广西壮族自治区梧州市2025—2026学年度初中学业水平考试第一次模拟测试 数学（试题卷）（含解析）

这是一份广西壮族自治区梧州市2025—2026学年度初中学业水平考试第一次模拟测试 数学（试题卷）（含解析），共2页。
1．本试卷共6页（试题卷4页，答题卡2页），满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，请将准考证号、姓名、座位号写在答题卡指定位置，答案涂、写在答题卡相应的区域内，在试题卷上答题无效．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义．根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数．
【详解】解：的相反数为，
故选：A．
2. 据报道，南珠高铁西起广西南宁市，东终至广东珠海市，途经广西玉林、岑溪、广东云浮、珠海等地市，路线全长约为648千米，设计标准为双线，时速350千米．其中南宁至玉林段批复投资总额为286.5亿元．其中28650000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定与的值即可求解．
【详解】解：．
3. 如图，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是（ ）
A. 三角形具有稳定性B. 两点之间，线段最短
C. 两点确定一条直线D. 垂线段最短
【答案】A
【解析】
【详解】解：由题意得，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是三角形具有稳定性．
4. 下列立体图形中，主视图、左视图、俯视图都是圆的是（ ）
A. 圆锥B. 圆柱C. 球体D. 三棱柱
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查常见立体图形的三视图，只需逐个判断各选项立体图形的三个视图，选出三个视图均为圆的选项即可．
【详解】解：A、圆锥的主视图、左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，不符合要求；
B、圆柱的主视图、左视图是矩形，俯视图是圆，不符合要求；
C、球体任意方向的视图都是圆，因此主视图、左视图、俯视图都是圆，符合要求；
D、三棱柱的三视图不含圆，不符合要求．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：，故A错误；
，故B错误；
不能合并，故C错误；
，故D正确.
6. 如图，在中，点D，E，F分别是，，的中点，若的周长是12，则的周长是（ ）
A. 3B. 6C. 12D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的中位线定理进行求解即可.
【详解】解：∵在中，点D，E，F分别是，，的中点，
∴，
∵的周长，
∴的周长.
7. 已知一次函数与的图象如图所示，当时，与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象可得，两直线交点的横坐标为，在直线的右侧，即可求解．
【详解】解：由图象可得，当时，．
8. 如图，是的直径，弦，垂足为点，连接，．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据圆周角定理可得，由垂径定理可得，再根据，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
，，
，
是的直径，弦，
，
，
故选：B．
9. 若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先确定使分式分母为0的增根，再将分式方程化为整式方程，最后将增根代入整式方程求出的值.
【详解】解：∵ 分式方程的增根是使分式分母为0的根，
原方程分母为，令，得增根为，
给原方程两边同乘去分母，得 ，
把代入整式方程，得 ，
∴.
10. 如图，将一张三角形纸片沿折叠，使点与点重合，再将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，连接．若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“三角形纸片沿折叠，使点与点重合，，”得到，结合推出，得到，，根据“将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，”得到，进而求出，推出，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：三角形纸片沿折叠，使点与点重合，，
，
，
，，
，
，，
，，
将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，
，
，
，
，
，
，
，
又∵，
∴.
故选：A．
11. 为庆祝广西“三月三”歌圩节，某文化广场举行民俗活动，此期间参加活动的人数逐天增加，设每天平均增长率为x，某数学兴趣小组根据人数变化规律列出方程，经过整理为，若该方程的两个实数根为，，则下列正确的是（ ）
A. ，正根是平均增长率B. ，正根是平均增长率
C. ，负根是平均增长率D. ，两根都为负
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次方程得到两个根，结合平均增长率为正的实际意义，推导得到正确结论.
【详解】解：∵ 原方程为
移项得 ，
配方得 ，
开平方得 ，
解得，；
∴
∵ 平均增长率为正数，
∴ 正根是实际的平均增长率.
因此选项B正确.
12. 下表给出了二次函数的自变量与函数的一些对应值，该函数的图象与轴交于、，两点，点为抛物线上一动点，连接、，若，则点的位置有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】先根据表格确定，抛物线的顶点，进而根据三角形的面积公式可得，即可求解．
【详解】解：由图表可知抛物线过点，，，
∴对称轴为直线，顶点
∵抛物线经过点
∴抛物线经过点
∴
∵
∴
∴
∴点可以是抛物线的顶点，或与的两个交点，共3个．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13. 写出一个能使有意义的x的值______．
【答案】2（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得再在范围内得一个答案即可．
【详解】解： 有意义，

所以符合题意的的值为：等（答案不唯一）
故答案为：2
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握“二次根式有意义：被开方数为非负数”是解本题的关键．
14. 因式分解：_____．
【答案】
【解析】
【详解】解：．
15. 如图是一个闭合电路，其电源的电压为定值，电流（单位：）是电阻（单位：）的反比例函数，当时，．若电阻为，则电流为______．
【答案】
【解析】
【详解】解：设，
当时，，
，
电阻为，则电流．
16. 广西壮锦是国家级非物质文化遗产，纹样精美多样，包含正八边形、正方形等图案．如图，在的内接正八边形中，分别连接和．若，则长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】设为，通过作垂线，构造直角三角形，利用圆周角定理以及直角三角形的边角关系，可以用的代数式表示，，然后列方程即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点、分别作的垂线，垂足为、，则，
八边形是的内接正八边形，
，
，
同理得，
在中，，设，
，
同理，
，
，
，
解得，
．
三、解答题（本大题共7题，共72分．）
17. 计算、化简
（1）计算：
（2）化简：．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）先计算二次根式的乘法、有理数的乘法，再计算减法即可；
（2）根据完全平方公式、单项式乘多项式的法则化简，再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果按从高到低分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是______人；
（2）图1中的度数是______，并把图2条形统计图补充完整；
（3）该县九年级有学生3000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，估计B级及以上的人数为______人；
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．
【答案】（1）40 （2），体育测试各等级学生人数条形图见解析
（3）1350 （4）
【解析】
【分析】（1）用B级的人数除以B级的占比可得出本次抽样测试的学生人数；
（2）求出级的占比，可得级的占比，再乘以可得的度数；用总人数乘以级占比得到级人数，再补全条形统计图即可；
（3）用样本估计总体即可；
（4）列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：（人），
所以，本次抽样测试的学生人数是40人；
【小问2详解】
解：级的占比为，
级的占比为：，
∴；
级人数为：（人），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：（人），
所以，B级及以上的人数为1350人；
【小问4详解】
解：根据题意列表如下：
由图表可知：共12种等可能的结果，其中选中小明的结果有6种，
∴选中小明的概率．
19. 已知：如图，在中，，．
（1）尺规作图：作的平分线，交于点D．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）证明：点D在线段的垂直平分线上．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）按照作角平分线的步骤作图即可；
（2）根据等角对等边证明即可．
【小问1详解】
解：如图所示，射线即为所求；
【小问2详解】
证明：∵在中，，
∴
∵平分
∴
∴
∴，
∴点D在线段的垂直平分线上
20. 龟苓膏是广西梧州特产、国家地理标志产品，国家级非遗传统药膳，清热祛湿、滑嫩回甘．梧州某特产店有原味龟苓膏与红豆龟苓膏销售．已知1盒的原味龟苓膏和2盒的红豆龟苓膏共售125元；2盒的原味龟苓膏和3盒的红豆龟苓膏共售205元．
（1）求每盒原味龟苓膏、红豆龟苓膏的售价；
（2）该店计划用不超过3500元购进上述两种龟苓膏共100盒，其中原味龟苓膏每盒进价28元，红豆龟苓膏每盒进价38元．问至多能购进红豆龟苓膏多少盒？
【答案】（1）每盒原味龟苓膏的售价是35元，每盒红豆龟苓膏的售价是45元
（2）至多能购进红豆龟苓膏70盒
【解析】
【分析】（1）设原味龟苓膏每盒x元，红豆龟苓膏每盒y元，根据“1盒的原味龟苓膏和2盒的红豆龟苓膏共售125元；2盒的原味龟苓膏和3盒的红豆龟苓膏共售205元”列出二元一次方程组，据此求解即可；
（2）设购进红豆龟苓膏a盒，根据题意列出不等式，据此求解即可．
【小问1详解】
解：设原味龟苓膏每盒x元，红豆龟苓膏每盒y元，
依题意得：，解得：．
答：每盒原味龟苓膏的售价是35元，每盒红豆龟苓膏的售价是45元；
【小问2详解】
解：设购进红豆龟苓膏a盒，
依题意得：，解得：．
答：至多能购进红豆龟苓膏70盒．
21. 已知：如图，在中，，以为直径作，交于D，点E是中点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接．由直径所对的圆周角等于90度得出，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出，由等边对等角得出，，由角的和差关系进而可得出，即．
（2）证明∽，由相似三角形的性质得出，由勾股定理求出，进而可求出．
【小问1详解】
证明：连接．
∵为的直径，
∴，
∴为直角三角形，
∵E是中点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴是的切线．
【小问2详解】
解：∵，，
∴∽，
∴．
∵在中，，，
∴，
∴，
∴．
22. 当商品供不应求时，价格会上涨，当商品供过于求时，价格会下降．根据市场调查，某种商品在每年四月份的市场需求量d（件）与单件利润x（元）之间的关系满足，同时这种商品的市场供应量s（件）与单件利润x（元）的关系如图所示．
（1）求出s关于x的一次函数关系式；
（2）当这种商品在四月份的利润是多少时，在市场上达到供需平衡（供应量与需求量相等）？
（3）在题中的这种供需关系下，求四月份这种商品的总利润y（元）与单件利润x（元）的函数关系式．
【答案】（1）
（2）当这种商品的利润是3元时，在市场上达到供需平衡
（3）y与x的函数关系式是
【解析】
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据供需平衡，列出方程进行求解即可；
（3）分和，两种情况，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可．
【小问1详解】
解：设s关于x的一次函数关系式为，
根据题意，得，
解得：，
所以．
【小问2详解】
解：根据题意，得：，
解得：．
答：当这种商品的利润是3元时，在市场上达到供需平衡．
【小问3详解】
解：当时，，
∴．
当时，，
∴．
综上所述：y与x的函数关系式是．
23. 特殊四边形是初中几何的核心内容，九年级某数学小组围绕“图形变化中的不变性质与最值规律”展开以下探究：
（1）如图1，正方形的边长是4，点E为边的中点，连接，过点D作，交于点F，交于点H．求线段的长．
（2）如图2，将正方形拉伸为矩形，其中，，点为边上的一个动点，连接，过点D作，交于点，交于点H．设，，求y关于x的函数表达式．
（3）如图3，将矩形拉伸为平行四边形，其中，，，点为边上的一个动点（，），连接，过点D作，交于点，交于点．当线段取得最小值时，求此的最小值及x的值．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）根据“”证明，得出，由勾股定理求出，由面积法得出，在中，由勾股定理得出线段的长为．
（2）证明，得，再代入相关数据，可得结论；；
（3）要使取得最小值，则要最大，当与重合时，最大，即．过点作，交的延长线于点G．分别求出，，，即，从而可求出．
【小问1详解】
证明：（1）∵四边形是正方形，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴，
∵E是的中点，，
∴，
∴．
在中，，
由等面积法：，
∴．
在中，，
∴线段的长为．
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴y关于x的函数表达式为．
【小问3详解】
解：连接．
∵，
∵，
∴，
∴．
要使取得最小值，则要最大，
∴当与重合时，最大，即．
过点作，交的延长线于点G．
∵四边形是平行四边形，
∴．
又，则，
∴．
又，
∴，，
∴，即，
∴，
所以，所求的，．
E
F
G
H
E
E，F
E，G
E，H
F
F，E
F，G
F，H
G
G，E
G，F
G，H
H
H，E
H，F
H，G