专项01 三角函数、三角恒等变换与解三角形9大解答题题型（大题专练）（全国通用）2026年高考数学终极冲刺讲练测+答案

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题型01 三角恒等变形与三角函数图象问题
析典例·建模型
1．【思路分析】（1）根据图象，结合正弦函数的性质，可求函数的详解式，再求函数的单调区间即可.
（2）根据同角三角函数的基本关系与两角和与差的余弦公式求值即可.
【规范答题】（1）由图可得，，
所以，且，得，，
又因为，所以，所以.
又因为，，
解得，，
所以在上的单调递增区间为.
（2）因为，所以.
因为，所以，
即，所以.
所以.
破类题·提能力
1．【答案】(1)和
(2)条件①：不符合题意；条件②：；条件③：
【详解】（1）
直线是的最小值线，相邻交点距离等于的周期，故，
由周期公式，得，因此： ，
正弦函数的单调递增区间满足： ，
解得： 结合，取得，
取得，
所以 在上的单调递增区间为和；
（2）由题意得：，，
选条件①：因为，其最大值为对任意均满足，函数不唯一，不符合题意，
选条件②：在上单调递增，
的递增区间，得递增区间 ，
由在区间上单调递增得时： ，
因此，
当时，，，故，
若恒成立，则，即的取值范围为，
选条件③：因为为偶函数，
所以，解得，
又，所以，解得，
因此,当时，，，故，
若恒成立，则，即的取值范围为.
2．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题，，
所以，
所以的图象在点处的切线方程为即.
（2）由（1）可知，
因为，所以，
当时，，，
当时，，，
故在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以函数在区间上的最大值为.
（3）因为
要使函数在区间上有三个极值点，
则函数在区间上有三个不同的变号零点，
令，
则，
当时，令或或或，
故存在使得即，
所以当时；当时；当时，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，
作直线与函数的图象如图所示：
由图可知直线与函数的图象有3个不同的交点时，
所以函数在区间上有三个不同的变号零点，实数的取值范围为.
题型02 三角形中边长及周长问题
析典例·建模型
1．【思路分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理结合两角和的正弦公式及三角形内角关系求解；
（2）根据已知条件，利用余弦定理解三角形，再利用已知周长构造方程求解．
【规范答题】（1）已知，由正弦定理得，
，
又，
，
，
，
又，
．
（2），由余弦定理：，
，
的周长为8，，解得，
故．
2．【思路分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解角；
（2）利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变形转化为正切函数的取值范围，最后可求周长的取值范围.
【规范答题】（1）由，
因为在中有，所以上式可化为，
又因为，所以，又因为，所以；
（2）由正弦定理得：，
可得，
所以的周长为，
因为锐角，可知，
可得，则周长可化为：，
，
由，且，
所以，即，
故锐角周长的取值范围为.
破类题·提能力
1．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为,
根据正弦定理得，
整理得,
根据余弦定理,
可得，
又因为,（是的内角）,
所以.
（2）由正弦定理，得，
由（1）知，结合，
由余弦定理得，.
（3）由已知得，
，
.
2．【答案】（1）；
（2）12
【分析】（1）由余弦定理的边角关系，将化角为边求，再由正弦定理及求得，即可得；
（2）由余弦定理、基本不等式有，进而可得周长的最大值.
【详解】（1）由，则，
所以，
由，而，即，
所以，而，故；
（2）由（1）知，则，当且仅当时取等号，
所以，即时取等号，
所以周长的最大值为.
3．【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
∴，
∵，则，∴，又，∴；
（2）因为，，
由余弦定理，即，
∴，解得，
∴；
（3）在中，由正弦定理，
∴，
∴
，
又为锐角三角形，∴，
∴，∴，
∴，∴，∴，
故周长的取值范围为
题型03 三角形中面积问题
析典例·建模型
1．【思路分析】（1）由正弦定理得到，根据得到方程，求出，根据余弦定理得到，求出；
（2）由利用三角形面积公式可得，根据基本不等式解出的最小值，应用取等条件求出三角形面积.
【规范答题】（1）因为，由正弦定理得，
因为的角平分线交BC于点D，所以，
由，得，
则，
即，所以，
在中，由余弦定理得，
即；
（2）由，
得，
得，
化简得，即，
所以，
当且仅当时等号成立，取得最小值，
此时，面积为．
2．【思路分析】（1）需利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合两角差的余弦公式及三角形内角和定理化简，求解三角方程得出角A；
（2）求面积的取值范围，先根据锐角三角形条件确定角B、角C的范围，再由正弦定理用角C表示边b，结合正切函数性质求出b的范围，最后代入面积公式得出结果.
【规范答题】（1）由和差公式和正弦定理可得：
，
即，
即，
即，
整理得到，
因为在中 ，
所以，即，
因为，所以，
所以，得到.
（2）因为是锐角三角形，所以，
结合B为锐角，解得，同理可得，
由正弦定理，
可得，
因为，所以，所以，
又因为.
破类题·提能力
1．【答案】(1)
(2)等边三角形，
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
整理得，
因为，故，
又，故．
（2）已知，则，故，
，即，
则，，
因为．则．故，
所以，是等边三角形．
因此.
2．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，，而，即，
，由余弦定理得，
所以.
（2）由（1）知，，，而，于是，
即，当且仅当时取等号，
因此的面积，
所以当时，面积取得最大值.
3．【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出，结合正弦函数的单调性可证得结论成立；
（2）由正弦定理及三角恒等变换化简得出，根据已知条件求出角的取值范围，结合余弦函数的基本性质和对勾函数的单调性可得出的取值范围；
（3）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数和反比例函数的基本性质可求得面积的取值范围.
【详解】（1）由及正弦定理可得，即，
因为，则，所以，即，
由余弦定理可得，所以，
所以，由正弦定理可得
，
因为为锐角三角形，故，，所以，
又函数在上单调递增，且，故，即.
（2）
，
因为为锐角三角形，故，解得，
又因为，可得，故角的取值范围是，
所以，故，
令，，
任取、且，
则
，
因为，所以，则，所以，
所以函数在上为增函数，故，
故的取值范围是.
（3）由正弦定理可得，所以，，
所以
，
因为，所以，
令，函数、在上均为减函数，
故函数在上为减函数，所以，即，
因此，即面积的取值范围是.
题型04 解三角形中三线问题
析典例·建模型
1．【思路分析】（1）将已知三角等式通过内角和与二倍角公式转化为关于的二次方程，求解角；
（2）先利用正弦定理求出三角形各边长度，再通过余弦定理计算边上的中线长.
【规范答题】（1）在中，，故.
由，得，
即，
即，(舍去，因).
由，，得.
（2）由，，得.
.
由正弦定理得，
同理，.
设的中点为，则.
在中，
，
故，即边上的中线长为.
2．【思路分析】（1）由正弦定理结合诱导公式及两角和正弦公式得出，应用角的范围求出角；
（2）先根据中线得出，再左右两边平方结合余弦定理得出为直角三角形，最后应用两角和正弦公式及正弦定理计算求解.
【规范答题】（1）根据题意，且，
由正弦定理得，
化简得，因为，
所以，又，
所以；
（2）根据题意，在中，边上的中线长为，
得，
两边平方得
化简，故有，
解得（舍去）或.
在中，，
又，故为直角三角形，
在中，，所以，
又，
所以根据正弦定理得
，
解得.
破类题·提能力
1．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由正弦定理知，，所以，
即，
所以，所以，所以或 ，
所以或 ，又因为是锐角三角形，所以；
（2）不妨设为边上的中线，
在中，有，由（1）可得，故，
所以．
在中，有，所以．
即，解得．
2．【答案】(1)
(2)2
【详解】（1）由可得，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
因为，所以．
（2）依题意，，设BC边上的高为，
由，可得，
由余弦定理 可得，
即，当且仅当时等号成立，
因此，
所以BC边上的高的最大值为2．
3．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1），，
，，
由余弦定理得，
又，；
（2）由的角平分线将的面积分为两部分，
则，，
于是，
即，解得，
所以的长为；
（3）由三角形面积公式得，
由正弦定理得
，
三角形为锐角三角形，，得，，
，，，.
题型05 三角形中图形类边长及范围问题
析典例·建模型
1．【思路分析】（1）利用余弦定理角化边，再利用余弦定理公式可得答案；
（2）利用正弦定理将转化为，然后利用三角恒等变换的公式将表示成三角函数的形式，通过三角函数的值域的求法求出范围.
【规范答题】（1）因为，所以，
即，即，
所以，
又，所以；
（2）由（1）知，又，
由正弦定理，
所以，
所以
，
又，所以，
所以，
所以的取值范围是.
2．【思路分析】（1）两边平方，结合题目条件，余弦定理和面积公式得到，因为为锐角，所以.
（2）设，，则，在中和在中，由正弦定理联立得，因为，所以，求出的最小值.
【规范答题】（1）由，两边平方得，故，
所以的面积，
由余弦定理及，
得，
因为，所以，因为为锐角，所以.
（2）设，，则，
在中，由正弦定理得，
因为，
所以，
则①，
在中，由正弦定理得，
则②，
由①②得，，
因为，所以，所以
所以，故的最小值为1.
破类题·提能力
1．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，
因为为三角形边长，所以，所以，
若，则，代入得，矛盾，
所以，方程两边同除以得，又，所以.
根据余弦定理，
得.即，整理得.
解得或（舍去）.所以.
（2）由，得，，
因为，则，，
所以，
，
因为为锐角三角形，所以则，
所以，即取值范围为.
2．【答案】(1);
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，即，所以；
（2）根据正弦定理得，
由（1）得，，
，为锐角，所以，，
其中，，即，
综上可知，的取值范围是．
题型06 三角形中证明类问题
析典例·建模型
1．【思路分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和与差的正弦公式即可计算求解；
（2）（i）先分别在和中利用正弦定理结合和比例的性质得和，接着在和中利用余弦定理结合即可分析计算求解；
（ii）先由（1）得，进而得到，，接着由题设结合（i）得，再结合基本不等式即可求解．
【规范答题】（1）因为，
所以由正弦定理得
，
因为A，，所以，，故；
（2）（i）证明：中，由正弦定理得①，

同理在中，②，
BD是的角平分线，则，则，
故得，
由比例的性质得，即，
同理得，即，
在中，由余弦定理得③，
中，由余弦定理得④，
又，故，，
由得
，
则，
即；
（ii）因为，故，
则，则，，
由以及（i）知，
即，则，
当且仅当，结合，即，时等号成立，
故的最大值为．
破类题·提能力
1．【答案】(1)见解析；(2)
【详解】（1）由正弦定理可知，，
得，且，
即，整理为，
即；
（2），
由（1）可知，，且，
所以，上下同时除以，
，
因为，得，
所以，当时等号成立，
所以，
所以的最大值为.
题型07 解三角形中内切圆、外接圆问题
析典例·建模型
1．【思路分析】（1）先根据等差数列的性质得到的关系，再根据正弦定理将角化边，最后利用余弦定理求值；
（2）先根据正弦定理求出，再结合（1）中的的关系求出，最后根据三角形的面积公式求解.
【规范答题】（1）由成等差数列知，又得，
于是，设，则，
所以；
（2）由（1）知，
由得，所以，
所以的面积.
2．【思路分析】（1）由已知及三角恒等变换化简得，根据正弦定理边角关系、余弦定理求角的大小；
（2）由（1）得，结合已知求边长，进而得到三角形面积，应用等面积法求内切圆半径.
【规范答题】（1）由，
有.
可得.
由正弦定理，有.
又由余弦定理，有.
又由，可得；
（2）由（1）有，代入，
所以，解得或（舍去），
所以，可得的面积为.
设的内切圆的半径为r，有，
代入，有，可得，
故的内切圆的半径为.
破类题·提能力
1．【答案】(1)7
(2)或.
【详解】（1）设的外接圆半径为，
由三角形面积公式有，故，则，
又，故，即.
故的外接圆半径为7.
（2）由，且，
所以，所以.
在中，由余弦定理，
解得或，
所以边上的高或.
2．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由，
则，
根据余弦定理得，即，
由，则.
（2）由（1）知，，则有，
又，当且仅当时等号成立，
所以，解得，所以，当且仅当取到等号，
（3）设的内切圆的半径为，
由等面积法可得，故，
所以，故
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
题型08 解三角形中图形类问题
析典例·建模型
1．【思路分析】（1）利用三角形的面积公式与余弦定理求解即可；
（2）先用正弦定理求，进而利用余弦定理可求，从而可得周长.
【规范答题】（1）由为的角平分线及，知.
，即，得.
.
故边BC的长度为.
（2）由的外接圆直径，得，则.
由余弦定理知，，
设，则，即，
，解得（舍去）或，则.
所以△ACD的周长为.
2．【思路分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出相关线段长度，进而求解；
（2）利用正弦定理结合已知条件求出，再利用四点共圆的性质求出，比较的大小判断的位置．
【规范答题】（1），，
在中，由余弦定理得
，
，
同理，
，
．
（2）在中，由正弦定理得，
，
，
设为射线上一点，且四点共圆，则，
，解得，
，位于外接圆的内部．
破类题·提能力
1．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由余弦定理知，
即，
解得，
；
（2）在中，由正弦定理知，解得，
又在中，，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，由正弦定理得，
解得.
2．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由余弦定理可得：
，所以,
所以或，因为，所以
所以.
即的面积为.
（2）设，
在中，，所以，
由正弦定理：，即，
所以，
在中，,,
由正弦定理，所以，
所以，
所以，化简得，
所以，
因为，所以 ，
在中， ,
所以，即，
所以，所以，
所以，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，所以，所以，
所以的取值范围为，即.
所以的取值范围为.
题型09 解三角形的实际应用
析典例·建模型
1．【思路分析】（1）在中利用正弦定理计算可得；
（2）在中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理求出；
【规范答题】（1）由题可知在中，，，所以，
由正弦定理可得：，及，
所以（海里）．
（2）由题可知在中：，，所以．
所以（海里），
由余弦定理可得：
，
所以（海里），
由题意可知，在中，，
由余弦定理可得：
，
所以（海里）.
2．【思路分析】（1）利用仰角差得，通过正弦定理求，结合直角三角形求山高即可.
（2）用正切表示仰角，通过正切差公式表示视角的正切值，结合基本不等式求最值即可.
【规范答题】（1）由题意可知，，，，，
在中，，所以，
在中，，
所以山高.
（2）由题意知，，，且，
则，
在中，，
在中，，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以时，取得最大值，
又，所以此时视角最大.
综上，当时，视角最大.
破类题·提能力
1．【答案】(1)
(2)米
【详解】（1）因为，所以.
所以，所以.
在中，根据正弦定理，，即，
解得.
（2）在中，根据余弦定理，，
化简得，由于，所以解得米.
因为，在中，根据余弦定理，
化简得，解得米.
在中，根据余弦定理，
化简得，解得米.
2．【答案】(1)米
(2)
【详解】（1）由题意得，设米，
在中，，则；
在中，，则.
在中，由余弦定理得，，
整理得，解得或（舍）
所以重兴塔高米
（2）过点作交于，设，
则在中，，
在中，，
.
当且仅当，即等号成立
所以的最大值为
（建议用时：60分钟）
刷模拟
1．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）函数的最小正周期为，
，解得， 即，
，
，则，
，则，
，
，
，
，即，
∴.
（2），
的图象向右平移个单位后得到的函数为，即，
再向上平移1个单位得到的图象对应函数为，
，
当时，，
令，则，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，
，
，
函数在上的值域为．
2．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为成等差数列，所以，又，所以．
设，则，则．
（2）由（1）得，
则外接圆的半径，
则，则，，
则的取值范围为．
3．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理得，
因为，所以.
由三角形面积公式得，
又因为，所以，
所以，
因为，所以.
（2）由（1）知，，得，
而，得，又，
得为等边三角形，得，
故.
4．【答案】(1)证明见详解；
(2)
【详解】（1）证明：设，
因为，所以，
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
所以.
（2）因为的外接圆半径为1，
由正弦定理，得，
在中，由余弦定理得，
即，①
在中，同理可得，②
由①②可知，是关于的方程的两根，
所以．
的面积为.
由，得到，
又因为，所以，
所以
即面积的最大值为.
5．【答案】(1)
(2)最大值；最小值4
【详解】（1）由题意得
所以①
又②
由①②解得，所以的周长为；
（2）∵，
又，∴
∴
当且仅当，即时取“”，
又，当且仅当时取“”，
所以的最大值，最小值4．
6．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
又因为，
即，
且为锐角三角形，则，则，
可得，所以.
（2）因为，且，则，
可得，解得，
当且仅当，即时，等号成立，
则，
因为，则，
可得，，
则，
即的最大值为，且，
所以角的最大值为.
7．【答案】(1)1
(2)
【详解】（1），
因为成等差数列，所以，
又，所以，又，所以，
所以，
，
当取得最大值时，取得最小值，
因为，所以，
所以当时，取得最小值1.
（2）因为成等比数列，所以，
由（1）知，
因为，所以，
将代入，化简得，
两边同除以，得，即，
所以，解得，
因为，所以，即，得，
所以的取值范围为.
8．【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【详解】（1）由，利用正弦定理得：，
又，
所以，
所以，
所以或，
所以或（舍去）
所以；
（2）由，所以，
又，所以，
又，所以，
又由为的平分线，
所以，
所以，
所以，
又由余弦定理得：，
所以，所以；
（3）由（1）有，又，所以，
又由正弦定理得：
，
又为锐角三角形，所以，
所以，所以，所以.
9．【答案】(1)（海里）
(2)（平方海里）．
【分析】（1）在和中反复使用正弦定理，用角度表示边长、、、，代入求值即可；
（2）将面积表达式化简为关于的三角函数，利用和角公式、二倍角公式进行变形，通过三角函数的范围求解面积的最小值.
【详解】（1）因为，，所以，
又因为，所以，，
又，设，
∴，，．
在和中由正弦定理可得，
，
即，，
，
．
当时，则，，
∴，，
∴（海里）．
（2）
令
，
∴．
因为，∴，∴，
所以当时，（平方海里）．
10．【答案】(1)
(2)①12；②
【分析】（1）根据角的关系求得，在、中，分别由正弦定理可得，，由商数关系求的值；
（2）由，可得，对于①在、、中由余弦定理结合代数运算可得，再根据面积可求的值；②由面积公式结合余弦定理可得，结合①可得，平方展开运算得解.
【详解】（1）
在中，，
所以，而为锐角，故，所以，
所以，而，故.
又，故，
在中，由正弦定理有，所以，
在中，由正弦定理有，所以，
所以，故.
（2）
因为，所以，即，
①，所以
在中，，
在中，，
在中，，
三式相加得
，
整理得：.
②又
又由①知，
所以，
故，
整理得：，
即，
所以，即，
所以.
刷真题
1．【答案】(1)
(2)答案见详解
【详解】（1）由题意，所以；
（2）由（1）可知，
所以
，
所以函数的值域为，
令，解得，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，
函数的单调递增区间为.
2．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
3．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，
又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式， ，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，
又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周长为
4．【答案】(1)(2)6
【详解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
5．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
6．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.