2025-2026学年广东省广州市越秀区真光中学八年级（下）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年广东省广州市越秀区真光中学八年级（下）期中数学试卷（含答案+解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.函数y= x−1的自变量x的取值范围是( )
A. x>−1B. x>1C. x≥−1D. x≥1
2.下列运算正确的是( )
A. 3 2− 2=3B. (a2b)3=a6b3
C. a2⋅a3=a6D. (x−3)2=x2−9
3.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=1：2：3；③∠A，∠B都是锐角；④△ABC三个外角的度数之比是3：4：5；⑤∠A=2∠B=3∠C，其中能确定△ABC为直角三角形的条件有( )
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
4.若菱形的边长为5，一条对角线长为6，则菱形的面积为( )
A. 8B. 12C. 20D. 24
5.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为14cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为48cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时(D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离DE为40cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为( )
A. 30cmB. 28cmC. 41cmD. 18cm
6.下列四个选项中，说法不正确的是( )
A. 在匀速运动公式s=vt中，s是t的函数，v是常量
B. 在圆的周长公式C=2πr中，2是常量，π，r，C均为变量
C. 入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为α，反射角的角度为β，那么β是α的函数
D. 一种金属，其质量是体积的函数
7.下列说法正确的有( )
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②平行四边形的对角互补；
③两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；
④平行四边形的四个内角之比可以是2：3：2：3.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
8.如图，菱形ABCD的边AD在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(−1,0)，(0,2)，顶点C的坐标为( )
A. (2,2)
B. ( 5,2)
C. (2, 5)
D. ( 3,2)
9.如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则a+b的值是( )
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
10.如图，正方形ABCD的边长为定值，E是边CD上的动点(不与点C，D重合)，AE交对角线BD于点F，FG⊥AE交BC于点G，GH⊥BD于点H.现给出下列结论：
①AF=FG；
②△GEC的周长为定值；
③FH的长度为定值.
则正确的是( )
A. ①②③
B. ①②
C. ①③
D. ①
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若正多边形的一个内角比它的一个外角大36∘，则这个多边形的边数为 .
12.若 8与最简二次根式 m+1能合并，则m的值为 .
13.如图，数轴上的点A表示的数是 .
14.如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD于点E，点F是BC的中点，若BD=10，则EF的长为 .
15.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=8，AD=10，点E为BC上的一点，连接DE，F为DE的中点，若OF=3，则CF的长为 .
16.如图，正方形ABCD中，点P为BD(BD>6)上一动点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交CD边所在直线于点Q.点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为6，则AQ的中点M移动的路径长为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)4 5+ 45− 20；
(2)23 9x+6 x4(x≥0).
18.(本小题6分)
已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简 (b+c)2+|a−c|+ b2−2ab+a2.
19.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，延长CB到点E，使得BE=BC，连接AE，BD，若AE=AB.求证：AB=DB.
20.(本小题8分)
学校内有一块如图所示的三角形空地，计划开辟为生物园，测得AC=10米，BC=24米，AB=26米.如果沿CD修一条水渠且D点在AB边上，水渠的造价为130元/米，当水渠的造价最低时，CD的长为多少米？最低造价是多少元？
21.(本小题8分)
周长为20cm的矩形，若它的一边长是x cm，面积是Scm2.
(1)请用含x的式子表示S，并指出常量与变量；
(2)当x=6时，求S的值.
22.(本小题10分)
某校“综合与实践”小组开展了“哪种高度的物体能进电梯？”的实践活动.他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表(不完整).
23.(本小题12分)
如图，AE//BF，BD平分∠ABF，交AE于点D.
(1)动手操作：作∠BAE的角平分线AC(尺规作图，保留作图痕迹)，交BF于点C，交BD于点O，连接CD；
(2)探究求证：四边形ABCD是菱形；
(3)应用练习：若BD=8，∠ABD=30∘，求菱形ABCD的周长.
24.(本小题14分)
阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点A(x1,0)、B(x2,0)的距离记作AB=|x1−x2|，如果A(x1,y1)，B(x2,y2)是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离.
如图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分别是M1、N1、M2、N2，直线AN1交BM2于点Q，在Rt△ABQ中，AQ=|x1−x2|，BQ=|y1−y2|，∴AB2=AQ2+BQ2=|x1−x2|2+|y1−y2|2=(x1−x2)2+(y1−y2)2.
由此得到平面直角坐标系内任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2)间的距离公式为：AB= (x1−x2)2+(y1−y2)2.
(1)直接应用平面内两点间距离公式计算点A(1,−2)，B(−2,2)之间的距离为______；
(2)在平面直角坐标系中的两点A(−1,3)，B(4,1)，P为x轴上任一点，PA+PB的最小值为______；
(3)应用平面内两点间的距离公式，代数式 x2+(y−2)2+ (x−3)2+(y−1)2的最小值为______；
(4)应用拓展：如图，若点D在BC上运动，AD⊥BC，AD=3，BC=5，连接AB，AC，求△ABC的周长的最小值.
25.(本小题14分)
在边长为2的正方形纸片ABCD中，点E在AB边上，连接CE，将△BCE沿CE折叠，得到△B′CE.
(1)如图1，若点B′落在对角线AC上，求BE的长；
(2)如图2，若CB′的延长线与AD相交于点F，猜想BE，AF，B′F的数量关系，并证明；
(3)如图3，点G是AD的中点，连接GB′，当GB′的长最短时，求AE的长.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意得：x−1≥0，
解得：x≥1.
故选：D.
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、3 2− 2=2 2，故此选项不符合题意；
B、(a2b)3=a6b3，故此选项符合题意；
C、a2⋅a3=a5，故此选项不符合题意；
D、(x−3)2=x2−6x+9，故此选项不符合题意；
故选：B.
根据二次根式的加减法则、幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式分别计算判断即可．
本题考查了二次根式的加减、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，正确计算是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：①∠A+∠B=∠C时，∠C=90∘，△ABC为直角三角形；
②∠A：∠B：∠C=1：2：3时，∠A=30∘，∠B=60∘，∠C=90∘，△ABC为直角三角形；
③∠A，∠B都是锐角，△ABC不一定是直角三角形；
④△ABC三个外角的度数之比是3：4：5时，三个外角的度数分别为90∘，120∘，150∘，△ABC为直角三角形；
⑤∠A=2∠B=3∠C时，∠A=1080∘11，∠B=540∘11，∠C=360∘11，△ABC不是直角三角形；
故选：C.
根据三角形内角和定理分别求出三角形的角，根据直角三角形的性质判断即可．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=5，BD=6，
∴OB=12BD=3,AC=2OA,AC⊥BD，
在直角三角形AOB中，由勾股定理得：OA= AB2−OB2=4，
∴AC=2OA=8，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×6×8=24，
故选：D.
根据菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理求出另一条对角线的长度，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质．
5.【答案】A
【解析】解：由题意得：∠ACB=∠AED=90∘，AB=AD，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB= AC2+BC2= 482+142=50(cm)，
∴AD=AB=50cm，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE= AD2−DE2= 502−402=30(cm)，
故选：A.
根据题意得∠ACB=∠AED=90∘，AB=AD，由勾股定理求出AB的长，再由勾股定理即可求出AE的长．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：在匀速运动公式s=vt中，s是t的函数，v是常量，
∴A正确，不符合题意；
在圆的周长公式C=2πr中，2，π是常量，r，C均为变量，
∴B不正确，符合题意；
入射光线照射到平面镜上，如果入射角的角度为α，反射角的角度为β，那么β是α的函数．
∴C正确，不符合题意；
在质量=密度×体积中，密度为常数，质量是体积的函数，
∴D正确，不符合题意．
故选：B.
AB.根据常量的定义判断即可；
C.反射角的角度β随入射角的角度α改变而变化，据此判断即可；
D.根据质量=密度×体积判断即可．
本题考查函数的概念、常量与变量，掌握常量与变量的定义是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理，故①正确；
②平行四边形的性质为对角相等，邻角互补，并非对角互补，故②错误；
③将两个全等三角形的一组相等边重合反向拼接，即可得到平行四边形，故③正确；
④平行四边形对角相等，邻角互补，若四个内角比为2：3：2：3，满足对角占比相等，根据四边形内角和为360∘，可计算得四个角分别为360∘×22+3+2+3=72∘，360∘×32+3+2+3=108∘，360∘×22+3+2+3=72∘，360∘×32+3+2+3=108∘，满足对角相等，邻角和为180∘，符合平行四边形的性质，故④正确，
综上，正确的说法共有3个，
故选：C.
根据平行四边形的判定和性质，逐一判断每个说法的正误即可得到答案．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：过C作CH⊥x轴于H，
∵A，B的坐标分别为(−1,0)，(0,2)，
∴OA=1，OB=2，
∵∠AOB=90∘，
∴AB= AO2+OB2= 5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB= 2，BC//AB，
∵BO⊥OH，CH⊥OH，
∴四边形OBCH是矩形，
∴OH=BC= 5，CH=OB=2，
∴C的坐标是( 5,2).
故选：B.
过C作CH⊥x轴于H，由A，B的坐标，得到OA=1，OB=2，由勾股定理求出AB= 5，由菱形的性质推出BC=AB= 2，BC//AB，判定四边形OBCH是矩形，得到OH=BC= 5，CH=OB=2，即可求出C的坐标．
本题考查菱形的性质，关键是由勾股定理求出AB的长，判定四边形OBCH是矩形．
9.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
1+12ab×4=41，
解得ab=20，
∵a2+b2=41，
∴(a+b)2−2ab=41，
∴(a+b)2=41+2ab=41+2×20=81，
∴a+b=9或a+b=−9(不合题意，舍去)，
即a+b=9，
故选：A.
根据图形可知：小正方形的面积+四个直角三角形的面积=大正方形的面积，大正方形的面积=直角三角形斜边的平方，然后即可计算出a+b的值．
本题考查勾股定理的证明，正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10.【答案】A
【解析】解：如图1，四边形ABCD是正方形，连接FC，
∴∠ABD=∠CBD=45∘，AB=BC=AD=CD，∠ABC=90∘.
在△ABF和△CBF中，
BF=BF∠ABF=∠CBFAB=CB，
∴△ABF≌△CBF(SAS).
∴AF=FC，∠BAF=∠BCF.
∵FG⊥AE，
∴∠AFG=90∘.
∵四边形ABGF的内角和为360∘，
∴∠ABC+∠BAF+∠AFG+∠BGF=360∘.
∴∠BAF+∠BGF=180∘.
∵∠BGF+∠FGC=180∘，
∴∠FGC=∠BAF，
∴∠FGC=∠FCG=∠BAF，
∴FG=FC，
∴AF=FG，
∴①的结论正确；
如图2，延长CB至点K，使BK=DE，则GK=BG+BK=BG+DE，连接AK，
在△ABK和△ADE中，
AB=AD∠ABK=∠ADE=90∘BK=DE，
∴△ABK≌△ADE(SAS)，
∴∠BAK=∠DAE，AK=AE，
∵∠DAE+∠BAE=90∘，
∵∠BAK+∠BAE=90∘.即∠KAE=90∘，
∵FG⊥AF，AF=FG，
∴∠GAF=∠AGF=45∘，
∴∠KAG=∠EAG=45∘，
∵AG=AG，
∴△AGK≌△AGE(SAS)，
∴KG=EG，
∴△GEC的周长=GE+CG+CE=GK+CG+CE=BG+DE+CG+CE=BC+CD为定值，
∴②的结论正确；
如图3，四边形ABCD是正方形，连接AC，AC与BD交于点O，
∴AC⊥BD，OA=12AC= 22AB，
∴∠AOF=90∘，
∴∠OAF+∠AFO=90∘=∠HFG+∠AFO，
∴∠OAF=∠HFG，
∵GH⊥BD，
∴∠GHF=90∘，
∴∠AOF=∠GHF，
∵AF=FG，
∴△AOF≌△FHG(AAS)，
∴FH=OA=12AC= 22AB，
∵正方形ABCD的边长AB为定值，
∴FH的长为定值，
∴③的结论正确，
综上所述，正确的结论为①②③，
故选：A.
连接FC，先证明△ABF≌△CBF(SAS)得到AF=FC，∠BAF=∠BCF，再证明∠FGC=∠FCG=∠BAF得到AF=FC=FG.①的结论正确；延长CB至点K，使BK=DE，连接AK，先证明△ABK≌△ADE(SAS)得到∠BAK=∠DAE，AK=AE，再证明△AGK≌△AGE(SAS)得到KG=EG，即可得到△GEC的周长=GE+CG+CE=BC+CD为定值；②的结论正确；连接AC，AC与BD交于点O，证明△AOF≌△FHG(AAS)得到FH=OA=12AC= 22AB为定值，③的结论正确
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11.【答案】5
【解析】解：设内角为x∘，则外角为(x−36)∘，由题意得：
x+x−36=180，
解得：x=108，
则外角为108∘−36∘=72∘，
多边形的边数：360∘÷72∘=5，
故答案为：5.
首先设内角为x∘，则外角为(x−36)∘，根据内角与相邻外角和为180∘可得方程x+x−36=180，计算出x的值，进而可得外角的度数，然后可得多边形的边数．
此题主要考查了正多边形和圆，解题的关键是掌握内角与相邻外角和为180.
12.【答案】1
【解析】解： 8= 4× 2=2 2，
∵ 8与最简二次根式 m+1能合并，
∴ m+1的被开方数与2相同，
即m+1=2，解得m=1，
故答案为：1.
先将 8化简为2 2，被开方数为2，因此 m+1的被开方数也应为2，即可得出结果．
本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．
13.【答案】1− 5
【解析】解：由题知，
因为 12+22= 5，
所以点A表示的数为1− 5.
故答案为：1− 5.
根据题意，先求出斜边的长，再结合数轴上的点所表示数的特征进行计算即可．
本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：∵AD=AC，AE⊥CD，
∴CE=ED，
又∵CF=FB，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF=12BD=12×10=5，
故答案为：5.
首先，根据等腰三角形的性质确定CE=ED；然后，利用三角形中位线定理计算EF的长度．
本题主要利用等腰三角形的性质和三角形中位线定理来求解EF的长度，掌握其相关知识点是解题的关键．
15.【答案】2 5
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90∘，OD=OB，AD=BC=10，DC=AB=8，
∵F为DE的中点，
∴OF是△DBE的中位线，
∴BE=2OF=6，
∵CD=8，BC=10，
∴CE=BC−BE=10−6=4，
∴DE= CD2+CE2= 82+42=4 5，
∵F为DE的中点，
∴CF=12DE=12×4 5=2 5，
故答案为：2 5.
根据矩形的性质得出OD=OB，进而利用三角形中位线得出BE=6，进而利用勾股定理得出DE，进而利用直角三角形的性质解答即可．
本题考查矩形的性质，中位线，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，关键是根据矩形的性质得出OD=OB解答．
16.【答案】3 2
【解析】解：当点P在点B处时，点M在正方形对角线的交点处，
连接AC交BD于点M，作PN⊥CD于点N，PF⊥AD于点F，延长FP交BC于点E，
则∠PNC=∠PNQ=∠PFA=∠BEF=∠CEF=90∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBP=45∘，AP=PC，PF=PN，∠ADC=∠BCD=90∘，点M是AC的中点，
∴∠FPN=90∘，四边形PNCE是矩形，
∴∠NPQ+∠QPF=90∘，CN=PE，
∵PQ⊥AP，
∴∠APF+∠QPF=90∘，
∴∠NPQ=∠APF，
∴△APF≌△QPN，
∴AP=PQ，
∴CP=PQ，
∴CQ=2CN，
∵BP=6，
∴PE=3 2，
∴CN=3 2，
∴CQ=6 2，
∵点M′是AQ的中点，
∴MM′=12CQ=3 2，
∴AQ的中点M移动的路径长3 2，
故答案为：3 2.
连接AC交BD于点M，作PN⊥CD于点N，PF⊥AD于点F，延长FP交BC于点E，易得AP=PC，PN=PF，进而判断出AP=PQ，那么PC=PQ，那么CQ=2NC，易得PE的长，即可求得CN的长，进而根据三角形的中位线定理可得MM′的长．
本题考查点的轨迹的相关问题．判断出所求的路径长是MM′的长度是解决本题的关键．
17.【答案】5 5 5 x
【解析】解：(1)原式=4 5+3 5−2 5=5 5；
(2)原式=23×3 x+6× x2
=2 x+3 x
=5 x.
(1)先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
(2)先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可．
本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解题的关键．
18.【答案】解：根据实数a，b，c在数轴上对应点的位置可得：b