2025--2026学年上海市宝山区2026年高考二模数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年上海市宝山区2026年高考二模数学试题 [含答案]，共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.两个变量x与y之间的回归方程( )
A. 表示x与y之间的函数关系
B. 表示x与y之间的不确定关系
C. 反映x与y之间的真实关系
D. 是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合
2.在△ABC中，A，B均为锐角，设甲：sinA2⋅3n−2
D. 对任意12，若满足条件的集合S至少有100个，则正整数n的最小值是 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，E是PA的中点．
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若直线BE与平面PAC所成角的正弦值为 105，求三棱锥B−PCD的体积．
18.(本小题14分)
已知f(x)=lgax，g(x)=2lga(2x+t−2)，(a>0,a≠1,t∈R)．
(1)若f(1)=g(2)，求t的值；
(2)当x∈[1,4]时，f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范围．
19.(本小题14分)
为调查大学数学专业的学生对中华优秀传统文化的了解情况，现对某大学的数学专业学生进行抽样调查.已知被调查的男、女生人数均为20n(n为正整数)，得到以下2×2列联表：
(1)调查结果显示有97.5%的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，但没有99%的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，求n的值；
(2)当n=4时，采用分层抽样的方式在“了解中华优秀传统文化”的学生中抽取10人．
①从这10人中随机抽取3人进行第二次调查，在第二次调查中，已知至少有2名女生被抽到，求抽到男生的概率；②在“不了解中华优秀传统文化”的男生中再随机抽取m(m∈N)人，然后从这10+m人中随机抽取2人.用随机变量X表示抽到“了解中华优秀传统文化”的女生人数，若随机变量X的数学期望值不小于12，求m的最大值．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
20.(本小题18分)
将以坐标原点为顶点，以x轴为对称轴，并经过点P(1,1)的抛物线记为C.作两条直线分别与抛物线C相交于点A(x1,y1)、B(x2,y2)，设PA、PB的斜率分别为kPA、kPB，且满足kPA+kPB=0．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)证明：直线AB的斜率kAB=−12；
(3)若直线AB在y轴上的截距b∈[0,1]，求△ABP面积的最大值．
21.(本小题18分)
已知y=f(x)和y=g(x)均为定义在R上的可导函数，且函数y=f(x)满足：f1(x)=f(x)，fn+1(x)=fn′(x)(n是正整数)．
(1)若f(x)=eax+bcsx满足f3(x)=f1(x)，求实数a、b的值；
(2)设数列{an}是无穷数列，若f(x)=x−csx，且a1=a，an+1=f2(an)，是否存在实数a，使得{an}是常数列，请说明理由；
(3)若y=fn(x)(n≤2)是定义域上的增函数，函数y=g(x)是周期函数，且存在x0∈R对任意实数x，都有g(x0)≥g(x)>0，求证：“fn(x)=0(n≥3)恒成立”的充要条件是y=f2(x)⋅g(x)是周期函数”．
答案
1.【正确答案】D
2.【正确答案】C
3.【正确答案】D
4.【正确答案】D
5.【正确答案】{0,3,4}
6.【正确答案】−79
7.【正确答案】 2
8.【正确答案】12
9.【正确答案】8π
10.【正确答案】15
11.【正确答案】4
12.【正确答案】1
13.【正确答案】−48
14.【正确答案】arccs14
15.【正确答案】5+ 17
16.【正确答案】12
17.解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA，又底面ABCD为正方形，
所以BD⊥AC，又PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC；
(2)设AC∩BD=F，
由(1)可知BD⊥平面PAC，
所以直线BE与平面PAC所成角为∠BEF，
又BF=12BD= 22，
所以sin∠BEF=BFBE= 22BE= 105，
所以BE= 52，又AB=1，
所以AE= BE2−AB2=12，
所以PA=2AE=1，
所以三棱锥B−PCD的体积为VP−BCD=13×12×1×1×1=16．
18.解：(1)已知f(x)=lgax，g(x)=2lga(2x+t−2)(a>0,a≠1,t∈R)，
由f(1)=g(2)，代入得：lga1=2lga(2×2+t−2)．
因为lga1=0，所以2lga(t+2)=0，即lga(t+2)=0，得t+2=1，解得t=−1．
(2)由f(x)≥g(x)得lgax≥2lga(2x+t−2)，
当a>1时，lgax单调递增，不等式等价于x≥(2x+t−2)2，且真数2x+t−2>0，
即(2x+t−2)2≤x，且2x+t−2>0对x∈[1,4]恒成立．
由(2x+t−2)2≤x，得− x≤2x+t−2≤ x，
结合2x+t−2>0，得02−2x对x∈[1,4]恒成立，
令h(x)= x−2x+2，x∈[1,4]，
令 x=u，由x∈[1,4]，得u∈[1,2]，且x=u2，
于是h(x)=u−2u2+2=−2u2+u+2，
这是关于u的二次函数，开口向下，对称轴为u=−12×(−2)=14，
对称轴u=14在区间[1,2]的左侧，因此函数−2u2+u+2在u∈[1,2]上单调递减，
又u= x在[1,4]上单调递增，根据“同增异减”可得h(x)在x∈[1,4]上单调递减，
所以h(x)min=h(4)=2−8+2=−4，h(x)max=h(1)=1−2+2=1，
故t≤h(x)min=−4，又t>2−2x对一切x∈[1,4]恒成立，
则t需大于2−2x在[1,4]上最大值即t>0．
因为t≤−4与t>0不能同时成立．故a>1时无解，
当00对x∈[1,4]恒成立，
由(2x+t−2)2≥x得2x+t−2≤− x或2x+t−2≥ x．
结合2x+t−2>0，只需2x+t−2≥ x恒成立，
故t≥ x−2x+2对x∈[1,4]恒成立．
由上述分析知h(x)= x−2x+2在[1,4]上最大值为h(1)=1，所以t≥1，
又需2x+t−2>0对x∈[1,4]恒成立，即t>2−2x，右边最大值为0，所以t>0，结合t≥1，得t≥1．
综上所述，t的取值范围是[1,+∞)．
19.解：(1)被调查的男女生人数均为20n(n∈N∗)，
其中男生中不了解的有5n，则了解的有15n，
其中女生中了解的有10n，则不了解的有10n，
则可得2×2列联表如下所示：
因χ2=40n×(15n×10n−5n×10n)220n×20n×25n×15n=8n3，
由题意，可知5.0240，
从而y1+y2=−2，y1y2=−2b，
|AB|= 1+(1kAB)2|y1−y2|= 5× (y1+y2)2−4y1y2= 20+40b，
点P到直线AB的距离d=|1+2×1−2b| 12+22=|3−2b| 5，
S△ABP=12|AB|⋅d=12× 20+40b×|3−2b| 5=(3−2b) 1+2b，
令t= 1+2b，则t∈[1, 3]，S△ABP=(4−t2)t=4t−t3，
设h(t)=4t−t3，则h′(t)=4−3t2，令h′(t)=0，解得t=2 3=2 33(负值舍去)，
则当t∈[1,2 33]时，h′(t)>0，h(t)=4t−t3单调递增；
当t∈[2 33, 3]时，h′(t)0，
则h(x+T1)=h(x)，
所以f2(x+T1)⋅g(x+T1)=f2(x)⋅g(x)，
故取x=x0−T1，
则h(x+T1)=f2(x0)⋅g(x0)=f2(x0−T1)⋅g(x0−T1)，
由f2(x)≥f2(x−T1)，g(x0)≥g(x0−T1)，
得f2(x0)=f2(x0−T1)，g(x0)=g(x0−T1)，
故f2(x)=f2(x0)，x∈[x0−T1,x0]，
同理，取x=x0−2T1，h(x+T1)=h(x+2T1)，
所以f2(x0−2T1)=f2(x0−T1)，
故f2(x)=f2(x0)，x∈[x0−2T1,x0]，
归纳易得f2(x)=f2(x0)，x∈(−∞,x0]，
同理易得f2(x)=f2(x0)，x∈(x0,+∞)，
综上，f2(x)=f2(x0)，x∈R，
故f3(x)=f2′(x)=0，
故fn(x)=0(n≥3)恒成立，充分性成立；
综上，“fn(x)=0(n≥3)恒成立”的充要条件是“y=f2(x)⋅g(x)是周期函数”．男生
女生
合计
了解
10n
不了解
5n
合计
P(χ2≥k)
0.05
0.025
0.010
0.05
k
3.841
5.024
6.635
7.879
男生
女生
合计
了解
15n
10n
25n
不了解
5n
10n
15n
合计
20n
20n
40n