2026届北京西城区北京市第八中学高考临考冲刺数学试卷含解析

这是一份2026届北京西城区北京市第八中学高考临考冲刺数学试卷含解析，共7页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，双曲线C等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．45B．42C．25D．36
3．设集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，3]B．[﹣1，3]C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}
4．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．双曲线的右焦点为，过点且与轴垂直的直线交两渐近线于两点，与双曲线的其中一个交点为，若，且，则该双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
6．已知正项等比数列的前项和为，且，则公比的值为（ ）
A．B．或C．D．
7．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙
8．已知直四棱柱的所有棱长相等，，则直线与平面所成角的正切值等于（ ）
A．B．C．D．
9．双曲线C：（，）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（ ）
A．3B．C．6D．
10．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：，，，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ）
A．B．C．D．
11．已知是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
12．若复数，则（ ）
A．B．C．D．20
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在二项式的展开式中，的系数为________.
14．已知数列的前项和为,,,,则满足的正整数的所有取值为__________．
15．若,则=______,=______.
16．已知，则=___________，_____________________________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知是抛物线：的焦点，点在上，到轴的距离比小1.
（1）求的方程；
（2）设直线与交于另一点，为的中点，点在轴上，.若，求直线的斜率.
18．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若点是直线的一点，过点作曲线的切线，切点为，求的最小值.
19．（12分）如图所示，已知平面，，为等边三角形，为边上的中点，且.
(Ⅰ)求证：面；
(Ⅱ)求证：平面平面；
(Ⅲ)求该几何体的体积．
20．（12分）已知矩阵，求矩阵的特征值及其相应的特征向量．
21．（12分） 已知函数，．
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在上的最小值；
（Ⅲ）若函数，当时，的最大值为，求证：.
22．（10分）已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
构造函数，利用导数求得的单调区间，由此判断出的大小关系.
【详解】
依题意，得，，.令，所以.所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以，且，即，所以.故选：D.
【点睛】
本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法，考查对数式比较大小，属于中档题.
2、D
【解析】
由等差数列的性质可知,进而代入等差数列的前项和的公式即可.
【详解】
由题,.
故选:D
【点睛】
本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前项和.
3、C
【解析】
先求集合A，再用列举法表示出集合B，再根据交集的定义求解即可．
【详解】
解：∵集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}＝{y|y＞﹣1}，
B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
∴A∩B＝{0，1，2，3}，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．
4、C
【解析】
由双曲线与双曲线有相同的渐近线，列出方程求出的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案．
【详解】
由双曲线与双曲线有相同的渐近线，
可得，解得，此时双曲线，
则曲线的离心率为，故选C．
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
5、D
【解析】
根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用，求出点，因为点在双曲线上，及，代入整理及得，又已知，即可求出离心率．
【详解】
由题意可知，代入得：，
代入双曲线方程整理得：，又因为，即可得到，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于，，的方程或不等式，由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题．
6、C
【解析】
由可得，故可求的值.
【详解】
因为，所以，
故，因为正项等比数列，故，所以，故选C.
【点睛】
一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：
（1）若，则；
（2）公比时，则有，其中为常数且；
（3） 为等比数列（ ）且公比为.
7、A
【解析】
利用逐一验证的方法进行求解.
【详解】
若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．
【点睛】
本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．
8、D
【解析】
以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系．求解平面的法向量，利用线面角的向量公式即得解.
【详解】
如图所示的直四棱柱，，取中点，
以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系．
设，则，
．
设平面的法向量为，
则取，
得．
设直线与平面所成角为，
则，
，
∴直线与平面所成角的正切值等于
故选：D
【点睛】
本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
9、A
【解析】
根据焦点到渐近线的距离，可得，然后根据，可得结果.
【详解】
由题可知：双曲线的渐近线方程为
取右焦点，一条渐近线
则点到的距离为，由
所以，则
又
所以
所以焦距为：
故选：A
【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程，以及之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为，属基础题.
10、B
【解析】
先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求.
【详解】
解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有，
其和等于16的结果，共2种等可能的结果，
故概率.
故选：B.
【点睛】
古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.
11、B
【解析】
根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果.
【详解】
.
故选B
【点睛】
本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.
12、B
【解析】
化简得到，再计算模长得到答案.
【详解】
，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、60
【解析】
直接利用二项式定理计算得到答案.
【详解】
二项式的展开式通项为：，
取，则的系数为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
14、20,21
【解析】
由题意知数列奇数项和偶数项分别为等差数列和等比数列,则根据为奇数和为偶数分别算出求和公式,代入数值检验即可.
【详解】
解: 由题意知数列的奇数项构成公差为的等差数列,
偶数项构成公比为的等比数列,
则;
.
当时, ,.
当时, ,.
由此可知,满足的正整数的所有取值为20,21.
故答案为: 20,21
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列通项与求和公式,是综合题,分清奇数项和偶数项是解题的关键.
15、1 0
【解析】
①根据换底公式计算即可得解；
②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解.
【详解】
①由题：,
则；
②由①可得：.
故答案为：①1，②0
【点睛】
此题考查对数的基本运算，涉及换底公式和同底对数加法运算，属于基础题目.
16、−196 −3
【解析】
由二项式定理及二项式展开式通项得：，令x=1，则1+a0+a1+…+a7=（1+1）×（1-2）7=-2，所以a0+a1+…+a7=-3，得解．
【详解】
由二项式(1−2x)7展开式的通项得，
则，
令x=1,则，
所以a0+a1+…+a7=−3，
故答案为：−196，−3.
【点睛】
本题考查二项式定理及其通项，属于中等题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】
（1）由抛物线定义可知，解得，故抛物线的方程为；
（2）设直线：，联立，利用韦达定理算出的中点，又，所以直线的方程为，
求出，利用求解即可.
【详解】
（1）设的准线为，过作于，则由抛物线定义，得，
因为到的距离比到轴的距离大1，所以，解得，
所以的方程为
（2）由题意，设直线方程为，
由消去，得，
设，，则，
所以，
又因为为的中点，点的坐标为，
直线的方程为，
令，得，点的坐标为，
所以，
解得，所以直线的斜率为.
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生的运算求解能力.涉及抛物线的弦的中点，斜率问题时，可采用韦达定理或“点差法”求解.
18、（1），；（2）见解析
【解析】
（1）消去t,得直线的普通方程，利用极坐标与普通方程互化公式得曲线的直角坐标方程；（2）判断与圆相离，连接，在中，，即可求解
【详解】
（1）将的参数方程（为参数）消去参数，得.
因为，，
所以曲线的直角坐标方程为.
（2）由（1）知曲线是以为圆心，3为半径的圆，设圆心为，
则圆心到直线的距离，
所以与圆相离，且.
连接，在中，，
所以，，即的最小值为.
【点睛】
本题考查参数方程化普通方程，极坐标与普通方程互化，直线与圆的位置关系，是中档题
19、（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）.
【解析】
（I）取的中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，证得，由此证得平面.（II）利用，证得平面，从而得到平面，由此证得平面平面.（III）作交于点，易得面，利用棱锥的体积公式，计算出棱锥的体积.
【详解】
(Ⅰ)取的中点，连接，则，，
故四边形为平行四边形.
故.
又面，平面，所以面.
(Ⅱ)为等边三角形，为中点，所以.又，
所以面.
又，故面，所以面平面.
(Ⅲ)几何体是四棱锥，作交于点，即面，
.
【点睛】
本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，考查空间想象能力，所以中档题.
20、矩阵属于特征值的一个特征向量为，矩阵属于特征值的一个特征向量为
【解析】
先由矩阵特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组，即可求得相应的特征向量.
【详解】
由题意，矩阵的特征多项式为，
令，解得，，
将代入二元一次方程组，解得，
所以矩阵属于特征值的一个特征向量为；
同理，矩阵属于特征值的一个特征向量为v
【点睛】
本题主要考查了矩阵的特征值与特征向量的计算，其中解答中熟记矩阵的特征值和特征向量的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
21、（Ⅰ）（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由题，
所以故，，代入点斜式可得曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）由题
（1）当时，在上单调递增. 则函数在上的最小值是
（2）当时，令，即，令，即
（i）当，即时，在上单调递增，
所以在上的最小值是
（ii）当，即时，由的单调性可得在上的最小值是
（iii）当，即时，在上单调递减，在上的最小值是
（Ⅲ）当时，
令，则是单调递减函数.
因为，，
所以在上存在，使得，即
讨论可得在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，取得最大值是
因为，所以由此可证
试题解析：（Ⅰ）因为函数，且，
所以，
所以
所以，
所以曲线在处的切线方程是，即
（Ⅱ）因为函数，所以
（1）当时，，所以在上单调递增.
所以函数在上的最小值是
（2）当时，令，即，所以
令，即，所以
（i）当，即时，在上单调递增，
所以在上的最小值是
（ii）当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最小值是
（iii）当，即时，在上单调递减，
所以在上的最小值是
综上所述，当时，在上的最小值是
当时，在上的最小值是
当时，在上的最小值是
（Ⅲ）因为函数，所以
所以当时，
令，所以是单调递减函数.
因为，，
所以在上存在，使得，即
所以当时，；当时，
即当时，；当时，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，取得最大值是
因为，所以
因为，所以
所以
22、（1）；（2）.
【解析】
（1）对范围分类整理得：，分类解不等式即可．
（2）利用已知转化为“当时，”恒成立，利用绝对值不等式的性质可得：，问题得解．
【详解】
当时，，
当时，由得，解得；
当时，无解；
当时，由得，解得，
所以的解集为
（2）的解集包含等价于在上恒成立，
当时，等价于恒成立，
而，∴，
故满足条件的的取值范围是
【点睛】
本题主要考查了含绝对值不等式的解法，还考查了转化能力及绝对值不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．