江苏南京市玄武区部分校2025-2026学年度第二学期八年级数学期中质量检测卷（含解析）

这是一份江苏南京市玄武区部分校2025-2026学年度第二学期八年级数学期中质量检测卷（含解析），共2页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2. 下列说法中，正确的是（ ）
A. “打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B. “掷一次质地均匀的正方体骰子，向上一面的数字是2”是随机事件
C. 描述沙市一周内每天的最高气温的变化情况，适宜采用扇形统计图
D. 调查长江某段水域现有鱼的种类，适宜采用全面调查
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵必然事件是一定会发生的事件，打开电视时不一定正在播放《新闻联播》，
∴A选项错误；
∵随机事件是可能发生也可能不发生的事件，掷质地均匀的骰子，向上一面的数字可能为1到6中任意一个，得到数字2是可能发生也可能不发生的事件，即是随机事件，
∴B选项正确；
∵折线统计图适合反映数据的变化趋势，扇形统计图仅能反映各部分占总体的比例，要描述一周内最高气温的变化情况，适宜用折线统计图，
∴C选项错误；
∵全面调查适用于范围小，易完成的调查，长江某段水域范围大，无法对所有鱼类进行全面调查，适宜用抽样调查，
∴D选项错误．
3. 已知一条不透明的袋子里装有除了颜色外都一样的白球和黄球共10个．若从中任意摸一个球，要使摸到的黄球的可能性大，则袋子里装有黄球的个数至少（ ）个．
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查感受可能性，根据摸到的黄球的可能性大，得到黄球的数量要多于白球的数量，进行判断即可．
【详解】解：∵要使摸到的黄球的可能性大，
∴黄球的数量要多于白球的数量，
∵袋子里白球和黄球共10个
∴袋子里至少装6个黄球；
故选B．
4. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了因式分解．
将每个多项式因式分解后，检查是否含有因式，不含有该因式的即为答案．
【详解】解：选项A：，含有因式；
选项B：，含有因式；
选项C：，含有因式；
选项D：，不含有因式；
故选：D．
5. 如图，菱形中，对角线相交于点O，，，点P和点E分别为上的动点，求的最小值为（ ）
A. 5B. C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称中的光线反射问题（最短线路问题），菱形的性质，角平分线性质定理，垂线段最短，勾股定理，利用菱形的性质求面积，学会利用垂线段最短解决最短线路问题是解题的关键．
过作于交于点，过作于点，则此时的P、E满足最小，先将的最小值转化为线段的长度，在中由勾股定理求出，再由等面积法得到，即可求解．
【详解】解：过作于交于点，过作于点，则此时的P、E满足最小，
∵四边形是菱形，
∴且、互相平分，平分，
∴，
∵垂线段最短，
∴，即的最小值为线段的长度，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故选：B．
6. 如图，在正方形中，对角线与交于点O，点E，F分别为边，的中点，点M，N分别在线段，上移动（不与端点重合），且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 四边形可能为矩形B. 四边形的面积不变
C. 的度数不变D. 线段有最大值
【答案】B
【解析】
【分析】连接，先证得四边形为矩形，为等腰直角三角形，故可得到的度数发生改变，当为中点时，有最小值，无最大值，故说法错误；再假设四边形可能为矩形，则有，，证得，进而可得到，与矛盾，故说法错误；过点作于点，过点作于点，表示出四边形的面积，进而可进行判断．
【详解】解：连接，
∵在正方形中，对角线与交于点O，
∴，，，，，
∵点E，F分别为边，的中点，
∴，
∴，
又∵，即，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴经过点，，
∴为等腰直角三角形，
∵点M，N分别在线段，上移动（不与端点重合），
∴的度数发生改变，当为中点时，有最小值，无最大值，故说法错误，
若四边形可能为矩形，则有，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即为中点，
∴，即，
∴，故矛盾，故四边形不可能为矩形，故说法错误；
过点作于点，过点作于点，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故四边形的面积不变，说法正确．
二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 已知一个样本的容量为100，把样本中的数据分成5个组．若第一、二、三组的频数和为60，第五组的频率为，则第四组的频数为_____．
【答案】15
【解析】
【分析】本题考查了频率、频数及总数间关系，掌握频率=频数总数，各频数之和等于总数，各频率之和等于1是解决本题的关键．先计算出第五组的频数，再计算第四组的频数．
【详解】解：第五组的频数为：，
所以第四组的频数为：，
故答案为：15．
8. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：．
9. 小明有道数学题目不会，想打电话请教老师，可是他只想起了电话号码的前位（共位数的电话）那么，他一次打通电话的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得共有10个数字，且是等可能的，而对的只有一种情况，利用概率公式即可求得答案．
【详解】∵共有10个数字，且是等可能的，而对的只有一种情况，
∴他一次打通电话的概率是：．
故答案为．
此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
10. 为了解学生寒假期间参与社会实践活动时间的情况，某校对九年级部分学生参与社会实践活动时间的情况展开调查，并画出了相应的频数分布直方图（如图）（每组数据含最小值，不含最大值）．若该校九年级共有名学生，则该校九年级学生参与社会实践活动的时间不低于小时的人数是________．
【答案】
【解析】
【分析】计算出样本中参与社会实践不低于小时的学生的占比，再乘以全校九年级的学生数即可．
【详解】解：由统计图可知，抽取的学生人数为（人），其中参与社会实践活动不低于小时的学生有（人），
∴该校九年级学生中参与社会实践活动的时间不低于小时的人数为（人）．
11. 已知，，则=_____________.
【答案】
【解析】
【分析】将代数式提取公因式，再整体代入计算求值即可．
【详解】解：．
故答案为6．
本题考查因式分解，代数式求值．利用整体代入的思想是解答本题的关键．
12. 如图，已知平行四边形的对角线相交于点O，其周长为16，且的周长比的周长小2，则的长为______．

【答案】3
【解析】
【分析】根据平行四边形对边相等可得，根据的周长比的周长小2可得，再解即可．
【详解】解：∵的对角线相交于点O，其周长为16，
∴，
∴①；
∵的周长比的周长小2，
∴，
∴②，
①+②得：，
∴，
∴．
故答案为：3．
此题主要考查了平行四边形的性质，解决此题的关键是掌握平行四边形两组对边分别相等，对角线互相平分．
13. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，若平分交于点E，且，连接，则_______度．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是证明是等边三角形．
由矩形，得到，根据平分，得到等边三角形，，求出，根据三角形的内角和定理求出即可由求出答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，，，
，，
平分，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
∵，
．
∴．
故答案为：45．
14. 如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点，连接，，．已知，，则的长是________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用三角形中位线定理得到DE=BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF=AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．
【详解】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC=10，
∴DE=BC=5．
∵∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=6，
∴DF=AB=3，
∴EF=DE-DF=5-3=2．
故答案为：2．
本题考查了三角形的中位线定理的应用以及直角三角形斜边的中线定理，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
15. 如图，在梯形中，，，，点C、M分别是边上的点，连接，若和的面积之和为12，则的长为____________．
【答案】6
【解析】
【分析】如图，连接，取的中点F，连接，易证四边形是矩形．再证明是的中位线可得，即点M到的距离与点M到的距离相等均为4，然后根据三角形间的面积关系以及已知条件求解即可．
【详解】如图，连接，取的中点F，连接，
∵，，，
∴四边形是矩形．
∴
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∵F是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点M到的距离与点M到的距离相等均为4，
∴与的面积相等，和的面积之和即为的面积，
∴，解得：．
16. 如图，在边长为4的正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，H是的中点，连接，则的最小值为 _______________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，延长，交于点，过H点作于时，此时最小，又H是的中点，结合计算即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定方法，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是能想到连接，进而确定出G点的运动路径，再由点到直线距离垂线段最短求值．
【详解】解：连接，延长，交于点，
∵四边形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
当E点位于C点时，G点位于处，
当E点位于A点时，G点位于C处，
故E点在上运动时，G点在上运动，
故由点到直线的距离垂线段最短可知：
过H点作于时，此时最小，又H是的中点，
∴，
又，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共10小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）利用提取公因式法和完全平方公式进行因式分解即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解即可；
（3）利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可；
（4）利用平方差公式、合并同类项法则、提取公因数进行因式分解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
18. 移动支付快捷高效，中国移动支付在世界处于领先水平，为了解人们平时最喜欢用哪种，移动支付支付方式，为此在某步行街，使用某ａｐｐ，软件对使用移动支付的行人进行随机抽样调查，设置了四个选项，支付宝，微信，银行卡，其他移动支付（每人只选一项)，以下是根据调查结果分别整理的不完整的条形统计图和扇形统计图.
请你根据下列统计图提供的信息,完成下列问题.
(1)这次调查的样本容量是 ;
(2)请补全条形统计图;
(3)求在此次调查中表示使用微信支付的扇形所对的圆心角的度数.
(4)若某天该步行街人流量为10万人，其中40%的人购物并选择移动支付，请你依据此次调查获得的信息，估计一下当天使用银行卡支付的人数.
【答案】（1）200人；（2）图见解析；（3）；（4）4000人.
【解析】
【分析】（1）利用条形统计图中使用支付宝支付的人数除以扇形统计图中使用支付宝支付的人数所占比例即可得；
（2）利用题（1）中所求的样本容量减去条形统计图中使用支付宝、银行卡、其他这三种支付方式的人数，求出使用微信支付的人数，再补充条形统计图即可；
（3）利用使用微信支付的人数除以样本容量求出使用微信支付的人数所占比例，再将该比例乘以即为所求；
（4）先求出该天购物选择使用移动支付的总人数，再根据调查结果求出使用银行卡支付的人数所占比例，两者相乘即为所求.
【详解】（1）由条形统计图和扇形统计图得，这次调查的样本容量是：（人）
答：这次调查的样本容量是200人；
（2）因样本容量为200人，结合条形统计图可得：
使用微信支付的人数为：（人）
补全条形统计图如下：
（3）由题（1）、（2）可知，使用微信支付的人数所占比例为：
则使用微信支付的扇形所对的圆心角的度数为：
答：所求的圆心角的度数为；
（4）由题意得，该天购物选择使用移动支付的总人数为：（人）
由题（1）和条形统计图可知，使用银行卡支付的人数所占比例为：
则估计该天使用银行卡支付的人数为：（人）
答：所求的该天使用银行卡支付的人数为4000人.
本题考查了条形统计图和扇形统计图，理解掌握这两个统计图是解题关键.
19. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据：
（1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为______ (精确到0.1)
（2）盒子里约有白球_______个
（3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你推测x可能是多少
【答案】（1）0.6 （2）24
（3）12
【解析】
【分析】本题考查了由频率估计概率，用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率．
（1）根据表格的数据即可得解；
（2）用总数乘以概率即可得解；
（3）根据题意列出方程，解方程即可得解．
【小问1详解】
解：由表格可得：若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为，
【小问2详解】
解：估算盒子里约有白球(个)；
【小问3详解】
解：根据题意知，，
解得，
答：推测x可能是12．
20. 已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
根据平行四边形的性质证明，得到，，再根据平行四边形的判定即可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∴四边形是平行四边形．
21. 如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若矩形的面积为4，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】（1）根据“对角线互相平分”证明四边形是平行四边形，根据矩形的性质得到，从而得出结论；
（2）根据矩形的面积求出，由菱形的性质得到、，利用S菱形ABCD=12AC⋅BD 求解即可．
【小问1详解】
证明：、，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
，
平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：矩形的面积为4，
，
由（1）知，四边形是菱形，
、，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12·2OA⋅2OB=2OA⋅OB=2×4=8 ．
22. 按要求完成作图
（1）如图①，平行四边形中，，垂足为，交边于点．仅用无刻度的直尺在图中作线段，垂足为．
（2）如图②，点，分别在平行四边形的边上，．连接，请过点作的垂线，垂足为（仅用无刻度直尺作图）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）连接交于点，连接，并延长交于点，连接，与直线交于点H，此时，则点H即为所求；
（2）连接、交于点，连接、，再连接，并延长交于点，连接交于点，线段即为所求．
【小问1详解】
解：如图①，点H即为所求；
证明：四边形是平行四边形，
，，即，
，
在和中，
∠AJO=∠CNO∠JOA=∠NOCAO=CO，
，
，
、，
四边形是平行四边形，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图②，即为所求；
证明：四边形是平行四边形，
、，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
，
，
，
在和中，
∠AEO=∠CKO∠AOE=∠COKAO=CO，
，
，
、，
四边形是平行四边形，
，
．
23. 阅读下列材料：
小明同学遇到了这样一个问题：如图1，是边长为的正方形内一定点，请在图中画出两条直线（要求其中一条直线必须过点），使它们将正方形的面积分割成面积相等的四个部分．
小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目．如图2，是边长为的正方形的中心，将以点为顶点的直角绕点任意旋转，且直角两边与，相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值，可以类比此问题解决．
（1）请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为______；
（2）请你在图3中，解决原问题（写出必要说明）；
（3）如图4．在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，（写出必要说明）．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质得到、，由余角的性质得到，进而证明，从而得到重叠部分的面积为，据此求解即可；
（2）连接、交于点，作直线，与正方形的边交于点P、H，过点作的垂线，与正方形的边交于点N，F，则直线和直线将正方形的面积分割成面积相等的四个部分；
（3）连接并延长交的延长线于点F，过点F作的平行线，交的延长线于点E，在上取点Q，使，作直线，交直线于点M，则直线将四边形的面积分成相等的两部分．
【小问1详解】
解：连接，
是边长为的正方形的中心，
、、，
、，
，
在和中，
，
，
重叠部分的面积为；
【小问2详解】
解：如图3所示，连接、交于点，作直线，与正方形的边交于点P、H，过点作的垂线，与正方形的边交于点N，F，直线和直线即为所求，

证明：由（1）的结论易证得，
是边长为的正方形的中心，
，
，
同理得：、、，
直线和直线将正方形的面积分割成面积相等的四个部分；
【小问3详解】
解：如图4所示，连接并延长交的延长线于点F，过点F作的平行线，交的延长线于点E，在上取点Q，使，作直线，交直线于点M，
证明：由作图可知，、、，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
、，
、，
四边形是平行四边形，
点是平行四边形的对角线的交点，
，
，
在和中，
，
，
、，
，
当时，将四边形面积二等分．
24. 【实践探究】在学习“因式分解”时，小安同学用如图1中编号分别为①②③④的四种长方体（含正方体）若干，进行数学实践探究．
（1）若从中选取两个小长方体拼成一个如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式_____；
（2）【问题解决】若要拼成一个棱长为的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由；
（3）【拓展应用】如图3，从一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，直接写出因式分解的结果，并解答以下问题：
已知和分别是两个大小不同的正方体的棱长，且满足等式，若为整数时，求的值．
【答案】（1）
（2）需要②号长方体个，③号长方体个，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据图2立方体的体积求法即可；
（2）根据题中的给定的长方体组合把进行计算即可；
（3）先把进行分解，据此分解，得，整理得，再度化简得，根据是完全平方数，可得出的可能取值．
【小问1详解】
解：根据题意可知：．
【小问2详解】
解：∵，且，，
∴需要②号长方体12个，③号长方体6个．
【小问3详解】
解：；
由题意，得，
整理得，
∵，
∴．
即．
∵为整数，
∴为完全平方数，且，即
又，，故
因而存在下面两种情形：
①当时，；
②当时，．
综上所述，的值为或．
25. 如图，在正方形中，是边上的一点（不与，重合），点关于直的对称点是点，连接，，直线，交于点，连接．
（1）在图1中补全图形；
（2）求的度数，写出求解过程．
（3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）补图见解析
（2）
（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）先证明得到，再由三角形外角的性质结合即可得到结论；
（3）如图，过点A作，与射线交于点Q，证明为等腰直角三角形，得到，．再证明，再由全等三角形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
解：补全图形如图所示；
【小问2详解】
解：，证明如下：
∵点D、F关于对称，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
∵，
∴；
【小问3详解】
解：，证明如下：
如图，过点A作，与射线交于点Q．

∵，
∴，
由对称性可知，
又∵，
∴为等腰直角三角形．
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
26. 【实践探究】小佑同学在做八下第八章《四边形》的课后练习时，他将两个正方形纸片按照图所示的方式放置：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转，他发现不仅有课本上的一些结论，还探究得到一些其他的结论．
【问题发现】（1）①图中线段、之间的数量关系是______；
②图1中连接，则线段、、之间的数量关系是______．
【类比迁移】（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转，判断线段、、之间的数量关系为：______，并写出证明过程．
（3）如图3，在菱形中，对角线、相交于点，点为的中点，直角的两条边、分别与边、交于点、，可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为______．
【结论应用】（4）如图4，在直角梯形中，，，点为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线、相交于点、，矩形可绕点旋转．已知，，当时，线段的长为______．
【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）；（4）或．
【解析】
【分析】（1）①通过正方形对角线性质，证明与全等，得出和的数量关系；
②利用正方形边长相等转化线段，结合勾股定理推导、、的数量关系；
（2）延长线段构造全等三角形，将转化为，再利用矩形性质和勾股定理证明数量关系；
（3）连接辅助线，利用菱形对角线性质、中点性质，结合勾股定理分情况列方程求解；
（4）利用直角梯形、中点性质，结合矩形的直角条件，分情况用勾股定理计算的长度．
【详解】解：（1）①∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，，
∴
在和中，
，
∴（），
∴，
故答案为：；
②∵正方形的边长相等，即，，
由（）①得，
∴，即
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2）结论：，理由如下：
延长交于点，连接，连接，则过中心，
∵是矩形的中心，
∴是的中点，即，
∵矩形中，，
∴，．
在和中，
，
∴（）．
∴，
∵矩形中，，即，
∴．
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴；
（3）连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴−，
∵，为直角，
∴由得，
∵，
∴，
∴，
解得；
（4）分两种情况讨论：
情况，当点在线段上时，连接，
∵，，
∴，
在直角梯形中，，，
∴，
∴，
∵在矩形中，，
，
∴由得，
∴
解得；
情况，当点在线段的延长线上时，过作交的延长线于，连接，，则．
，
，，
点是的中点．
．
在矩形中，，即．
．
在中，，在中，
，即，
，，，
，
即得．
综上，的长为或．
本题主要考查了正方形、矩形、菱形、直角梯形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握特殊四边形的性质、全等三角形的判定方法及勾股定理的灵活应用是解题的关键．
摸球的次数m
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数n
66
128
171
302
481
599
1806
摸到白球的频率
0.66
0.64
0.57
0.604
0.601
0.599
0.602