湖南汉寿县第一中学2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷（含答案解析）

这是一份湖南汉寿县第一中学2025-2026学年高三上学期期末考试数学试卷（含答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 从这四个数字中任意取出两个不同的数字，设取出的两数字之和为，则的概率为（ ）
2. 已知关于的方程有两个虚数根，在复平面上对应两虚根之间的距离为，则的值为（ ）
3. 第24届冬奥会于2022年在北京和张家口市联合举行，冬奥会志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障，在冬奥会志愿者的选拔工作中，某高校承担了志愿者选拔的面试工作，面试成绩满分100分，同学们面试得分的频率分布直方图如图所示，则此次面试中得分的90%分位数是（ ）
4. 角的终边上有一点，则（ ）
5. 、、、四名学生报名参加学校的甲、乙、丙、丁四个社团，若学生不参加甲社团，不参加乙社团，且四名学生每人报一个社团，每个社团也只有一人报名，则不同的报名方法数有
6. 已知中，，，，为所在平面内一点，，则的最小值为（ ）
7. 若定义在R上的偶函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
8. 已知数列满足，，若对于任意正整数，都有，则的取值范围为（ ）
二、多选题
9. 反函数是数学中的一个概念，具体来说，如果存在函数，其定义域为，值域为，那么对于值域中的任意一个值，在定义域中都有唯一的一个值与之对应，使得，这个函数就是函数的反函数，通常表示为.已知函数，则（ ）
10. 已知函数，将其图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
11. 已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且，点M关于x轴的对称点为N，分别过作C的切线，两条切线相交于点G，，过S作C的切线，切点为R（异于点M），且与线段交于点T，记的面积为，则（ ）
三、填空题
12. 设数列满足，且，则________.
13. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，过双曲线：的右顶点作射线与双曲线的两条渐近线分别交于第一象限的点和第二象限的点，且，的面积为，则__________．
14. 如图所示，有一块扇形铁皮，，，要剪下来一个扇形环，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）．则：的长为 ________，容器的容积为__________．
四、解答题
15. 已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
16. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．
(1)设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列、期望、方差；
(2)设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
17. 设椭圆（）的左右顶点为，上下顶点为，菱形的内切圆的半径为，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点满足，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在点处的切线的斜率为，证明：当时，.
19. 如图1，在边长为3的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足.将沿折起到的位置，使平面平面，连结，，.（如图2）
（Ⅰ）若为中点，求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求与平面所成角的正切.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．85
B．90
C．86
D．80
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．0
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．若，则
C．当时，函数与的图象最多有2个公共点
D．对于，若，则存在唯一的，使
A．在上单调递减
B．直线为图象的一条对称轴
C．若在上的最大值为，则的最大值为
D．图象的对称中心为，
A．
B．的面积为2
C．
D．的面积的最大值为8