2025-2026学年浙江省杭州市萧山区九年级（下）期中数学试卷（含答案+解析）

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1.2026的相反数是( )
A. 2026B. −2026C. 12026D. −12026
2.榫卯构件在我国古建筑中经常使用.如图是某个部件“榫”的示意图，它的主视图为( )
A.
B.
C.
D.
3.截至2025年12月，我国生成式人工智能(AI)的用户规模最新官方数据为6.02亿人，将数据602000000用科学记数法可表示为( )
A. 60.2×107B. 6.02×108C. 6.02×109D. 0.602×109
4.春节是中华民族的传统节日，人们常用贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿.如图，四盏灯笼A，B，C，D的坐标分别是(−4,3)，(−2,3)，(−3,3)，(2,3)，要使四盏灯笼组成的图形关于y轴对称，则平移的方法可以是( )
A. 将灯笼A向右平移7个单位B. 将灯笼B向右平移5个单位
C. 将灯笼C向右平移4个单位D. 将灯笼D向右平移2个单位
5.下列计算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a2⋅a3=a6C. (−a3)2=a6D. a8÷a2=a4
6.一次体质健康检测中，某班体育委员对该班20名男生做“引体向上”的个数进行了统计，并制作如下统计表：
则这20名男生做“引体向上”个数的中位数是( )
A. 7B. 9C. 10D. 11
7.如图，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为(1,0)，点D的坐标为(3,0).则ACDF的值为( )
A. 12
B. 14
C. 23
D. 13
8.《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为( )
A. y−x=4.5x−0.5y=1B. y−x=4.5x+0.5y=1C. x+y=4.5x−y=1D. x+y=4.5y−x=1
9.如图，在△ABC中，∠B=30∘，∠C=45∘，AC= 2.以点A为圆心，以AC为半径作弧交BC于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于12CD长度为半径作两弧，两弧交于点E，连接AE交BC于点F.则BD的长为( )
A. 3− 2
B. 3−1
C. 1
D. 2−1
10.如图，已知在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限，点A在y轴上，点B在x轴上，对角线AC//x轴，反比例函数y=kx(k>0)的图象与菱形的边AD，BC分别交于点E，F，当k的值发生变化时，图中线段的比值不变的为( )
A. DECGB. AEAGC. AGCGD. AEBF
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：a2−3a=______.
12.不等式组x+2≥33x−44，则a>2”是假命题，你举的反例a的值为 .(写出一个a的值即可)
14.某学校食堂提供A，B，C三种营养套餐，若小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是 .
15.幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛书(图1)用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方(图2)，将9个数填在3×3(三行三列)的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方.图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个三阶幻方，则x的值为 .
16.如图，在Rt△ABC中，点D在BC上，∠BAD=2∠C，过AD上一点E作EF⊥BD于点F，使得AE=EF，连结AF，若DF=5，CD=4，则AB的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
计算： 9+|−6|−(12)−1.
18.(本小题9分)
解分式方程：5x+2−2x−1=0.
19.(本小题9分)
如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F.
(1)求证：△ADF≌△CBE.
(2)若∠A=40∘，求∠BEC的度数.
20.(本小题9分)
学校为了响应国家“五育并举”的号召，增强学生体质，计划开展阳光体育锻炼活动.学校准备开设以下四个球类项目：A(羽毛球)，B(乒乓球)，C(篮球)，D(排球)，每位被调查者必须且只能选择最喜爱的一种球类运动项目，并将调查结果进行了统计，绘制成了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次接受调查的学生共有多少人？
(2)若该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢“乒乓球”的学生人数.
21.(本小题9分)
【阅读理解】配方法是数学中重要的一种解题方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题，求代数式最大值、最小值的问题，等等.
例如：求代数式x2+6x+13的最小值.
解：x2+6x+13=x2+6x+9+4=(x+3)2+4，
因为(x+3)2≥0，所以(x+3)2+4≥4，
所以当x=−3时，x2+6x+13取得最小值，最小值是4.
(1)【类比运用】当1≤x≤5时，求代数式x2−8x+20的最小值.
(2)【拓展应用】已知实数x，y满足x−y2=3，求代数式x2+3y2−8x+14的最小值.
22.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在AD上，过点F作⊙O的切线，交BA的延长线于点N，交CD的延长线于点M，连接BF交CD于点H，连接DF.
(1)求证：MF=MH.
(2)若DF//AB，DMDH=32，EH=2，求⊙O的直径.
23.(本小题9分)
已知抛物线y=−x2+ax+3(a为常数)经过点(−1,0).
(1)求a的值.
(2)过点A(0,m)(其中m0，
∴2BD2−11BD−40=0，
即(2BD+5)(BD−8)=0，
解得BD=8或BD=−52，
经检验BD=8符合题意，
∴AB2=(8−5)×(8+4)=3×12=36，
∵AB>0，
∴AB=6，
故答案为：6.
由EF⊥BC且AB⊥BC可得EF//AB，进而证得△DEF∽△DAB，利用相似比及AE=EF建立AB、AD、BD的数量关系；作∠BAD的角平分线AK，利用∠BAD=2∠C证得△ABK∽△CBA，结合角平分线性质及勾股定理列方程求解BD的长，进而求得AB.
本题考查了等腰三角形的判定，关键是等腰三角形判定定理的熟练掌握．
17.【答案】7.
【解析】解： 9+|−6|−(12)−1
=3+6−2
=7.
根据实数的运算，负整数指数幂的运算法则进行计算．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，掌握相应的运算法则是关键．
18.【答案】x=3.
【解析】解：5x+2−2x−1=0，
5(x−1)−2(x+2)=0，
3x=9，
解得：x=3，
经检验，x=3是原方程的解．
根据解分式方程的步骤进行计算．
本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键．
19.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠CBA，AD=CB，∠A=∠C，
∵DF平分∠ADC，BE平分∠ABC，
∴∠CBE=12∠CBA，∠ADF=12∠ADC，
∴∠ADF=∠CBE，
∴△ADF≌△CBE(ASA) 70∘
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠CBA，AD=CB，∠A=∠C，
∵DF平分∠ADC，BE平分∠ABC，
∴∠CBE=12∠CBA，∠ADF=12∠ADC，
∴∠ADF=∠CBE，
∴△ADF≌△CBE(ASA)；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴∠BEC=∠ABE，∠A+∠ABC=180∘，
∴∠ABC=140∘，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=70∘，
∴∠BEC=70∘.
(1)根据四边形ABCD是平行四边形，则∠ADC=∠CBA，AD=CB，∠A=∠C，根据角平分线，得出∠CBE=12∠CBA，∠ADF=12∠ADC，则∠ADF=∠CBE，推出△ADF≌△CBE(ASA)；
(2)因为四边形ABCD是平行四边形，则AD//BC，AB//CD，推出∠BEC=∠ABE，∠A+∠ABC=180∘，则∠ABC=140∘，根据BE平分∠ABC，则∠ABE=70∘，则∠BEC=70∘.
本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
20.【答案】本次接受调查的学生共有100人 该校最喜欢“乒乓球”的学生人数大约有450人
【解析】解：(1)学校准备开设以下四个球类项目：A(羽毛球)，B(乒乓球)，C(篮球)，D(排球)，
12÷12%=100(人)，
答：本次接受调查的学生共有100人；
(2)若该校共有1500名学生，
100−32−26−12=30(人)，
1500×30100=450(人)，
答：该校最喜欢“乒乓球”的学生人数大约有450人．
(1)从两个统计图可知，样本中选择D(排球)的有12人，占被调查学生总数的12%，即可求出被调查的人数；
(2)求出样本中最喜欢“乒乓球”占被调查人数的百分比来估计总体中最喜欢“乒乓球”的学生人数．
本题考查条形统计图，正确进行计算是解题关键．
21.【答案】4 −1
【解析】解：(1)x2−8x+20=(x−4)2+4，
∵(x−4)2≥0，
∴(x−4)2+4≥4，
又∵1≤x≤5，
∴当x=4时，x2−8x+20取得最小值，最小值为4；
(2)由条件可知y2=x−3，
∴x2+3y2−8x+14
=x2+3(x−3)−8x+14
=x2−5x+5
=(x2−5x+254)+5−254
=(x−52)2−54，
∵y2=x−3≥0，
∴x≥3，
∵1>0，
∴当x>52时，(x−52)2−54的值随x的增大而增大，
∴当x=3时，(x−52)2−54有最小值，最小值为(3−52)2−54=−1，
∴代数式x2+3y2−8x+14的最小值为−1.
(1)利用配方法可得x2−8x+20=(x−4)2+4，再仿照题意求解即可；
(2)根据题意可得y2=x−3，则可推出x2+3y2−8x+14=(x−52)2−54，根据y2=x−3≥0求出x的取值范围，再根据二次函数的性质求解即可．
本题考查了配方法，熟练掌握该知识点是关键．
22.【答案】如图1，MN是⊙O的切线，连接OF，
∴OF⊥MN，即∠MFO=90∘，
∴∠MFH+∠OFB=90∘，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BHE=90∘，
∵OF=OB，
∴∠OFB=∠B，
∴∠MFH=∠BHE=∠MHF，
∴MF=MH ⊙O的直径为20
【解析】(1)证明：如图1，MN是⊙O的切线，连接OF，
∴OF⊥MN，即∠MFO=90∘，
∴∠MFH+∠OFB=90∘，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BHE=90∘，
∵OF=OB，
∴∠OFB=∠B，
∴∠MFH=∠BHE=∠MHF，
∴MF=MH；
(2)解：如图2，CD⊥AB，AB是⊙O的直径，连接BD，OD，
∴BC=BD，∠MEN=∠MEB=90∘，
∴∠BDE=∠DFH，
∵DF//AB，
∴∠MEN=∠MDF=∠FDH=90∘，∠DFH=∠EBH，
∵DMDH=32，
∴设DM=3x，DH=2x，则MH=MD+DH=5x=MF，
在直角三角形MDF中，由勾股定理得：DF= MF2−MD2=4x，
∴tan∠DFH=DHDF=2x4x=12，
∴tan∠EBH=tan∠BDE=12，
∵EH=2，
∴BE=EHtan∠EBH=4,DE=BEtan∠BDE=8，
设OD=OB=r，则OE=r−4，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：r2=82+(r−4)2，
解得：r=10，
∴⊙O的直径为20.
(1)连接OF，由题意易得∠MFH+∠OFB=90∘，∠B+∠BHE=90∘，则有∠MFH=∠BHE=∠MHF，然后问题可求解；
(2)连接BD，OD，由题意易得BC=BD，∠MEN=∠MEB=90∘，则有∠MEN=∠MDF=∠FDH=90∘，∠DFH=∠EBH，然后可得tan∠EBH=tan∠BDE=12，进而根据三角函数及垂径定理可进行求解．
本题主要考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理与圆周角定理．
23.【答案】a=2 m=−5 1− 2