哈尔滨市2026年高三3月份第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份哈尔滨市2026年高三3月份第一次模拟考试数学试卷（含答案解析），共12页。
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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知当，，时，，则以下判断正确的是
A．B．
C．D．与的大小关系不确定
2．若的二项展开式中的系数是40，则正整数的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．已知，，，，．若实数，满足不等式组，则目标函数（ ）
A．有最大值，无最小值B．有最大值，有最小值
C．无最大值，有最小值D．无最大值，无最小值
4．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( )
A．B．C．D．
5．三棱锥中，侧棱底面，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．若，满足约束条件，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）
A．丙被录用了B．乙被录用了C．甲被录用了D．无法确定谁被录用了
10．已知中内角所对应的边依次为，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
11．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
12．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设，则除以的余数是______.
14．已知函数对于都有，且周期为2，当时，，则________________________.
15．已知点为双曲线的右焦点，两点在双曲线上，且关于原点对称，若，设，且，则该双曲线的焦距的取值范围是________.
16．已知实数，满足，则目标函数的最小值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，其中．
（1）①求函数的单调区间；
②若满足，且．求证： ．
（2）函数．若对任意，都有，求的最大值．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b（a2+c2﹣b2）＝a2ccsC+ac2csA．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC外接圆的半径为，求△ABC面积的最大值.
19．（12分）如图，四棱锥的底面中，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，，平面平面，为中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值大小.
20．（12分）唐诗是中国文学的瑰宝.为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分成7大类别，并从《全唐诗》48900多篇唐诗中随机抽取了500篇，统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的篇数，得到下表：
（1）根据上表判断，若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个类别的可能性最大，属于哪个类别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率；
（2）已知检索关键字的选取规则为：
①若有超过95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系，则“某字”为“某类别”的关键字；
②若“某字”被选为“某类别”关键字，则由其对应列联表得到的的观测值越大，排名就越靠前；
设“山”“帘”“花”和“爱情婚姻”对应的观测值分别为，，.已知，，请完成下面列联表，并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名.
附：，其中.
21．（12分）记抛物线的焦点为，点在抛物线上，且直线的斜率为1，当直线过点时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）若，直线与交于点，，求直线的斜率.
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；
（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
由函数的增减性及导数的应用得：设，求得可得为增函数，又，，时，根据条件得，即可得结果．
【详解】
解：设，
则，
即为增函数，
又，，，，
即，
所以，
所以．
故选：C．
本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．
2．B
【解析】
先化简的二项展开式中第项，然后直接求解即可
【详解】
的二项展开式中第项.令，则，∴，∴（舍）或.
本题考查二项展开式问题，属于基础题
3．B
【解析】
判断直线与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况.
【详解】
由，，所以可得.
，
所以由，因此该直线在纵轴的截距为正，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图所示：
由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值.
故选：B
本题考查了目标函数最值是否存在问题，考查了数形结合思想，考查了不等式的性质应用.
4．B
【解析】
计算求半径为，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案.
【详解】
如图所示：设球半径为，则，解得.
故求体积为：，圆锥的体积：，故.
故选：.
本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
5．B
【解析】
由题，侧棱底面，，，，则根据余弦定理可得 ，的外接圆圆心
三棱锥的外接球的球心到面的距离 则外接球的半径 ，则该三棱锥的外接球的表面积为
点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径 公式是解答的关键．
6．A
【解析】
试题分析：由题意得有两个不相等的实数根，所以必有解，则，且，∴．
考点：利用导数研究函数极值点
【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.
（2）已知函数求极值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.
（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.
7．D
【解析】
试题分析：抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.
考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.
点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.
8．B
【解析】
根据约束条件作出可行域，找到使直线的截距取最值得点，相应坐标代入即可求得取值范围.
【详解】
画出可行域，如图所示：
由图可知，当直线经过点时，取得最小值－5；经过点时，取得最大值5，故.
故选：B
本题考查根据线性规划求范围，属于基础题.
9．C
【解析】
假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.
【详解】
解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，
若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，
若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，
综上可得甲被录用了，
故选：C.
本题考查了逻辑推理能力，属基础题.
10．A
【解析】
由余弦定理可得，结合可得a，b，再利用面积公式计算即可.
【详解】
由余弦定理，得，由，解得，
所以，.
故选：A.
本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
11．B
【解析】
可解出集合，然后进行补集、交集的运算即可．
【详解】
，，则，因此，.
故选：B.
本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
12．D
【解析】
由函数的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于的方程，对赋值即可求解.
【详解】
由题意知，函数的最小正周期为,即,
由函数的图象平移变换公式可得，
将函数的图象向右平移个周期后的解析式为
，
因为函数的图象关于轴对称，
所以，即，
所以当时，有最小正值为.
故选：D
本题考查函数的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1
【解析】
利用二项式定理得到，将89写成1+88，然后再利用二项式定理展开即可.
【详解】
，因展开式中
后面10项均有88这个因式，所以除以的余数为1.
故答案为：1
本题考查二项式定理的综合应用，涉及余数的问题，解决此类问题的关键是灵活构造二项式，并将它展开分析，本题是一道基础题.
14．
【解析】
利用，且周期为2，可得，得.
【详解】
∵，且周期为2，
∴，又当时，，
∴，
故答案为：
本题考查函数的周期性与对称性的应用，考查转化能力，属于基础题.
15．
【解析】
设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，故，由双曲线定义可得，再求的值域即可.
【详解】
如图，
设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，
故.
在中，
由双曲线的定义可得
，
.
故答案为：
本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.
16．-1
【解析】
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【详解】
作出实数x，y满足对应的平面区域如图阴影所示；
由z＝x+2y﹣1，得yx，
平移直线yx，由图象可知当直线yx经过点A时，
直线yx的纵截距最小，此时z最小．
由，得A（﹣1，﹣1），
此时z的最小值为z＝﹣1﹣2﹣1＝﹣1，
故答案为﹣1．
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，是基础题
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）①单调递增区间，，单调递减区间；②详见解析；（2）.
【解析】
(1)①求导可得,再分别求解与的解集,结合定义域分析函数的单调区间即可.
②根据(1)中的结论,求出的表达式,再分与两种情况,结合函数的单调性分析的范围即可.
(2)求导分析的单调性,再结合单调性,设去绝对值化简可得,再构造函数,,根据函数的单调性与恒成立问题可知,再换元表达求解最大值即可.
【详解】
解：,
由可得或,
由可得,
故函数的单调递增区间,,单调递减区间；
,
或,
若,因为,故,,
由知在上单调递增,,
若由可得x1,
因为,
所以,
由在上单调递增,
综上．
时,,在上单调递减,
不妨设
由(1)在上单调递减,
由,
可得,
所以,
令,,
可得单调递减,
所以在上恒成立,
即在上恒成立,即,
所以, ,
所以的最大值．
本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题,同时也考查了利用导数求解函数不等式以及构造函数分析函数的最值解决恒成立的问题.需要根据题意结合定义域与单调性分析函数的取值范围与最值等.属于难题.
18．（1）B（2）
【解析】
（1）由已知结合余弦定理，正弦定理及和两角和的正弦公式进行化简可求csB，进而可求B；
（2）由已知结合正弦定理，余弦定理及基本不等式即可求解ac的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解.
【详解】
（1）因为b（a2+c2﹣b2）＝ca2csC+ac2csA，
∴，即2bcsB＝acsC+ccsA
由正弦定理可得，2sinBcsB＝sinAcsC+sinCcsA＝sin（A+C）＝sinB，
因为，所以，
所以B；
（2）由正弦定理可得，b＝2RsinB2，
由余弦定理可得，b2＝a2+c2﹣2accsB，
即a2+c2﹣ac＝4，因为a2+c2≥2ac，
所以4＝a2+c2﹣ac≥ac，当且仅当a＝c时取等号，即ac的最大值4，
所以△ABC面积S即面积的最大值.
本题综合考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题.
19．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）设中点为，连接、，首先通过条件得出，加，可得，进而可得平面，再加上平面，可得平面平面，则平面；
（2）设中点为，连接、，可得平面，加上平面，则可如图建立直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：设中点为，连接、，
为等边三角形，
，
，，
，
，即，
，
，
平面，平面，
平面，
为的中位线，
，
平面，平面，
平面，
、为平面内二相交直线，
平面平面，
平面DMN，
平面；
（2）设中点为，连接、
为等边三角形，是等腰三角形，且顶角
，，
、、共线，
，，，，平面
平面.
平面
平面平面，交线为，平面
平面.
设，则
在中，由余弦定理，得：
又，
，
，，
，为中点，
，
建立直角坐标系（如图），则
，，，.
，，
设平面的法向量为，则，
，
取，则，
，
平面的法向量为，
，
二面角为锐角，
二面角的余弦值大小为.
本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.
20．（1）该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大，属于“其他”类别的可能性最小；属于“山水田园”类别的概率约为；属于“其他”类别的概率约为（2）填表见解析；选择“花”，“帘”作为“爱情婚姻”类别的关键字，且排序为“花”，“帘”
【解析】
（1）根据统计图表算出频率，比较大小即可判断；
（2）根据统计图表完成列联表，算出观测值，查表判断.
【详解】
（1）由上表可知，
该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大，属于“其他”类别的可能性最小
属于“山水田园”类别的概率约为；属于“其他”类别的概率约为；
（2）列联表如下：
计算得：；
因为，，所以有超过95%的把握判断“花”字和“帘”字均与“爱情婚姻”有关系，故“花”和“帘”是“爱情婚姻”的关键字，而“山”不是；
又因为，故选择“花”，“帘”作为“爱情婚姻”类别的关键字，且排序为“花”，“帘”.
本题主要考查统计图表、频率与概率的关系、用样本估计总体、独立性检验等知识点.考查了学生对统计图表的识读与计算能力，考查了学生的数据分析、数学运算等核心素养.
21．（1）（2）0
【解析】
（1）根据题意，设直线，与联立，得，再由弦长公式，求解.
（2）设，根据直线的斜率为1，则，得到，再由，所以线段中点的纵坐标为，然后直线的方程与直线的方程 联立解得交点H的纵坐标，说明直线轴，直线的斜率为0.
【详解】
（1）依题意，，则直线，
联立得；
设，
则，
解得，故抛物线的方程为.
（2），
因为直线的斜率为1，则，所以，
因为，所以线段中点的纵坐标为.
直线的方程为，即 ①
直线的方程为，即 ②
联立①②解得即点的纵坐标为，即直线轴，
故直线的斜率为0.
如果直线的斜率不存在，结论也显然成立，
综上所述，直线的斜率为0.
本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.
22．（1），（2）最大值，最小值
【解析】
（1）由曲线的参数方程，得两式平方相加求解，根据直线的极坐标方程，展开有，再根据求解.
（2）因为曲线C是一个半圆，利用数形结合，圆心到直线的距离减半径即为最小值，最大值点由图可知.
【详解】
（1）因为曲线的参数方程为
所以
两式平方相加得：
因为直线的极坐标方程为.
所以
所以
即
（2）如图所示：
圆心C到直线的距离为：
所以圆上的点到直线的最小值为：
则点M(2，0)到直线的距离为最大值：
本题主要考查参数方程，普通方程及极坐标方程的转化和直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
爱情婚姻
咏史怀古
边塞战争
山水田园
交游送别
羁旅思乡
其他
总计
篇数
100
64
55
99
91
73
18
500
含“山”字的篇数
51
48
21
69
48
30
4
271
含“帘”字的篇数
21
2
0
0
7
3
5
38
含“花”字的篇数
60
6
14
17
32
28
3
160
属于“爱情婚姻”类
不属于“爱情婚姻”类
总计
含“花”字的篇数
不含“花”的篇数
总计
0.05
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
属于“爱情婚姻”类
不属于“爱情婚姻”类
共计
含“花”的篇数
60
100
160
不含“花”的篇数
40
300
340
共计
100
400
500