2026年小升初数学思维强化训练专题03：比例应用题的应用(知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场)(学生版+解析)

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知识梳理
1. 比的基本概念
（1）比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。如 3:5 表示 3÷5。
（2）比的前项与后项：比号前面的数叫前项，后面的叫后项。
（3）比值：前项除以后项的商，如 3:5=35。
（4）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。如 3:5=6:10。
2. 化简比与求比值
（1）化简比：把比化成最简单的整数比。
整数比：用最大公约数约分，如 12:18=2:3
数比：先化为整数比，如 23:45=23×15:45×15=10:12=5:6
小数比：先化为整数比，如 0.4:0.6=4:6=2:3
（2）求比值：直接相除，结果可以是分数、小数或整数。
3. 比例的意义与性质
（1）比例：表示两个比相等的式子，如 3:4=6:8。
（2）比例的基本性质：内项积 = 外项积。即若 a:b=c:d，则 a×d=b×c。
（3）解比例：已知比例中三个量，求第四个量，利用“交叉相乘”法。
4. 核心应用题型
5. 解题策略与方法
（1）设份数法：将比看作“份数”，如 3:5 看作 3 份和 5 份，共 8 份。
（2）统一比：当两个比中同一个量份数不同，用最小公倍数统一。
（3）画线段图：帮助理解按比分配的数量关系。
（4）列表法：用于正反比例判断，列出两组数据看商或积是否相等。
（5）找不变量：在变化中找不变的量，是解复杂比例题的关键。
6. 正比例与反比例的判断
（1）正比例：两种相关联的量，一种量扩大，另一种也扩大，且比值不变。
公式： yx=k（一定）
举例：单价一定，总价与数量成正比。
（2）反比例：两种相关联的量，一种量扩大，另一种缩小，且乘积不变。
公式： x×y=k（一定）
举例：路程一定，速度与时间成反比。
7. 易错点提醒
（1）比与比值混淆（如 3:5 是比， 35 是比值）
（2）化简比未化到最简
（3）按比分配时未算总份数
（4）正反比例判断错误（未找“一定”的量）
（5）比例尺单位未统一
（6）连比转化时中间量未统一
8. 解题步骤
（1）读题找比：圈出“比”“是……的几分之几”“分成……比”等关键词
（2）确定类型：是按比分配？连比？正反比例？
（3）设份数或列比例式
（4）画图或列表辅助分析
（5）列式计算（分步列式，注意分数书写）
（6）验算作答
例题讲解
【例题1】（按比分配）
题目：学校把 360 本图书按 3:4:5 分给四、五、六年级，每个年级各分得多少本？
解析：
总份数： 3+4+5=12 份
每份图书： 360÷12=30（本）
四年级： 3×30=90（本）
五年级： 4×30=120（本）
六年级： 5×30=150（本）
答：四年级分得 90 本，五年级 120 本，六年级 150 本。
【跟踪训练】
题目：一种混凝土由水泥、沙子、石子按 2:3:5 配制而成，要配制 200 吨这种混凝土，需要水泥、沙子、石子各多少吨？
【例题2】（连比转化）
题目：甲与乙的比是 3:4，乙与丙的比是 6:7，求甲、乙、丙的连比。
解析：
乙是中间量，两个比中乙的份数不同（4 和 6），找最小公倍数 12
第一个比： 3:4=9:12（乘 3）
第二个比： 6:7=12:14（乘 2）
所以甲:乙:丙 = 9:12:14
答：甲、乙、丙的连比是 9:12:14。
【跟踪训练】
题目：A 与 B 的比是 5:6，B 与 C 的比是 8:9，求 A、B、C 的连比。
【例题3】（不变量问题）
题目：甲、乙两人原来钱数比是 5:3，后来甲给乙 10 元，两人钱数比变成 7:5。求原来甲有多少钱？
解析：
总钱数不变，设为单位“1”或找总份数
原来：甲 5 份，乙 3 份，共 8 份
后来：甲 7 份，乙 5 份，共 12 份
统一总份数：8 和 12 的最小公倍数是 24
原来：甲 5:3=15:9（乘 3），共 24 份
后来：甲 7:5=14:10（乘 2），共 24 份
甲减少 1 份，对应 10 元，所以每份 10 元
原来甲： 15×10=150（元）
答：原来甲有 150 元。
【跟踪训练】
题目：两桶油，原来重量比是 7:5，从甲桶倒出 6 千克给乙桶后，重量比变成 5:4。求甲桶原来重多少千克？
【例题4】（正比例应用）
题目：一辆汽车 3 小时行驶 180 千米。照这样计算，行驶 300 千米需要多少小时？（用比例解）
解析：
速度一定，路程与时间成正比
设需要 x 小时，则： 1803=300x
解比例： 180x=900 → x=5
答：需要 5 小时。
【跟踪训练】
题目：小明 4 分钟做了 24 道口算题。照这样计算，做 42 道题需要多少分钟？（用比例解）
提升练习
1.一个长方形的周长是 96 厘米，长与宽的比是 5:3。求这个长方形的面积。
2.甲、乙、丙三人共存款 2400 元，甲:乙 = 3:4，乙:丙 = 6:5。求三人各存款多少元？
3.两袋大米，原来重量比是 4:3，从第一袋取出 8 千克后，重量比变成 3:4。求原来第一袋重多少千克？
4.一项工程，原计划每天做 120 米，15 天完成。实际每天多做 30 米，实际多少天完成？（用反比例解）
5.在比例尺 1:5000000 的地图上，量得 A、B 两地距离是 12 厘米。一辆汽车以每小时 60 千米的速度从 A 地开往 B 地，几小时到达？
6.甲、乙两人原来图书本数比是 5:3，甲给乙 4 本后，甲比乙还多 2 本。求甲原来有多少本书？
模拟赛场（奥数难度）
1.甲、乙两数的比是 3:4，乙、丙两数的比是 5:6，三个数的和是 174。求乙数。
2.一个等腰三角形的周长是 72 厘米，腰与底边的比是 5:2。求底边长。
3.两筐苹果，原来重量比是 5:4，从甲筐取出 10 千克，乙筐放入 5 千克后，重量比变成 2:3。求原来甲筐重多少千克？
4.一辆汽车从 A 地到 B 地，原计划每小时行 60 千米，4 小时到达。实际每小时多行 20 千米，实际比计划少用多少小时？（用反比例解）
5.有含糖率 10% 的糖水若干克，加入 20 克糖后，含糖率变成 20%。若再加入 30 克水，求此时含糖率。（结果用分数表示）
6.甲、乙两人共存款 1800 元，甲取出自己存款的 15，乙存入 60 元，这时两人存款相等。求原来甲存款多少元？类型
关键特征
解题策略
按比分配问题
总量按一定比分成几部分
设每份为 x，列方程或用“总份数 = 总量 ÷ 总份数”
连比转化问题
三个量之间有两两比，需统一中间量
找中间量的最小公倍数，统一比
不变量问题
比发生变化，但某个量不变
找不变量，统一其份数
正比例应用题
两种量比值一定，如路程与时间（速度不变）
判断是否“商一定”
反比例应用题
两种量乘积一定，如长方形面积一定，长与宽
判断是否“积一定”
比例尺问题
图上距离 : 实际距离 = 比例尺
统一单位，用比例求解