值为的长．
∵，点D与点关于y轴对称，
∴，
∵，
设直线的解析式为：，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：，
令，则，
∴当的周长最小时，M的坐标为．
24. 某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查(每名学生必须选择且只能选择一类)，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
请你根据图中信息，回答下列问题：
(1)求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；
(3)九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？
【答案】（1）共调查了50名学生；统计图见解析；（2）72°；（3）.
【解析】
【分析】（1）用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数,先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条形统计图；
（2）用360°乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：(1)14÷28%＝50，
∴本次共调查了50名学生．
补全条形统计图如下．
(2)在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝72°.
(3)设一班2名学生为数字“1”，“1”，二班2名学生为数字“2”，“2”，画树状图如下．
共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，
∴抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率P＝＝.
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
25. 某校无人机社团进行无人机表演训练，甲无人机以米/秒的速度从地面起飞匀速上升，同时乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞下降，8秒时甲、乙无人机分别到达各自训练计划指定的高度开始表演，24秒时乙无人机完成表演动作，以米/秒的速度继续飞行上升，30秒时与甲无人机汇合，此时距离地面的高度为米，甲、乙两架无人机以相同的速度下降返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞行的时间（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题．
（1）__________，__________．
（2）求线段所对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）当两架无人机距离地面的高度差为7米时，直接写出的值．
【答案】（1），
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】本题主要考查求一次函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
（1）根据图形计算即可求解；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）分时，时，两种情况讨论，列式计算即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得乙无人机从第24秒开始，以米/秒的速度继续飞行上升，30秒时距离地面的高度为米，
则（米），
则甲无人机的速度（米/秒），
故答案为：3，24；
【小问2详解】
解：设线段所对应的函数解析式为，
将代入得：，
解得：，
则线段所对应的函数解析式为；
【小问3详解】
解：由（1）得，，
当时，
则或，
解得：或；
当时，
则，
解得：，
综上，的值为或或．
26. 如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，于点B，点M是的中点，连接并延长交于点H．
（1）如图①所示，若，求证： ；
（2）如图②所示，若，如图③所示，若（点M与点D重合），猜想线段与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
【答案】（1）见解析 （2）图②猜想结论：；图③猜想结论：
【解析】
【分析】（1）连接，根据三角形的三条高线交于一点可得，从而得到，进而得到，再证明，可得，再由线段垂直平分线的性质可得，从而得到，在中，根据直角三角形的性质，即可；
（2），方法同（1）可得，再根据等腰三角形的性质可得；若，方法同（1）可得，再根据直角三角形的性质，即可；
【小问1详解】
证明：连接，如图①所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：图②猜想结论：；理由如下：
同（1）可证：，
∵在中，，
∴，
∴；
图③猜想结论：；理由如下：
同（1）可证：，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用类比思想解答是解题的关键．
27. 兴凯湖景区某商店准备购进甲、乙两种兴凯湖沙画摆件．其中甲、乙两种沙画摆件的进价和售价如下表：
（1）若用3000元购进甲种沙画摆件的数量与用2400元购进乙种沙画摆件的数量相同，求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种沙画摆件共200个的总利润（利润=售价-进价）不少于8950元，且甲种沙画摆件的数量不超过100个，问该商店共有几种进货方案?
（3）在（2）的条件下，商店准备对甲种沙画摆件进行每个优惠a（）元的优惠促销活动，乙种沙画摆件价格不变．请直接写出该商店要获得最大利润的进货方案?
【答案】（1）
（2）一共有6种方案 （3）购进甲种沙画摆件95个，购进乙种沙画摆件105个
【解析】
【分析】（1）根据，结合已知条件，列出关于m的方程，解方程并检验，即可求得m的值；
（2）设购进甲种沙画摆件x个，则购进乙种沙画摆件个，先根据（1）的结果，求出甲种沙画摆件和乙种沙画摆件的进价，再根据题意列出关于总利润的不等式，解不等式，得出x的取值范围，再考虑到实际问题，得出x为整数，即可求出该商店一共有6种进货方案；
（3）设总利润为w，购进甲种沙画摆件x个，则购进乙种沙画摆件个，先列出w的表达式，并进行化简，得到，根据，得出，即w随x的增大而减少，结合（2）问答案，求得该商店要获得最大利润的进货方案．
【小问1详解】
解：由题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：m的值为100．
【小问2详解】
解：设购进甲种沙画摆件x个，则购进乙种沙画摆件个，
由（1）的结果可知，甲种沙画摆件的进价为100元/个，
乙种沙画摆件的进价为（元/个），
由题意可得，，
化简得，
解得，，
∵，
∴，
∵x为整数，
∴或96或97或98或99或100，
即该商店一共有6种进货方案；
答：该商店一共有6种进货方案．
【小问3详解】
解：设总利润为w，购进甲种沙画摆件x个，则购进乙种沙画摆件个，
则
∴，
∵，
∴，
∴w随x的增大而减少，
∵，x为整数，
∴当时，w有最大值，
此时（个）
即购进甲种沙画摆件95个，购进乙种沙画摆件105个时，该商店获得最大利润．
答：该商店要获得最大利润的进货方案为：购进甲种沙画摆件95个，购进乙种沙画摆件105个．
28. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴重合，点A在y轴的正半轴上，O是的中点，（）的长是关于x的一元二次方程的两个根．
（1）求点D的坐标；
（2）动点P从点B出发以每秒个单位长度的速度沿折线向终点D运动，动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点B运动，两点同时出发，一点到达终点时，另一点停止运动．设运动时间为t秒，求的面积S与t的函数关系式；
（3）若点M在平面直角坐标系内，在直线上是否存在点F，使以A，C，F，M为顶点的四边形为菱形?若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点D的坐标为
（2）
（3）存在，点F的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）因为是方程的两根且，所以先解一元二次方程求出的长度．因为O是中点，平行四边形对边相等，所以可得到的长度，再结合坐标系中各点的位置关系，确定点D的坐标．
（2）因为动点P的运动路径是折线，所以需要分两种情况讨论：P在上运动、P在上运动．如果P在上，先利用勾股定理求出的长度，再根据速度求出的长度，结合Q的运动得到的长度，利用三角形面积公式建立S与t的函数关系式．如果P在上，此时的高为的长度，的长度根据Q的运动情况确定，再用面积公式建立函数关系式．
（3）因为要使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形，所以分三种情况讨论：为菱形的边、为菱形的对角线．若为边，根据菱形四边相等，结合直线的解析式，求出点F的坐标．若为对角线，根据菱形对角线互相垂直平分，求出点的坐标．
【小问1详解】
解：∵，
因式分解得，
解得．
由，
得．
∵是原点、中点，在轴正半轴，
∴，，，
∴．
∵中且，
∴的横坐标为，纵坐标与相同为，
即．
【小问2详解】
解：分两种情况讨论：①当时，在上，过点P作轴于点R，
则，
∴，
∴，
∵，，
∴​；
∵走了单位，
∴，
∴；
②当时，在上，，，
∴
综上， ​．
【小问3详解】
解：存在．
∵，，
∴设直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴，
设点的坐标为
当为边时，若，
∵，
∴，
∵．
∴ ．
∴，
解得，或，
∴或；
若，
∵，
∴ ，
∴ ，
解得（舍去）或，
∴；
当是对角线时，，
∴，
∴，
解得，
∴．
综上，点F的坐标为或或或．种类
甲
乙
进价（元/个）
m
售价（元/个）
150
120