2025年四川省绵阳市中考数学真题（原卷版+解析版）

这是一份2025年四川省绵阳市中考数学真题（原卷版+解析版），共9页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考点、考场号，
2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写在答题卡的对应框内．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共36分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求．
1. 的相反数是（ ）
A. B. 7C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】
本题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数，互为相反数，据此求解即可。
解：的相反数是．
故选：B．
2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能和原来的图形完全重合，这个图形就是中心对称图形；如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，据此逐项进行判断即可。
解：A项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半重合，但不能绕某点旋转后与原图形重合，所以该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故A不符合题意；
B项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半重合，但不能绕某点旋转后与原图形重合，所以该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故B不符合题意；
C项：该图形能沿着某条直线翻折后与另一半重合，也能绕某点旋转后与原图形重合，所以该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故C符合题意；
D项：该图形不能沿着某条直线翻折后与另一半重合，也不能绕某点旋转后与原图形重合，所以该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故D不符合题意，
故选：C．
3. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】
本题考查科学记数法的表示方法．需将22150000表示为的形式，其中为整数，确定的值以及的值即可．
解：．
故选：D．
4. 若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】本题考查平方根有意义的条件．要判断二次根式是否有意义，需满足被开方数为非负数，据此对选项逐一分析即可。
解：选项A：，故一定有意义；
选项B：当时，，故不一定有意义；
选项C：当时，，故不一定有意义；
选项D：，故仅在时有意义，
故选：A．
5. 如图所示几何体，由5个完全相同的正方体组合而成，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】
本题考查几何体的三视图，根据主视图为正方向上看所得图形进行判断即可．
解：根据三视图的概念，主视图为正方向上看所得图形，
其中C选项符合该特征，
故选：C．
6. 设，则下列不等关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】本题考查不等式的基本性质，根据不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变，判断A,D；根据不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变判断B；根据不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变判断C。
解：由，
∴，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误，
故选：C．
7. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（ ）
A. 5天B. 10天C. 15天D. 20天
【答案】D
【解析】
【详解】本题考查一元一次方程的行程问题．
设快马追上慢马的天数为x天，，则追上时慢马走了天，根据等量关系列方程求解即可．
解：设快马追上慢马的天数为x天，则追上时慢马走了天，
由题意，得，
解得，
故快马追上慢马的天数为20天，
故选：D．
8. 如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】
本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移。过点B作，垂足为D，通过点A，C的坐标得出轴，进而可得轴，再利用等边三角形的性质求出点B的坐标，然后根据平移规律即可求解。
解：如图，过点B作，垂足为D，
∵，，
∴轴，
∴轴，
∵是等边三角形，，
∴，
又，
∴，，
∴，
，
∴，
∴在向左平移1个单位长度后，点B坐标为，
故选：A．
9. 观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】
本题考查了单项式，观察可得，从左到右第个单项式是，再带入数值即可求解。
解：观察可得，从左到右第个单项式是，
∴第15个单项式是，
故选：B．
10. 如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，然后通过三角形全等的判定定理证明，进而根据全等三角形的性质得到的长度，然后在、和中利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形BFG为直角三角形，进而求出．
解：∵正方形中，，
∴，．
∵，
∴．
∵是的中点，
∴．
∵，，，
∴（），
∴，．
在中，，，
∴．
在中，，，
∴．
在中，，，
∴．
∵，
∴是直角三角形，且．
∴．
故选：．
11. 随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（ ）
A. 0.1吨B. 0.15吨C. 6吨D. 9吨
【答案】D
【解析】
【详解】
本题主要考查了分式方程的实际应用，设普通机器人每小时装载货物吨，则智能机器人每小时装载货物吨，再根据“装载吨货物的时间差为分钟”建立分式方程，然后解分式方程即可求解．
解：设普通机器人每小时装载货物吨，则智能机器人每小时装载货物吨．
，
解得，
∴智能机器人每小时装载货物吨．
故选：D．
12. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，，将绕点顺时针旋转至，与，分别交于点E，F，当时，的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】
本题综合考查矩形的性质，旋转的性质，全等、相似三角形的判定与性质。先通过四边形是矩形，结合勾股定理求出的长，再取与的交点为M，通过旋转和矩形的对角线相等且互相平分，证明，再利用等边对等角和对顶角，三角形内角和，推出，根据相似三角形性质结合已知条件建立线段之间的等量关系，最后列方程求出对应的值即可．
解：如图，取与的交点为M，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵是矩形的对角线，的交点，
∴，
∴，
由旋转的性质，可知，，，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，，
∴，即，
又，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
解得，
∴，
，
∴的周长为，
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题，共114分）
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上．
13. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【详解】
本题考查平方差公式，根据平方差公式进行求解即可。
解：．
故答案：．
14. 如图，在一个弯形管道中，已知拐角，管道，则_________．
【答案】
【解析】
【详解】
本题考查了平行线的性质，由两直线平行同旁内角互补可得∠ABC=180°-∠BCD，计算即可求解。
解：∵，，
∴，
故答案为：
15. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为__________．
【答案】
5
【解析】
【详解】
本题考查一元二次方程的解，把x=1代入原方程中，得到，然后再解方程即可．
解：将 代入方程 ，得 ，即 ，
解得 ．
故答案为：5．
16. 水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是__________．
【答案】
【解析】
【详解】
本题考查列表法与树状图法和概率公式，
根据题意，可以画出相应的树状图，得到一共有 24 种等可能性，其中这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的可能性有 12 种， 再根据概率公式求解即可。
解：树状图如下所示，
由上可得，一共有 24 种等可能性，其中这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的可能性有 12 种，
∴这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率为，
故答案为：．
17. 如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m．
【答案】10
【解析】
【详解】
本题考查相似三角形的应用．过点B作，交于点M，于点N，证明出四边形，，都是矩形，然后根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可．
解：如图，过点B作，交于点M，于点N，
∴，
由题意，得，，，
∴，
∴，，
∴四边形，，都是矩形，
∴，，，，
由题意，得，，，，
∴，，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：10．
18. 如图，在四边形中，，点在四边形内，，于点，将沿翻折，点恰好与点重合，延长交折痕的延长线于点，，则点到直线的距离为__________．
【答案】##
【解析】
【详解】本题考查了正方形的判定和性质，翻折变换的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数等。过点作，交的延长线于，过点作于，根据全等三角形的判定定理证明，进而证得四边形是正方形，再证得，根据相似三角形对应线段成比例求得，利用三角函数求得，即可求得答案．
解：过点作，交的延长线于，过点作于，如图，
∵将沿翻折，点恰好与点重合，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
即，
，
，
，
，
，
∴四边形是正方形，
，
，
在中，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
则点到直线的距离为．
故答案为：．
三、解答题．
19. 为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下：
1分钟的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1分钟的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次；
（2）补全频数分布直方图；
（3）请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数．
【答案】（1）105；110 （2）图象见解析 （3）480
【解析】
【详解】
本题考查统计图的分析和统计量的计算。
（1）根据众数和中位数的概念求解即可；
（2）先计算所给的数据的样本个数，再通过样本总量，减去频数分布直方图中其他组的样本个数和这一组的样本个数，得到这一组的样本个数，以此补全频数分布直方图即可；
（3）先计算样本中1分钟的跳绳次数不低于120次的人数，再通过样本占总体的比例，求出该校学生中对应的人数即可．
（1）
解：由题中数据，可知105共出现三次，出现频数最高，为众数；
中共有15个样本，故从小到大排列第8个数即为中位数，故中位数为110，
故答案为：105，110；
（2）解：由图可知，这一组共有5个样本，这一组共有8个样本，这一组共有2个样本，
由（1），可知这一组共有15个样本，
由题意可知，样本总量为50，
故这一组共有个样本，
补全频数分布直方图如下：
（3）
解：由（2）可知，随机抽取的50名学生中共有名学生1分钟跳绳次数不低于120次，
∴（人）
故估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数为480．
20. 如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，．
（1）证明：四边形为平行四边形；
（2）若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【解析】
【详解】
本题考查平行四边形的判定，扇形面积的计算。
（1）根据正六边形的性质，得到正六边形的每个内角相等，每条边相等，根据三角形全等的判定定理（SAS）证明三角形全等，进而可得EH=BG，再利用平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据正六边形的概念，确定∠BAE的度数，进而可得，进而确定的度数和的长，再结合扇形的面积公式通过作差法计算阴影部分的面积即可．
（1）
证明：∵六边形是正六边形，
∴，，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，连接，，，
∵是正六边形的中心，
∴，，
∴，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
21. 某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种：
①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售．
②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．
若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元．
（1）这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？
（2）若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．
【答案】（1）A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元
（2）该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元
【解析】
【详解】
该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用。
（1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据等量关系可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论．
（1）
解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元；
（2）解：设购买本型相册，则购买本型相册，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为10，11，12，
∴该社团共有3种购买方案，
方案1：购买10本型相册，5本型相册；
方案2：购买11本型相册，4本型相册；
方案3：购买12本型相册，3本型相册．
选择购买方案1所需费用为（元）；
选择购买方案2所需费用为（元）；
选择购买方案3所需费用为（元），
，
∴方案1所需费用最少．
答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元．
22. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5．
（1）求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；
（2）探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），反比例函数解析式为
（2）点坐标为或或或
【解析】
【详解】
本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题。
（1）将点A代入解析式先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，由点关于原点对称，进而可得坐标；
（2）过作轴，交于点，设，则，根据三角形BOC的面积先求出点坐标，进而分类讨论很容易求出点坐标．
（1）
解：将代入得，，
解得：，
∴正比例函数表达式为，
，
∴反比例函数解析式为，
∵点关于原点对称，
，
综上，，反比例函数解析式为；
（2）解：过作轴，交于点，
设，则，
，
，
解得：或（舍去），
，
则，
当为菱形的边时，有如下三种情况：
①如图，点在点左侧，
此时轴，且，
；
②如图，此点在点右侧，
此时轴，且，
；
③如图，为对角线，
此时点与点关于轴对称，则；
当为菱形的对角线时，如下有一种情况：
过作轴于点，
设，则，
在中，，
解得，
，
，
综上，点坐标为或或或．
23. 如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点．
（1）求证：平分；
（2）设，求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
（3）
【解析】
【详解】本题综合考查圆周角定理，切线的性质和勾股定理。
（1）连接，由切线与过切点的半径垂直得到，从而推出，再利用平行线的性质和等边对等角推理论证即可；
（2）由（1），得，在中由勾股定理求出的长，再证明，用k表示出和，在中利用勾股定理求解即可；
（3）借助圆周角定理，推得，作的平行线，借助，利用角平分线的性质和勾股定理求解即可．
（1）
证明：如图，连接，
由题意，得与相切于点E，
∴，
又，
∴，
∴，
∵和都是的半径，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：由（1），得，
∵点F在上，
∴，
∴，
在中，，即，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，即，
设，则，
解得（负值已舍去），
∴，
∴；
（3）解：由圆周角定理，得，
如图，过点O作平分，交于点M，连接
由（2），得，
∵平分，
∴，
又，
∴，
∴，，
∴，
在中，，即，
解得，
∴在中，，
∴，
∴．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为．
（1）求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
（2）点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标；
（3）探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1），．；
（2）．
（3）能，边上的顶点的坐标为，或．
【解析】
【详解】
本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质。
（1）令x=0和y=0求得点A，C坐标，将坐标代入解析式求出a，c的值，从而可得二次函数解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标；
（2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，由为的中位线得到点坐标，设直线的解析式为，
，代入坐标求出解析式，再与直线联立即可求得点P坐标；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可．
（1）
解：中，
令，则，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∵抛物线经过A，B，C三点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
令，则，
∴，或，
∴．
∵
∴顶点；
（2）∵，，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
延长至点，使，连接，交直线于点P，如图，
则，B关于直线对称，此时的周长最小，
过点作轴于点E，
∵轴，轴，
∴ ，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴．
（3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或．
①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K，
设，
∵四边形矩形，，
∴四边形，为矩形，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积
∵，
∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为．
∴，
∵，
∴H为的中点，
∴．
同理，点G为的中点，
∴．
②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，
设，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形面积
∵，
∴当时，矩形的面积取得最大值为．
∴，
∴点G为的中点，
∵，
∴为的中位线，
∴
∴，
∴．
综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或．