四川省广元市苍溪县2026年数学中考一诊试卷

这是一份四川省广元市苍溪县2026年数学中考一诊试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ）
A．B．C．D．
2．用配方法解一元二次方程x2-10x+5=0，配方正确的是（ ）
A．（x+5）2=20B．（x-5）2=30C．（x-5）2=20D．（x+5）2=30
3．如图，在Rt△ABC中，∠A=35°，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，其中AB=2，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于点E，则DE的长为（ ）
A．19πB．29πC．1136πD．718π
4．奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从{A，B，C，D}四个字母中选取，且两位字母不能相同.为了提高安全性，系统自动排除以A开头或以D结尾的密码.奇奇随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是（ ）
A．512B．712C．12D．23
5．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（ ）
A．83B．93C．103D．63
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=108°，则∠BCD的度数是（ ）
A．127°B．108°C．126°D．72°
7．关于x的反比例函数y=2x，下列结论正确的是（ ）
A．其图象经过点（1，-2）
B．其图象位于第二、四象限
C．若其图象经过（a，a-1），则a=-1
D．其图象所在的每一个象限内，y随着x的增大而减小
8．如图，点D在△ABC的BC边上，△ABC∽△DBA，则下列结论正确的是（ ）
A．ABBC=CDABB．ABAC=BDCDC．ABBD=BCABD．∠BAD=∠ADC
9．已知α、β均为锐角，且满足sinα−12+tanβ−12=0，则α+β=（ ）
A．45°B．60°C．75°D．105°
10．如图图案都是由大小相同的黑点按一定的规律组成的，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个黑点，第③个图案有15个黑点，…，按此规律可知，第⑦图案中黑点的个数为（ ）
A．81B．77C．75D．70
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．已知 (x2+y2)(x2+y2−1)=12 ，则 x2+y2 的值是
12．有6张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6.从中随机抽取1张，该卡片上的数是2的整数倍的概率是 .
13．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷.在抛物线上取A，B，C，D四点，且线段AB，CD都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m，AB=2m，CD=4m，则点B到CD的距离为 m.
14．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于 12 MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为 ．
15．如图，在△ABC中，tanC=43，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AED使线段AE、BC相交于点F，若CF=5，EF=2，则AC= .
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在函数y=kx（k>0,x>0）的图象上，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，AE与BF交于点G，连接AF，BE.给出下面四个结论：①FGGB=EGGA；②△AFG∽△BEG；③S△AFB=S△AEB；④AD=BC.上述结论中，所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．计算：12+sin75∘−20250−−13−2−4cs30∘.
18．解下列方程：
（1）（x-4）2=9；
（2）x2-3x-1=0.
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=kxk≠0的图象交于A，C两点，与x轴、y轴分别交于点B，D，已知点A的坐标为（-2，4），点C的坐标为（8，m）.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P是直线AB下方反比例函数y=kx图象上一点，当△PAB的面积为24时，求点P的坐标.
20．我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动.为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了 ▲ 名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率.
21．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，点A，B的对应点分别为点E，D，连接AE，点D恰好落在线段AE上.
（1）求证：∠BAD=90°；
（2）连接BD，若AD=5，DE=2，求BD的长.
22．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD=2∠BAC，连接CD.过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于点F.
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）求证：OB•BF=BE•OF.
23．实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，按要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处，现将左侧的实验装置图抽象成侧面示意图.已知试管AB=24cm，BE=13AB，试管倾斜角∠ABG为12°，实验时，导管紧贴水面MN，延长BM交CN于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在同一直线上），经测得DE=28cm，MN=8cm，MN=NF，求DN的长.（结果保留整数）（参考数据：sin12°≈0.21，cs12°≈0.98，tan12°≈0.21）
24．材料一：某种旅游纪念品的进价为每件15元，销售单价不低于20元.
材料二：当销售单价定为20元时，每天可以销售100件，市场调查反映，销售单价每提高1元，日销量将会减少10件.
材料三：物价部门规定销售单价不能超过28元，且为正整数.商店按规定适当涨价销售.
（1）任务一：建立函数模型
设该纪念品的销售单价为x（单位：元），日销量为y（单位：件），日销售利润为W（单位：元），分别写出y与x，W与x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）任务二：设计销售方案
若日销售利润为540元，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获日销售利润最大？最大利润是多少？
25．综合与实践：
问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G.
（1）数学思考：线段BF和CG的数量关系 ；
（2）问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变.若AB=2，BC=3，求BFCG的值；
（3）问题拓展：在（2）的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出△CEG的面积.
26．如图1，抛物线y=ax2+bx+3过点A（-1，0），点B（3，0）与y轴交于点C.点M是抛物线一点，过点M作直线l⊥x轴，交x轴于点E，设M的横坐标为m（0＜m＜3）.
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）如图2，连接BC，连接AM交y轴于点N，交BC于点D，连接BM，设△BDM的面积为S1，△CDN的面积为S2，求S1-S2的最大值.
（3）设函数y在m≤x≤m+1内最大值为p，最小值为q，若p−q=12，直接写出m的值 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：
的左视图为
故答案为：C.
【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据左视图看到的图形，上方为矩形，下方为倒梯形，逐一区分实线和虚线，可得答案。
2．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程为 x2−10x+5=0.
移项得 x2−10x=−5.
方程两边同时加25得 x2−10x+25=−5+25.
配方得 (x−5)2=20.
故答案为：C.
【分析】先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式解答即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线，
∴DC=DB=DA=12AB=1，
∴∠ACD=∠A=35°，
∵∠CDE是△ACD的外角，
∴∠CDE=∠A+∠ACD=70°，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED=70°，
∴∠DCE=180°−∠CDE−∠CED=40°，
DE的长为40°⋅π⋅DC180°=2×π×19=29π．
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形斜边中线性质可得DC=DB=DA=12AB=1，根据等边对等角得到∠ACD=∠A=35°，即可根据三角形的外角得到∠CDE的度数，再根据三角形的外角和等边对等角求出∠DCE=40°，根据扇形弧长公式解答即可．
4．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列举出所有等可能的结果如下：
由表格可知，所有两位字母不同的密码共12种，其中满足“第一位不是A”且“第二位不是D”共有7种有效密码，
∴他设置的密码不会被系统排除的概率是P=712．
故答案为：B.
【分析】先通过列表法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
5．【答案】D
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：连接AC，过B作 BD⟂AC于D，
设圆锥侧面展开图的圆心角为 n∘,
圆锥底面圆周长为 2×2π=4π,lAC=6nπ180,
则n=120，
∵BC=BA,BD⊥AC,
∴∠ABD=60∘,
由AB=6，可求得BD=3，
∴AD=33,AC=2AD=63,
故答案为：D.
【分析】连接AC，过B作 BD⟂AC于D，首先求出BD的长，再利用勾股定理求出AD以及AC的长即可.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=108°，
∴∠BAD=12∠BOD=54°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∠BCD=180°−∠BAD=180°−54°=126°．
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理求得∠BAD=12∠BOD=54°​，再根据圆内接四边形的性质计算即可．
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、∵反比例函数解析式为y=2x，把x=1代入解析式得y=2≠−2，
∴图象不经过点(1,−2)，故此选项不符合题意；
B、∵k=2>0，
∴图象位于第一，三象限，故此选项不符合题意；
C、∵图象经过点(a,a−1)，
∴a−1=2a，整理得a2−a−2=0，解得a=2或a=−1，故此选项不符合题意；
D、∵k=2>0，
∴在图象的每一个象限内，y随着x的增大而减小，故此选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的图象和性质逐项判断解答即可.
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DBA，
∴ABBC=BDAB，ABAC=BDAD，ABBD=BCAB，∠BAD=∠ACD，
∴A、B、D错误，不符合题意，C正确，符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的对应边成比例，且对应角相等，逐项判断解答即可．
9．【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：∵|sinα−12|+(tanβ−1)2=0，且|sinα−12|≥0，(tanβ−1)2≥0，
∴sinα−12=0，tanβ−1=0，
∴sinα=12，tanβ=1，
∵α，β均为锐角，
∴α=30°，β=45°，
∴α+β=30°+45°=75°．
故答案为：C.
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，利用特殊锐角的三角函数值求出α，β的值，求和解答即可.
10．【答案】B
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第①个图案有2=1+12个黑点，
第②个图案有7=1+2+22个黑点，
第③个图案有15=1+2+3+32个黑点，
第④个图案有26=1+2+3+4+42个黑点，
…，
以此类推，得第n个图案中黑点个数为1+2+3+…+n+n2；
第⑦个图案中黑点个数为1+2+3+…+7+72=(1+7)×72+49=77；
故答案为：B．
【分析】先分为上边正方形和下边三角形分别求出黑点个数和得到规律：第n个图案中黑点个数为1+2+3+…+n+n2，然后代入n=7计算即可．
11．【答案】4
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设x2+y2=m，则原式可化为m(m-1)-12=0，整理可得m2-m-12=0，
因式分解，可得(m+3)(m-4)=0，
∴m=-3或m=4.
∵x2+y2=m≥0，
∴x2+y2=4.
故答案为：4.
【分析】设x2+y2=m，则原式可整理为m2-m-12=0，然后利用因式分解法就可求得m的值，接下来根据x2+y2=m≥0进行取舍即可.
12．【答案】12
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵共有6张卡片，数字分别为1，2，3，4，5，6，
其中是2的整数倍的数有2，4，6，共3个，
∴随机抽取1张是2的整数倍的概率为36=12．
故答案为：12．
【分析】根据概率公式计算即可．
13．【答案】1.8
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；平面直角坐标系的构成；二次函数的其他应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：如图建立坐标系：
∵抛物线最高点P到AB的距离为0.6m，AB=2m，CD=4m，
∴P(0,0.6)，B(1,0)，
设y=ax2+0.6，将B(1,0)代入得，0=a+0.6，
解得a=−0.6，即y=−0.6x2+0.6，
当x=12CD=2时，y=−0.6×22+0.6=−1.8，
即点B到CD的距离为1.8m，
故答案为：1.8．
【分析】以AB所在直线为x轴，过AB中点的垂线为y轴建立平面直角坐标系，根据顶点式求出二次函数解析式，然后代入x=2求出y的值解答即可．
14．【答案】15
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵由题意可知，AQ是∠DAB的平分线，
∴∠DAQ=∠BAQ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，
∴∠DAQ=∠DAQ，
∴△AQD是等腰三角形，
∴DQ=AD=3．
∵DQ=2QC，
∴QC= 12 DQ= 32 ，
∴CD=DQ+CQ=3+ 32 = 92 ，
∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（ 92 +3）=15．
故答案为：15．
【分析】根据角平分线的性质可知∠DAQ=∠BAQ，再由平行四边形的性质得出CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，故可得出△AQD是等腰三角形，据此可得出DQ=AD，进而可得出结论．
15．【答案】212
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点F作FG⊥AC于点G，
∴tanC=FGCG=43，
设FG=4x，则CG=3x，
∴CF=CG2+FG2=5x=5，
得x=1，
则FG=4，CG=3，
由翻折得AC=AE，
设AC=AE=y，
则AG=AC−CG=y−3，AF=AE−EF=y−2，
在Rt△AFG中，AF2=AG2+FG2，
即(y−2)2=(y−3)2+42，
解得：y=212，
即AC=212，
故答案为：212．
【分析】过点F作FG⊥AC于点G，根据正切设FG=4x，CG=3x，根据CF=5，利用勾股定理求出FG=4，CG=3，根据翻折可得AC=AE，设AC=AE=y，则AG=y−3，AF=y−2，在Rt△AFG中根据勾股定理求出y的值解答即可．
16．【答案】①③④
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的两点一垂线型；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：①∵点A，B在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，
∴设点A的坐标为(a,ka)，点B的坐标为(b,kb)，
∵AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，AE与BF交于点G，
∴FG=a，AE=ka，BF=b，EG=kb，
∴GB=BF−FG=b−a，AG=AE−EG=ka−kb=bk−akab，
∴FGGB=ab−a，EGGA=kbbk−akab=ab−a，
∴FGGB=EGGA，故结论①正确；
②∵AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，AE与BF交于点G，
∴∠GEO=∠GFO=∠EOF=90°，
∴四边形OEGF是矩形，
∴∠EGF=90°，
∴∠AGF=∠BGE=90°，
由结论①正确得：FGGB=EGGA，
∴FGEG≠GAGB，
∴△AFG和△BEG不相似，故结论②不正确；
③∵∠AGF=∠BGE=90°，
∴S△AGF=12FG⋅GA，S△BGE=12GB⋅EG，
由结论①正确得FGGB=EGGA，
∴FG⋅GA=GB⋅EG，
∴S△AGF=S△BGE，
∴S△AGF+S△ABG=S△BGE+S△ABG，即S△AFB=S△AEB，故结论③正确；
④连接EF，如图所示：
∵四边形OEGF是矩形，
∴∠FGE=∠BGA=90°，
由结论①正确得FGGB=EGGA，
在△EFE和△GBA中，FGGB=EGGA，∠FGE=∠BGA=90°，
∴△GFE∽△GBA，
∴∠GFE=∠GBA，
∴FE∥AB，即FE∥CD，
∵AE⊥x轴于点E，BF⊥y轴于点F，
∴AE∥DF，BF∥OC，
∴四边形AEFD和四边形BFEC都是平行四边形，
∴EF=AD，EF=BC，
∴AD=BC，故结论④正确，
综上所述：正确的结论的序号是①③④．
故答案为：①③④．
【分析】设点A(a,ka)，点B(b,kb)，即可得到FG=a，AE=ka，BF=b，EG=kb，进而得GB，AG的长，由此得FGGB=ab−a=EGGA，判断①；证明四边形OEGF是矩形，即可得到∠EGF=90°，结合①得FGEG≠GAGB，判定△AFG和△BEG不相似判断②；利用三角形的面积公式表示△AGF和△AGF，根据①的结论FGGB=EGGA，可得S△AGF=S△BGE，判断③；连接EF，根据两边成比例且夹角相等即可得到△EFE和△GBA相似，即可得到∠GFE=∠GBA，然后证明AEFD和BFEC都是平行四边形，即可得到EF=AD，EF=BC，判断④解答即可.
17．【答案】解：12+(sin75°−2025)0−(−13)−2−4cs30°
=23+1−9−4×32
=23+1−9−23
=−8．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算二次根式的化简、零指数幂、负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值，然后运算乘法，再合并同类项解答即可．
18．【答案】（1）解：(x−4)2=9，
∴x−4=±3，
∴x−4=3或x−4=−3，
∴x1=7，x2=1；
（2）解：x2−3x−1=0，
∵Δ=(−3)2−4×1×(−1)=9+4=13>0，
∴x=3±132，
∴x1=3+132， x2=3−132．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程；
（2）根据公式法解一元二次方程，即可求解．
19．【答案】（1）解：把点A(−2,4)代入y=kx(k≠0)得4=k−2，
∴k=−8，
∴反比例函数的解析式为y=−8x，
把(8,m)代入y=−8x得m=−1，
∴点C的坐标为(8,−1)，
把A(−2,4)和点C(8,−1)代入y=ax+b得−2a+b=48a+b=−1，解得a=−12b=3
∴一次函数的解析式为y=−12x+3．
综上所述：∴反比例函数的解析式为y=−8x，一次函数的解析式为y=−12x+3．
（2）解：设点P的坐标为(n,−8n)，
∵A(−2,4),B(6,0)，
当点P在第四象限时，如图所示：
∵S△PAB=S矩形AEFG−S△AEP−S△PGB−S△AFB
∴S△PAB=[6−(−2)]×[4−(−8n)]−12×8×4−12(4+8n)(n+2)−12×8n× (6−n)=24，
解得：n1=2,n2=−8（不合题意舍去），
当点P在第二象限时，如图所示：
∵S△PAB=S梯形PEFA+S△AFB−S△PEB
∴S△PAB=12×(4−8n)(−n−2)+12×8×4−12×(−8n)(6−n)=24，
解得：n3=−8,n4=2（不合题意舍去），
综上所述，点P的坐标为(2,−4)或(−8,1)．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）把点A(−2,4)代入反比例函数的解析式求出k，把(8,m)代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后根据待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）设点P的坐标为(n,−8n)，分为①当点P在第四象限时，S△PAB=S矩形AEFG−S△AEP−S△PGB−S△AFB；②当点P在第二象限时，S△PAB=S梯形PEFA+S△AFB−S△PEB；列方程求出n的值解答即可．
20．【答案】（1）400；
补全条形统计图，如图即为所求；
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（2）解：160400×1500=600（名）
答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名；
（3）解：树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种，
∴P（甲乙两人同时被选中）=212=16．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：抽取总人数为80÷20%=400（名），
等级D的人数为400−120−160−80=40（名），
故答案为：40；
【分析】（1）由C等级的人数除以它的占比可得抽取人数，再由总人数减去其它等级人数得到D等级人数，补全条形统计图即可；
（2）用1500乘以样本中B等级人数占比即可解答；
（3）画树状图得到所有等可能的结果数，然后得到甲乙两人同时被选中的结果数，利用概率公式解答．
21．【答案】（1）∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，点A，B的对应点分别为点E，D，
∴∠CAB=∠CED，
∵∠ACE=90°，且点D恰好落在线段AE上，
∴∠CAD+∠AEC=90°，
∴∠CAD+∠CAB=90°，
∴∠BAD=90°
（2）解：由旋转的性质可知AB=DE=2，
∵∠BAD=90°，AD=5，
∴在Rt△ABD中，BD=AB2+AD2=4+25=29．
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【知识点】勾股定理；旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）利用旋转性质得到∠CAB=∠CED，∠ACE=90°，进而得到∠CAD+∠CAB=90°，从证明结论即可；
（2）由旋转的性质可得AB=DE=2，再在Rt△ABD中根据勾股定理求出BD长​．
22．【答案】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
又∵∠BOC=∠1+∠2，
∴∠BOC=2∠1，
又∵∠ABD=2∠1，
∴∠ABD=∠BOC，
∴OC∥DB，
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CF，
又∵OC为⊙O的半径，
∴CF为⊙O的切线；
（2）证明：由（1）知OC⊥CF，
∴∠OCF=90°，
∵BE⊥CF，
∴∠BEF=90°，
∵∠F=∠F，
∴△BEF∽△OCF，
∴BEBF=OCOF，
∴BE•OF=BF•OC，
∴OB•BF=BE•OF.
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；内错角相等，两直线平行；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接OC，根据等边对等角得到∠1=∠2，然后根据外角可得∠BOC=2∠1，即可得到∠ABD=∠BOC，然后根据内错角相等，两直线平行得到OC∥DB，再根据平行线的性质得到∠OCF=∠DEF=90°，进而证明结论；
（2）利用两角对应相等得到△BEF∽△OCF，然后根据对应边成比例解答即可．
23．【答案】解：如图，延长GB、NM交于H，
∵MN⊥CF，BG⊥DE，DE⊥CN，
∴四边形GDNH为矩形，
∴DN=GH，NH=DG，
∵AB=24cm，BE=13AB，
∴EB=8cm，
在Rt△BGE中，∠ABG=12°，EB=8cm，
则BG=EB⋅cs∠ABG≈8×0.98=7.84cm，
EG=EB⋅sin∠ABG≈8×0.21=1.68cm，
∴DG=DE−EG=26.32cm，
∵MN=8cm，
∴MH=NH−MN=26.32−8=18.32cm，
∵MN=NF，∠MNF=90°，
∴∠NMF=∠NFM=45°，
∴∠MBH=∠BMH=45°，
∴BH=MH=18.32cm，
∴DN=GH=GB+BH=7.84+18.32≈26cm．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；矩形底座模型
【解析】【分析】延长GB、NM交于H，即可得到四边形GDNH为矩形，求出EB长，利用正弦的定义求出BG和EG，即可求出MH的长，再根据等腰直角三角形的性质解答即可．
24．【答案】（1）解：由材料二可得，当销售单价为20元时，每天可以销售100件，销售单价每提高1元，日销量减少10件，
∴日销量y=100−10(x−20)=−10x+300，
由材料一可得，销售单价不低于20元，
由材料三可得，销售单价不能超过28元，且为正整数．
∴x的取值范围为20≤x≤28，且为正整数．
∴日销售利润W=(x−15)y=(x−15)(−10x+300)=−10x2+450x−4500，
∴y关于x的函数解析式为y=−10x+300（20≤x≤28，且为正整数），W关于x的函数解析式为W=−10x2+450x−4500（20≤x≤28，且为正整数）；
（2）解：由题意得，当W=540时，即−10x2+450x−4500=540，
整理得x2−45x+504=0，即(x−21)(x−24)=0，
解得x1=21，x2=24，
∵20≤x≤28，
∴销售单价应定为21元或24元，
答：销售单价应定为21元或24元；
（3）解：W=−10x2+450x−4500=−10(x−22.5)2+562.5，
∵20≤x≤28且x为正整数，
∴当x=22或x=23时，W最大，
当x=22时，W=−10×222+450×22−4500=560（元），
当x=23时，W=−10×232+450×23−4500=560（元），
∴最大利润为560元，
答：销售单价定为22元或23元时，销售该纪念品所获日销售利润最大，最大利润是560元．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“销售单价为20元时，每天可以销售100件，销售单价每提高1元，日销量减少10件”列出y关于x的函数解析式，根据单利润×销售量=总利润列出W关于x的函数解析式；
（2）令W=540，解一元二次方程求出x的值解答即可；
（3）配方得到顶点式，然后根据二次函数的性质求出最大值解答即可．
25．【答案】（1）BF=CG
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC=90°，
∴∠BCE+∠EFB=90°，∠FEB+∠BEC=90°，
∴∠EFB=∠ECG，
又∵BE⊥EG，
∴∠CEG+∠BEC=90°，
∴∠FEB=∠CEG，
∴△BFE∽△GCE，
∴BFCG=EFEC，
在Rt△ABC中，tan∠ACB=ABBC=23，
∴tan∠ECF=23，
∴EFEC=23，
∴BFCG=23
（3）1516
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∴∠BAC=∠ACB=45°，∠ACD=∠DAC=45°，
∵EF⊥AC，
∴∠FEC=90°，
∴∠EFC=90°−∠ACF=90°−45°=45°，
∴∠EFC=∠ECF=∠ECG，
∴EF=EC，
∵BE⊥EG，
∴∠BEG=90°，
∴∠BEG=∠FEG，
∴∠BEC+∠CEG=∠BEG+∠FEB，
∴∠FEB=∠CEG，
∴△BEF≌△GEC(ASA)，
∴BF=CG．
故答案为：BF=CG．
（3）过点E作EM⊥CD于M，EN⊥BC于点N，
∵E为AC的中点，
∴AC=EC，
∵EM⊥DC，AD⊥DC，
∴EM∥AD，
∴CMDM=ECAE，
∴DM=CM=1，
同理可得BN=CN=32，
由（2）知△BFE∽△GCE，
∴∠EBF=∠G，
∴tan∠EBN=ENBN=23=tanG=EMGM，
∴32CG+1=23，
∴CG=54，
∴S△CEG=12CG•EM=12×54×32=1516．
故答案为：1516.
【分析】（1）根据正方形的性质，利用ASA得到△BEF≌△GEC，根据对应边对应相等解答即可；
（2）根据矩形的性质，利用两脚对应相等得到△BEE∽△GCE，再根据对应边成比例得到BFCG=EFEC，根据正切的定义解答即可；
（3）过点E作EM⊥CD于M，EN⊥BC于点N，即可得到DM=CM=1，BN=CN=32，由（2）知△BEE∽△GCE，即可得到∠EBF=∠G，根据正切的定义求出CG的长，利用三角形面积公式解答即可．
26．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为y=a(x−x1)(x−x2)，
则y=a(x+1)(x−3)=ax2−2ax−3a，
则−3a=3，解得a=−1，
故抛物线的表达式为y=−x2+2x+3，
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线的顶点坐标为(1,4)．
（2）解：设点M的坐标为(m,−m2+2m+3)，
由点A、M的坐标得，直线AM的表达式为y=(3−m)(x+1)，
则点N的坐标为(0,3−m)，
设四边形ONDB的面积为S，
则S+S1=S△ABM−S△AON=12×AB⋅ME−12×AO⋅ON=12⋅(3+1)×(−m2+2m+3)−12×1×(3−m)=−2m2+92m+92；
则S+S2=S△BOC=12×OB×OC=92，
则S1−S2=(S+S1)−(S+S2)=−2m2+92m，
∵−2