福建福州延安中学2025-2026学年第二学期期中考七年级数学试卷含答案

这是一份福建福州延安中学2025-2026学年第二学期期中考七年级数学试卷含答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分150分，完卷时间120分钟）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
2. 在，，π，这四个数中，无理数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3. 在平面直角坐标系中，点的位置在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 实数在哪两个相邻整数之间（ ）
A. 5和6B. 4和5C. 3和4D. 2和3
5. 设，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 邻补角互补
B. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 立方根等于它本身的数只有0和1
D. 两直线平行，同旁内角互补
7. 如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（ ）
A. B. C. D.
9. 我国古代数学著作《孙子算经》中有著名的“百马问题”，叙述如下：“今有百马驮百瓦，大马一驮三，中马一驮二，小马三驮一．问大、中、小马各几何？”意思是：大马每匹驮3块瓦，中马每匹驮2块瓦，小马每3匹驮1块瓦．要用一百匹马驮一百块瓦，问大马、中马、小马各多少匹？若现已知中马有27匹，设大马有x匹，小马有y匹．则可列方程组是（ ）
A. B. C. D.
10. 在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标比这个点的横坐标的2倍少2，则称这个点为“幸运点”．给出下列结论中正确的是（ ）
①“幸运点”不可能在第二象限；
②若点是“幸运点”，且在坐标轴上，则点的坐标为；
③以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”；
④无论取何值时，以关于，的方程的解为坐标的点一定存在“幸运点”．
A. ①②B. ①③C. ②③④D. ①③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 比较大小： _____2（填“”、“”或“”）．
12. 已知方程，是关于，的二元一次方程，则_______．
13. 若，则_______．
14. 如图，直线，被直线所截，若，，，则________．
15. 甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值___________．
16. 在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点P以每秒速度逆时针旋转，同时三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间________秒时，与三角尺的一边平行．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算与解方程组
（1）；
（2）．
18. 解不等式组，并在数轴上表示出解集：．
19. 如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）在图中画出向右平移5个单位，再向下平移4个单位的；
（2）写出点，，的坐标：__________，__________，__________；
（3）在外部能否找到一点，使且，如果能，请直接写出点的坐标，如果不能请说明理由．
20. 已知的算术平方根是，的立方根是，与互为相反数．
（1）求出，，的值；
（2）求的平方根．
21. （图1）是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形．

（1）在图（1）中，拼成的大正方形的面积为___________，边的长为___________；
（2）现将图（1）水平放置在如图（2）所示的数轴上，使得大正方形的顶点与数轴上表示的点重合，若以点为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点，求点表示的数．
22. 如图，在中，D，E分别是边上的点，点F，G在边上，连接，已知．
（1）求证：；
（2）若，平分，求的度数．
23. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元．
（1）求、两种型号智能机器人的单价．
（2）该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案．
24. 综合与实践
【课题学习】平行线的“等角转化”功能．
【问题解决】
（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】
（2）如图2所示，已知，、交于点，，求的度数．
【拓展探究】
（3）如图3所示，已知，、分别平分和，且、所在直线交于点，过作，若，求的度数．
25. 如图，平面直角坐标系中，长方形顶点、分别在轴负半轴和轴正半轴上，点在第二象限，且，满足．

（1）直接写出点的坐标为______________，的长度为_____________；
（2）如图，点从点出发沿轴负方向以每秒个单位的速度移动，同时点从点出发沿轴正方向以每秒个单位的速度移动，点到达点时沿轴负方向返回，直至移动到点时停止运动．设移动时间为秒，若，求此时的值；
（3）如图，点是的中点，将线段平移至线段，点的对应点恰好落在轴负半轴上，连接交轴于点，当时，求点的坐标．
福州延安中学2025-2026学年第二学期期中考
初一数学试卷
（满分150分，完卷时间120分钟）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：．
2. 在，，π，这四个数中，无理数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，逐个化简所给数字，判断得到无理数的个数即可．
【详解】解：是分数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
是无限不循环小数，属于无理数；
开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数．
综上所述， 无理数共有个．
3. 在平面直角坐标系中，点的位置在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标，
∴点P满足第二象限点“横坐标为负，纵坐标为正”的特征，
∴点P在第二象限．
4. 实数在哪两个相邻整数之间（ ）
A. 5和6B. 4和5C. 3和4D. 2和3
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．首先得出的取值范围，进而得出在两个相邻整数之间．
【详解】解：∵，
∴，
∴在3和4两个相邻整数之间．
故选：C．
5. 设，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：选项A，，，故选项A不符合题意；
选项B，当，时，显然，故选项B不符合题意；
选项C，，，故选项C不符合题意；
选项D，，，故选项D符合题意．
6. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 邻补角互补
B. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 立方根等于它本身的数只有0和1
D. 两直线平行，同旁内角互补
【答案】C
【解析】
【详解】解：A、邻补角互补，该选项是真命题；
B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该选项是真命题；
C、立方根等于它本身的数有，和，共三个，该选项是假命题；
D、两直线平行，同旁内角互补，该选项是真命题．故选：C．
7. 如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．延长交直线于点，根据平行线的性质求出，从而求出，再由求出，从而求出的度数．
【详解】解：延长交直线于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
8. 在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，解决本题的关键是看懂运算顺序．
【详解】解：当，取算术平方根，可得：，
是有理数，
再取的立方根，
又是有理数，
再取的算术平方根，
的算术平方根是是无理数，
．
故选：C．
9. 我国古代数学著作《孙子算经》中有著名的“百马问题”，叙述如下：“今有百马驮百瓦，大马一驮三，中马一驮二，小马三驮一．问大、中、小马各几何？”意思是：大马每匹驮3块瓦，中马每匹驮2块瓦，小马每3匹驮1块瓦．要用一百匹马驮一百块瓦，问大马、中马、小马各多少匹？若现已知中马有27匹，设大马有x匹，小马有y匹．则可列方程组是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：根据题意，得大马和小马的总匹数为（匹），大马和小马一共驮的瓦片数为（块），
则．
10. 在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标比这个点的横坐标的2倍少2，则称这个点为“幸运点”．给出下列结论中正确的是（ ）
①“幸运点”不可能在第二象限；
②若点是“幸运点”，且在坐标轴上，则点的坐标为；
③以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”；
④无论取何值时，以关于，的方程的解为坐标的点一定存在“幸运点”．
A. ①②B. ①③C. ②③④D. ①③④
【答案】D
【解析】
【详解】解：结论①：一个点的纵坐标比这个点的横坐标的2倍少2，即幸运点满足．若“幸运点”在第二象限，则应满足，即，此不等式组无解，因此“幸运点”不可能在第二象限，故结论①符合题意；
结论②，若“幸运点”在坐标轴上，则当在轴上时，，即，解得．当在轴上时，，此时，因此或，故结论②不符合题意；
结论③，对于方程组由①+②，得 ，整理得，因此以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”，故结论③符合题意；
结论④，，当时，，，此时点为“幸运点”，故结论④符合题意．
综上可知，正确的结论是．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 比较大小： _____2（填“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的大小比较，根据即可推出．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
12. 已知方程，是关于，的二元一次方程，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二元一次方程的定义即可求解．
【详解】解：是关于、的二元一次方程，
∴，，
解得，，
．
13. 若，则_______．
【答案】
【解析】
【详解】解：，，，且，
，，，
解得，，，
将，，代入得
．
14. 如图，直线，被直线所截，若，，，则________．
【答案】65
【解析】
【分析】根据平行线的性质以及三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵直线、被直线所截，且，
∴，
∵，且，
则．
15. 甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，求代数式的值，将代入方程中可求得，将代入方程中可求得，代入所求式子即可得解，理解题意是解此题的关键．
【详解】解：将代入方程中可得，，
解得：，
将代入方程中可得，
解得：，
∴，
故答案为：．
16. 在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点P以每秒速度逆时针旋转，同时三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间________秒时，与三角尺的一边平行．
【答案】6或15或33
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，旋转的知识，解题关键把所有的情况都分析出来，注意结果是否符合题意，这也是学生很容易忽略的地方.
①当时，②当时，③当时，分三种情况分别讨论．
【详解】①Ⅰ当时，，
，
，
，
Ⅱ当时，，

，
，
(舍去)
②当时，
，
③当时，
，
，
，
，
解得；
综上所述，当运动时间6或15或33秒时，与三角尺的一边平行.
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算与解方程组
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：，
②-①得，
解得，
将代入①中得，
解得，
故方程组的解．
18. 解不等式组，并在数轴上表示出解集：．
【答案】，见解析
【解析】
【详解】解：，
解不等式得：，
由不等式得：，
不等式组的解集为：；
解集在数轴上表示为：
．
19. 如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）在图中画出向右平移5个单位，再向下平移4个单位的；
（2）写出点，，的坐标：__________，__________，__________；
（3）在外部能否找到一点，使且，如果能，请直接写出点的坐标，如果不能请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）；；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平移作出即可；
（2）由图即可写出，，的坐标；
（3）由，可得点的横坐标与点的相同，由，可得，则可得点的纵坐标，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
【小问2详解】
解：由（1）图可得，，；．
【小问3详解】
解：，，，，
点的横坐标为4，，
，
点的纵坐标为3或，
∵点在的边上，不符合题意，舍去，
点的坐标为．
20. 已知的算术平方根是，的立方根是，与互为相反数．
（1）求出，，的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根，立方根的定义及相反数的性质，熟练掌握相关的知识点是解决本题的关键．
【小问1详解】
解：的算术平方根是，
∴，
∴；
的立方根是，
，
；
∵与互为相反数，
；
【小问2详解】
，，，
，
的平方根为．
21. （图1）是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形．

（1）在图（1）中，拼成的大正方形的面积为___________，边的长为___________；
（2）现将图（1）水平放置在如图（2）所示的数轴上，使得大正方形的顶点与数轴上表示的点重合，若以点为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点，求点表示的数．
【答案】（1）10，
（2）或
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，解题的关键是：
（1）根据10个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形可得正方形的面积，由正方形面积公式可得的长度；
（2）根据数轴上的点表示的数的特点可得E表示的数．
【小问1详解】
解：∵由10个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为；
∴，
∴，
故答案为：10，；
【小问2详解】
∵，
∴以点B为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点E，点E表示的数为或．
22. 如图，在中，D，E分别是边上的点，点F，G在边上，连接，已知．
（1）求证：；
（2）若，平分，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据，可得，从而得到，进而得到，即可求证；
（2）根据平行线的性质可得，，从而得到，再由角平分线的定义可得，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
23. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元．
（1）求、两种型号智能机器人的单价．
（2）该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案．
【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
（2）共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台．
【解析】
【小问1详解】
解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
得：，解得：．
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
【小问2详解】
解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：，
∵a、b为正整数，
∴此方程的解为：，，．
答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台．
24. 综合与实践
【课题学习】平行线的“等角转化”功能．
【问题解决】
（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】
（2）如图2所示，已知，、交于点，，求的度数．
【拓展探究】
（3）如图3所示，已知，、分别平分和，且、所在直线交于点，过作，若，求的度数．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据证明过程填写即可；
（2）过点作，可得，则可得，，即可求解；
（3）过点作，可得，由平分，平分，可得，，设，，可得，由，可得，，由即可求解．
【小问1详解】
解：过点作，
，，
又，
．
【小问2详解】
解：过点作，如图，
，
∴，
，，
．
【小问3详解】
解：过点作，如图，
，
，
平分，平分，
，，
设，，
，，
，，
，
，
，
，，
∴．
25. 如图，平面直角坐标系中，长方形顶点、分别在轴负半轴和轴正半轴上，点在第二象限，且，满足．

（1）直接写出点的坐标为______________，的长度为_____________；
（2）如图，点从点出发沿轴负方向以每秒个单位的速度移动，同时点从点出发沿轴正方向以每秒个单位的速度移动，点到达点时沿轴负方向返回，直至移动到点时停止运动．设移动时间为秒，若，求此时的值；
（3）如图，点是的中点，将线段平移至线段，点的对应点恰好落在轴负半轴上，连接交轴于点，当时，求点的坐标．
【答案】（1），
（2）或或
（3）或
【解析】
【分析】（）利用二次根式有意义的条件求出的值即可求解；
（）由题意可得，再分，和三种情况解答即可求解；
（）由点和点的坐标可得的坐标为，设，由题意可知，，再分点在第一象限和第四象限解答即可求解；
本题考查了二次根式有意义的条件，坐标与图形，图形的平移，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
解得，
∴，
∴点的坐标为，
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
（）由（）可知，，由题意可得，
∴，
①当时，如图， ，
∴，
，
，
解得；
②当时，如图，，
∴，
，
∴，
解得；
③当时，如图，，
∴，
，
解得；
综上，的值为或或；
【小问3详解】
解：∵点坐标，点坐标，
中点的坐标为
设，由题意可知，
∵点向右平移个单位得到点，
∴点坐标为，即，
①如图，点在第一象限时，，
解得，
过点作轴于，则，，
∴，
∵ ，，
，
又，
，
解得，
，
，
又，
解得，
，
；
②如图，点在第四象限时，点纵坐标为负数，
即，
解得，
过点作轴于，同理可得，
，
；
综上，点的坐标为或．
如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数．
解：过点作，
________，，
又．
________．
如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数．
解：过点作，
________，，
又．
________．