安徽省顶级名校2025-2026学年高二下学期4月期中考查试卷 数学（含解析）

这是一份安徽省顶级名校2025-2026学年高二下学期4月期中考查试卷 数学（含解析），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．曲线在点处切线的斜率为（ ）
A．-3B．-1C．1D．3
2．的展开式的第2项是（ ）
A．B．C．D．1
3．函数的定义域为，其导函数的图像如图所示，则函数极值点的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．从装有6个红球，3个白球的袋子中，不放回地依次抽取2个小球，在第一次抽取到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．120B．15C．D．
6．如图，直线和圆，当从开始在平面上按顺时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为
A．B．
C．D．以上都不对
8．记，，则（ ）
A．B．C．0D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种
B．从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法
C．有三张相同的参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60
D．甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法
10．某人有10000元全部用于投资，现有甲、乙两种股票可供选择，已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元，则下列说法正确的有（ ）
表1：甲每股收益的分布列
表2：乙每股收益的分布列
A．甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望
B．相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥
C．此人投资甲、乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元
D．收益的方差之和最小时，此人是按照1:1的资金分配方式投资甲、乙两种股票的
11．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是的极小值点B．当时，
C．当时，D．当时，
三、填空题
12．若，则n的值是______．
13．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为3%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%．现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为________．
14．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围为_____．
四、解答题
15．（1）解方程：；
（2）求所有满足且的的值．
16．已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求在区间上的最小值．
17．江苏城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品．规则如下：抽奖3次，每次抽中纪念品的概率均为．若前2次未抽中纪念品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品．
(1)求某球迷恰好获得1个纪念品的概率；
(2)记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，求x的数学期望．
18．已知函数．
(1)当时，若，当且仅当时，求．
(2)若是的极大值点，求．
19．品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评级．
现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令
，
则是对两次排序的偏离程度的一种描述．
(Ⅰ)写出的可能值集合；
(Ⅱ)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，求的分布列；
(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，
(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；
(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．
收益元
-1
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
收益元
0
1
2
概率
0.3
0.3
0.4
参考答案
1．A
【详解】，当时，
2．B
【详解】展开式第二项为．
3．C
【详解】如图所示，设导函数的图象与轴的交点分别为，
根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反，
可得为函数的极大值点，为函数的极小值点，
所以函数极值点的个数为4个.
故选：C.
4．C
【详解】袋中原来有个小球，其中白球有个，
已知第一次抽到白球，则第一次抽取后：袋中还剩个小球，
白球还剩个，
所以在“第一次抽到白球”这个条件下，第二次抽到白球的概率为
5．C
【详解】在中，
需要从个因式中的个因式中选择，另个因式中选择常数，相乘即可得到含的项，
故含的项的系数为.
故选：C.
6．D
【详解】根据题意，可得面积随着的增大而增加，所以函数为单调递增函数，
且增长趋势先慢后快，过圆心后逐渐变慢，即函数图象的变化率先变大在变小，
结合选项，可得选项D复合题意.
故选：D.
7．A
【详解】由于珠子在每个岔口处有“向左”和“向右”两种情况，因为基本事件总数为，
而从出口3出来的每条路线中有2个“向右”和3个“向左”，即共有条路线，
故所求的概率为.
故选: A.
8．C
【详解】因为，
所以，
，
，
，
，
，
，
，，
观察可得，
所以，
所以，
故选：C.
9．ABD
【详解】对A，每封信投入邮筒的方法都有3种，因此由分步乘法原理知方法数为，A正确；
对B，可以任选4人，去除全是男的或全是女的选法，方法数为，B正确；
对C，参赛券没有区别，方法数应为，C错；
对D，先排丙、丁二人，然后甲乙二人插入，方法数为，D正确．
10．BC
【详解】设甲、乙两种股票每股收益分别为随机变量.
对于甲种股票，
又
所以
对于乙种股票，
又
所以
判断A：因为
所以甲每股收益的数学期望不大于乙每股收益的数学期望，故 A 错误.
判断B：因为
在平均收益相同的情况下，乙种股票收益波动更小，因此投资乙种股票更稳妥，故B正确,
判断C：设投资甲种股票元，则投资乙种股票元，
由于买入价都是每股 元，所以分别买入甲、乙两种股票的股数就是
于是甲、乙两部分收益分别为
它们的数学期望之和为
所以不论怎样分配资金，收益的数学期望之和都为元，故C正确.
判断D：由独立性知，总收益的方差为
设
则是开口向上的二次函数，其最小值在顶点处取得.
令
得
解得此时
所以最优分配比为
并不是故D错误.
11．BCD
【详解】对于A，由求导得，
由得或，由得，
即函数在和上单调递增，在上单调递减，即是的极大值点，故A错误；
对于B，当时，，由A项知函数在上单调递增，则，故B正确；
对于C，当时，，由A项知函数在上单调递减，
故，因，则，故C正确；
对于D，因，
则，
因，则，故，即此时，故D正确.
12．10
【详解】根据组合数的性质，且，
所以.
故答案为：10
13．0.032
【详解】设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”，
，
取到的零件是次品的概率为
14．
【详解】解：根据题意，若函数与的图象上存在关于轴对称的点，
则方程在区间上有解，
即方程在区间上有解，
设函数，其导数，
又由，可得：当时， 为减函数，
当时， 为增函数，
故函数有最小值，
又由；比较可得： ，
故函数有最大值，
故函数在区间上的值域为；
若方程在区间上有解，
必有，则有，
即的取值范围是；
故答案为：；
15．（1）；（2）．
【详解】（1）因，则，
即，
又且，则得．
（2）由得，
因为且，则得，即，解得；
由得，
化简得，即，解得或，
又因为，，所以且，
故．
16．（Ⅰ）单调递减区间是（）；单调递增区间是（Ⅱ）见解析
【详解】（Ⅰ）令，得．与的情况如下：
所以，的单调递减区间是（）；单调递增区间是
（Ⅱ）当，即时，函数在[0，1]上单调递增，
所以（x）在区间[0，1]上的最小值为当时，
由（Ⅰ）知上单调递减，在上单调递增，
所以在区间[0，1]上的最小值为；
当时，函数在[0，1]上单调递减，
所以在区间[0，1]上的最小值为
17．(1)
(2)
【详解】（1）设每次抽中纪念品为事件，未抽中为事件 ，且， .
记 为“恰好获得1个纪念品”，则有以下可能情况：
第1次中，第2次未中，第3次未中：；
第1次未中，第2次中，第3次未中：；
第1、2两次均未中，则第3次必得：；
所以.
（2）记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，则 的可能取值为1,2,3.
；
；
.
分布列
.
18．(1)
(2)
【详解】（1）解：由题意知的定义域为，
当时，，则，
令，则，
当时，，∴在单调递减，
当时，，∴在单调递增，
又，∵在取极小值也是最小值，
∴在恒成立，∴在上单调递增．
由题知，，当且仅当，
则对，有，
∵单调递增，∴是时的最小值，∴，
代入得，∴，
当时，，且在上单调递增，，
当，则
当，则，
因此，当且仅当成立，
综上，.
（2）由，
则，
令，
．
当，时，，单调递增，
∴，即．
∴在上单调递增，故不是的极大值点，不符合题意．
当时，令．
则，
显然单调递减，要使是的极大值点，则，即，
且在两侧左正右负.
注意到，即，
①令，，
∴当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∴单调递减，又，
∴当时，，即，
当时，，即，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴是的极大值点，符合题意；
②若，则，，
∴在上有唯一零点，设为零点为，
∴当时，，单调递增，
∴，即．
∴在上单调递增，不符合题意；
③若，则，，
∴在上有唯一零点，设零点为，
∴当时，，单调递减，
∴，∴单调递增，
∴，即，
∴在上单调递减，不符合题意．
综上，．
19．(Ⅰ)｛0，2，4，6，8｝ (Ⅱ)见解析(Ⅲ) (i)1/216(ii)见解析
【详解】解: ( 1 ) X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}
:在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个,
所以a2 , a4中的奇数个数等于a1 , a3中的偶数个数,
与的奇偶性相同，
所以必为偶数,
X的值非赖,且易知其值不大于8，
.:.X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}
( 2 )可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，
计算每种排列下的x的值，
在等可能的假定下，
得到
(3)①首先
将三轮测试都有X≤2的概率记做P ,有上述结果和独立性假设得
②由于是一个很小的概率,
这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，
:我们认为该品酒师确实有良好的鉴别功能,不是靠随机猜测.x
（）
（
—
0
+
↗
↗