2025-2026年北京昌平区初三数学一模试题（含答案）

这是一份2025-2026年北京昌平区初三数学一模试题（含答案），共5页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，下列图形中是左图空心圆柱的俯视图的是（ ）
A．B．C．D．
2．为推动数字经济高质量发展，我国AI大模型应用规模不断扩大．2026年3月24日国家数据局在国新办举行的新闻发布会上表示，到2026年3月，我国AI大模型日均词元调用量已超过1400000亿．将1400000用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
3．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，直线，，是直线上两点，，是直线上两点，于点，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
5．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ）
A．－4B．－1C．1D．4
6．京剧是国粹戏曲，分为生、旦、净、丑四大行当．某剧场开展京剧文化体验活动，制作了一个质地均匀且可以自由转动的圆形转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，分别标注“生、旦、净、丑”，指针的位置固定、转动的转盘停止后，其中的某个标注的扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），小明和小刚各转动一次转盘，两人恰好体验同一行当的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点为射线上一点，将射线绕点逆时针旋转得到射线，以为圆心，长为半径画圆，交射线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点不重合），连接交于点，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，矩形的对角线相交于点，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．顺次连接．对八边形给出下面四个结论：
①该八边形各边都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点到该八边形各边所在直线的距离都相等；
④该八边形为正八边形时，矩形的长宽比为．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
二、填空题
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．
10．分解因式：＝_____
11．方程的解为______．
12．请举例，能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_____，_____．
13．一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数为_____．
14．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，点坐标为，则点坐标为_____．
15．如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则_____．
16．某校开展了“校园小管家资产配置养成计划”实践活动，初始总资产为20，参与活动的同学可将资产配置到储蓄、基金、股票、保险四类项目中．活动通过三次随机掷骰子（六面分别标有1－6的数字）得到三次点数，分别对应三年项目的收益乘数，最终计算出每类项目的总收益．
游戏规则如下：
1.储蓄的收益乘数：无论点数为何值，每年固定为
2.基金的收益乘数：1或2点为0；3或4点为；5或6点为
3.股票的收益乘数：1点为；2点为；3或4点为0；5点为；6点为
4.保险的收益乘数：1或2或3点为；4或5或6点为
5.单类项目总收益初始配置金额三年收益乘数之和
四类项目配置金额均为非负整数，三次掷骰子点数分别是2点，1点，点．
（1）若，保险初始配置金额不得超过基金与储蓄初始配置金额之和，则该方案下四类项目总收益最大值为_____；
（2）若保险初始配置金额为0，且基金和股票初始配置金额之和不低于11，则股票初始配置金额最多为_____时，无论为何值，都存在一种配置方案使得总收益不低于初始总资产的．
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组：
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在中，，，分别为，中点，连接，过点作的垂线，与直线交于点，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
21．油纸伞制作技艺是中国国家级非物质文化遗产，凝聚着传统工匠的智慧．油纸伞的主要骨架是由短伞骨，长伞骨及伞柄构成，油纸伞完全撑开后，其示意图如图所示．已知短伞骨长度与长伞骨长度之比为，短伞骨与长伞骨连接点恰为长伞骨的三等分点，伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多．求这个油纸伞的伞柄长．
22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
(1)求的值；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围．
23．2025年，某市空气质量达到有监测以来最优水平；主要空气污染物“细颗粒物（）”年均浓度降至27微克/立方米，首次实现“破30”；空气质量优良天数比率超几成，重污染天数基本清零．
某环保部门收集了该市甲、乙、丙、丁四个区域2025年1至12月月均浓度（数值取整，单位：微克/立方米）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．甲、乙两区域12个月的月均浓度折线图：
b．丙区域12个月的月均浓度：
c．四个区域12个月月均浓度的平均数、中位数、方差（结果保留一位小数）：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中的值为_____；
(2)表中_____30.8（填“”“”或“”）；
(3)为综合评估2025年四个区域空气质量，该环保部门制定了以下评估准则（优先级从高到低）：
①全年月均浓度的平均数尽可能低；
②全年月均浓度的波动幅度尽可能小；
③全年月均浓度小于月均浓度平均数的月份尽可能多．
评估结果：甲、乙、丙、丁四个区域按空气质量从高到低依次为_____．
24．如图，为直径，，与相切，切点分别为，，连接交于点，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)作射线交，分别于点，，若，，求的半径．
25．某物流中心对三种新购入的智能分拣机，，进行调试，开机后三种机型均需要空转预热后才能开始进行上件分拣，的空转预热时间分别为3分钟，3分钟，3.5分钟．上件分拣后，若每半分钟记为一个周期，单个周期分拣件数记为（件），得到数据如下：
进入上件分拣后前5个周期的单个周期分拣件数为匀速增长，5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，三种机型经过一定时间后单个周期分拣件数基本恒定．在平面直角坐标系中，描出三种机型下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到和的曲线，如图所示．
(1)观察曲线上件分拣后，当第_____个周期时，首次超过35.
(2)表中_____，_____，在给出的平面直角坐标系中画出的曲线；
(3)①若选用，开机后至少_____分钟后，值基本恒定；
②若，，同时开机，开机后的前5分钟内（包含5分钟）的累计分拣件数分别记为，结合题目所给信息，将进行排序_____（用“＜”连接）．
26．在平面直角坐标系中，抛物线，经过点．
(1)用含的式子表示；
(2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点．①若，则_____；
②已知点，，在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围．
27．已知，如图，点是上的点，连接，点关于直线的对称点为点，连接，将射线绕点逆时针旋转得到，在射线上取一点，使，延长交于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，用等式表示，，三者之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：
将线段绕点顺时针旋转可以得到线段分别是的对应点），点为线段上任意一点，若最小值为1，则称线段是的以点为中心关于“”的“关联线段”．
(1)若．
①当时，如图点的横、纵坐标都是整数，在线段中，的以点为中心关于“”的“关联线段”是_____；
②当时，且在直线上（点在点左侧），线段是的以点为中心关于“”的“关联线段”，直接写出点横坐标的取值范围；
(2)若，，，点在线段上，，直线与线段有交点，且线段是的以点为中心关于“”的“关联线段”．直接写出的取值范围．
储蓄
基金
股票
保险
初始配置金额
第1年收益乘数
+1
0
+1
第2年收益乘数
+1
0
+1
第3年收益乘数
三年收益总乘数
单类项目总收益
甲
乙
丙
丁
平均数
23.6
23.6
27.6
23.6
中位数
22.5
24.0
24.0
方差
30.8
15.9
30.8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
的的值（件）
0
8
16
24
40
46
54
56
56
《北京市昌平区2026年九年级第一次统一练习 数学试卷》参考答案
1．A
【详解】解：空心圆柱的俯视图是：
．
2．C
【分析】根据科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数．
【详解】解：．
3．B
【分析】由在数轴上的对应点的位置可得出，，可得出，，，，进而得出．
【详解】解：根据在数轴上的对应点的位置可知，，
∴，，，，
∴．
综上，选项B正确．
4．C
【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义以及直角三角形的两个锐角互余；由垂直的关系求出的度数，再由“两直线平行，内错角相等”得到的度数．
【详解】
5．C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的性质，当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式的值为0，代入方程系数计算即可得到的值.
【详解】对于一元二次方程，题中方程为
，，
∵方程有两个相等的实数根
代入系数得
化简得
解得 ．
6．C
【分析】画树状图列举出所有可能的情况和两人恰好体验同一行当的情况，然后利用概率公式求解．
【详解】解：画树状图如下：
共有16种等可能的情况，其中两人恰好体验同一行当的情况有4种，
∴两人恰好体验同一行当的概率是．
7．D
【分析】由作图可知：和，由垂径定理可得出，，，由不确定大小则无法判断．
【详解】解：根据作图可知：，，
∴，，
∴，，
∵不确定大小，
∴无法判断得出．
8．D
【分析】条件可知矩形的大小是不确定的，因此可以先尝试调整矩形的长、宽关系，然后进一步探究八边形的边、角以及点O到各边的距离的变化规律，继而求解．
【详解】结论①：由题意可知八边形的边长受矩形长、宽关系的影响，如图1所示，显然八边形的各边并不相等，故结论①错误；
结论②：如图1，由条件易知四边形是正方形，进而可证为4个全等的等腰直角三角形，由此可知八边形的各个内角均为135°，故结论②正确；
结论③：如图2，连接，过点O分别作，由条件易知均为等腰三角形，且．在和中，，，由结论①易知和不一定相等，因此和也不一定相等，故结论③错误；
结论④：如图3，结合结论②，设，则．当八边形为正八边形时，则，所以，所以矩形的长宽比为，所以结论④正确．综上，所有正确结论的序号是②④．
【点睛】本题考查了矩形、（正）多边形、旋转、全等、直角三角形等知识，解题的关键是先结合图形作出合理的猜想，进而快速地找到问题的切入点．
9．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可.
【详解】解：若在实数范围内有意义，则，
解得.
故答案为：.
10．a（a＋4）（a－4）
【分析】先提取公因式a，再运用平方差公式分解即可.
【详解】
.
故答案为：a(a+4)(a-4)
11．
【详解】解：方程两边乘以，得 ，
解得，
检验：当时， ，
∴是原方程的解．
12． （答案不唯一） 1（答案不唯一）
【详解】举例，如，，符合题意．
13．
【分析】本题考查多边形的知识解题的关键是掌握多边形的内角和公式，进行解答，即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
∵多边形内角和公式：，
∴，
整理方程得 ，
解得 ．
14．
【分析】把代入正比例函数得出，根据两点关于原点对称，即可求解．
【详解】解：把代入正比例函数
得，解得，
∴，
∵反比例函数与正比例函数的图象的交点关于原点对称，则两点关于原点对称，
∴点坐标为 ．
15．
【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质．
连接，先证，再证明为的中位线，问题即可得解．
【详解】解：连接，如图，
正方形的边长为4，点是对角线上一点，
，，，，
线段绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
，，
，即，
，
，
点为中点，
为的中位线，
，
，
，
．
16． 70 4
【分析】设储蓄、基金、股票、保险的初始配置金额分别为、、、，可得，且均为非负整数，再根据点数计算各项目三年收益乘数总和，结合约束条件求总收益最大值，再根据对任意都存在满足条件的配置，求解股票初始配置金额的最大值．
【详解】解：设储蓄、基金、股票、保险初始配置金额分别为，，，，由题意得，为非负整数，
(1)当，计算各项目三年收益乘数总和：
储蓄每年固定，故；
基金：第一年点对应，第二年点对应，第三年点对应，故；
股票：第一年点对应，第二年点对应，第三年点对应，故；
保险：第一年点对应，第二年点对应，第三年点对应，故；
总收益，其表达式与c的取值无关，约束条件为，
但a，b，c，d的总和固定为20，为使Y可能取得最大值，
应将资本金尽量分配给收益乘数和为正的a，b，d，故应取c的最小值，即，
可得，，代入约束得，即，
整理得，，因为，
故越大越大，最大取，此时，最大取，，得；
(2)由题意，故，约束，即，
要求总收益 ，对任意 成立，求最大的，
恒成立，对任意，为关于的一次函数，系数均为负，故最大在取最小值时取得，
当时，，，，若，，代入得最大，解得；若，得，，矛盾，
验证其余：
，，，，若，，最大，得，满足；
，，，，若，，最大，得，满足；
，，，，若，，最大，得，满足；
，，，，若，，最大，得，满足，
为非负整数，故最大．
17．
【分析】先计算零指数幂、特殊角的三角函数、绝对值和化简二次根式，再进行实数运算即可．
【详解】解：
．
18．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
所以不等式组的解集是．
19．
【详解】解：原式
，
由得，
原式．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一与三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，再结合是的中点，证明四边形是平行四边形，结合证明其为矩形；
（2）过点作于点，结合锐角三角函数定义，先求出相关线段长度，再结合矩形的性质，转化为求对应边的长度．
【详解】（1）证明：，分别为，中点，
，
，为中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
为中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：过点作于点．
在中，，
设，则，
，
，
，
，，
四边形是矩形，
，
，
在中，．
21．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先理解题意，结合短伞骨长度与长伞骨长度之比为，设短伞骨长度为，则长伞骨长度为，又因为伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：设短伞骨长度为，
则长伞骨长度为，
依题意，得，
解得，
∴．
答：这个油纸伞的伞柄长．
22．(1)
(2)
【分析】（1）将已知点和代入函数中，得到一个关于和的方程组，然后解这个方程组即可．
（2）根据（1）求出和的表达式，然后列出不等式组，再结合求解的取值范围．
【详解】（1）解：将点和代入，
得方程组：．
解得，．
（2）解：由（1）可知，，
所以，，
因为当时，且，
所以可得不等式组，即，
解不等式：
因为，要使其恒成立，则必有时，，
所以，解得；
解不等式：
因为，要使其恒成立，则必有时，，
所以，解得，
综上可得．
23．(1)28.5
(2)
(3)乙、甲、丁、丙
【分析】（1）根据中位数定义计算即可得答案；
（2）根据方差的概念和意义即可解答即可；
（3）先比较平均数得出丙最高，再比较方差得出乙的波动幅度，最后根据比较月均浓度小于月均浓度平均数的月份的多少得出结论即可．
【详解】（1）解：丙区域12个月的月均浓度从小到大排列为：20，21，24，27，28，28，29 ，29，30，31，32，32，
∵第6个和第7个数据分别为28，29，
∴丙区域12个月的月均浓度的中位数；
（2）解：根据折线图可以看出，甲区域12个月的月均浓度大约分布于14至31，乙区域12个月的月均浓度大约分布于16至28，可以发现乙区域12个月的月均浓度比甲区域12个月的月均浓度波动较小，更加稳定，
所以乙区域12个月的月均浓度的方差小于甲区域12个月的月均浓度的方差，
故；
（3）解：∵甲、乙、丙、丁四个区域12个月的月均浓度的平均数分别为23.6、23.6、27.6、23.6，
∴由平均数比较，甲、乙、丁三个区域的全年月均浓度的平均数尽可能低，丙区域的12个月的月均浓度最高；
∵甲、丁两个区域的方差分别为30.8、30.8，乙区域的方差，
∴乙区域的全年月均浓度的波动幅度小，甲、丁两个区域的全年月均浓度的波动幅度较大，
∵甲区域的全年12个月的月均浓度的中位数为22.5，平均数为23.6，丁的全年12个月的月均浓度的中位数为24.0，平均数为23.6，
∴甲区域的全年月均浓度小于月均浓度平均数的月份比丁区域的多，
∴四个区域按空气质量从高到低依次为：乙、甲、丁、丙．
24．(1)见解析；
(2)．
【分析】（）连接，由切线长定理可得，又，则，所以，然后通过圆周角定理得，则，再由平行线的判定方法即可求证；
（）连接，由切线长定理可得，所以，然后通过圆周角定理得，所以，故有，再由垂径定理得，所以，证明，则，再证明，所以，然后代入即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
与相切，切点分别为，
，
，
，
，
为直径，
，
，
；
（2）解：连接，
与相切，切点分别为，
，
，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，可得，
的半径为．
25．(1)5
(2)32，51，见解析
(3)①7；②
【分析】（1）观察图象即可求解；
（2）由图可知每个周期增长件即可得到；由5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，可得第5个周期到第9个周期增加量依次为件，件，件，件，据此可得；再描点作图即可；
（3）①观察图象即可；②根据的位置即可判断．
【详解】（1）解：由图可知，当第5个周期时，首次超过35；
（2）解：进入上件分拣后前5个周期，每个周期增长件，
（件）；
5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，
第5个到第6个周期增加6件，第8个周期到第9个周期增加2件，
第5个周期到第9个周期增加量依次为件，件，件，件才符合题意，
；
作图如下：
（3）解：①由图可知开机后至少7分钟后，值基本恒定；
②由图可知开机前5分钟，
曲线在最下方，在最上方，在中间，
．
26．(1)
(2)①1；②或或
【分析】（1）将点代入，即可求解；
（2）①根据得出，，，进而得出的纵坐标为，的纵坐标为，即可求解；
②根据题意得出，分两种情况，当时，当时，求得的解析式，根据二次函数式的性质，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线，经过点，
．
．
（2）解：①∵
∴，
∴，
当时，，
即的纵坐标为，的纵坐标为
∴；
②过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点，
．
分两种情况：
情况1：当时，
当时，
解得：或；
（i）当时，
．
函数的图象开口向下，对称轴为，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
，
当时符合题意，时不符合题意．
．
（ii）当时，，
．
函数的图象开口向上，对称轴为，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．
，
时符合题意．
．
情况2：当时，
，
．
，
函数的图象开口向上，对称轴为，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．
，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
当时，即的长随的长的增大而增大．
当时符合题意．
综上所述，的取值范围是或或
27．(1)见解析
(2)，见解析
【分析】（1）根据题意可得，则，由轴对称的性质可得，则可证明；
（2）在线段上取一点，连接，使得，证明，．则可证明，得到，进而可证明．再证明，推出，则，设，，据此可推出，证明，得到，则．
【详解】（1）证明：由题意得，，
．
点关于直线的对称点为点，
，
，
设，
．
∵，
；
（2）解：，证明如下：
如图所示，在线段上取一点，连接，使得，
．
∴，
．
点关于直线的对称点为点，
．
．
又，
，
，
由（1）知，
．
，
，
，
，
，
在中，设，
∴，
，
即，
在中，．
．
，
∴．
．
28．(1)
②
(2)
【分析】（1）①当根据定义求解即可；
②确定直线旋转后的新解析式，根据定义求解即可；
（2）根据定义，求解即可；
【详解】（1）解：①根据题意，得，
，
旋转后，
，
点O到的最小距离为，满足定义，此时符合要求；
点O到的最小距离为，不满足定义，此时不符合要求；
点O到的最小距离为点到的距离，与圆相切，距离等于半径1，满足定义，此时符合要求；
点O到的最小距离大于，不满足定义，此时不符合要求；
故的以点为中心关于“”的“关联线段”是；；
②解：设直线与x轴交于点G，与y轴交于点E,
则，，
，
，
，
将点O绕点逆时针旋转，得到，
连接，过点T作轴于点Z，则，，
故，
，
过点T作于点H，
，且，
此时直线与圆T相切，
，
过点H作轴于点Y，交圆T于点X，
则是等边三角形，
，
过点T作于点Q，
则，
故，
，
根据题意，得，故点C的横坐标为，
故，
解得；
故点横坐标的取值范围为；
（2）解：设的解析式为，根据题意，得，解得，
故线段的解析式为，
当点N与点A重合，且与之间的距离为3时，如图所示，
则，此时，
故；
当点M与点A重合，且与之间的距离为时，同理可得
故；
故；
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
A
C
B
C
C
C
D
D