河北省衡水市部分中学2026届高三下学期四月阶段性检测 数学试卷（含解析）

这是一份河北省衡水市部分中学2026届高三下学期四月阶段性检测 数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若，则A的真子集个数为( )
A.3B.4C.7D.8
2．若复数，则( )
A.B.C.D.
3．若，，则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，若的图象是一条连续的曲线，则( )
A.在上单调递增B.在上单调递增
C.在上单调递减D.在上单调递减
5．若为函数的一个零点，且的最小正周期，则的值为( )
A.B.C.D.
6．已知正项数列的前n项和为，且，若，则下列结论不正确的是( )
A.数列为等差数列B.数列为等比数列
C.数列的前n项和为D.
7．若函数有且只有一个零点，则m的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．在长方体中，，，P为长方体表面上一动点，且，则点P的轨迹的总长度为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知向量，，，则( )
A.B.
C.c可以用a，b线性表示D.b在a上的投影向量为
10．一个不透明的口袋中装有6个完全相同的乒乓球，其中2个标有数字1，4个标有数字2，记事件A表示“第一次取到标有2的球”，事件B表示“第二次取到标有1的球”，则下列说法正确的是( )
A.若从口袋中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则这2个球上的数字相同的概率为
B.若从口袋中一次性摸出两个球，则球上的数字之和为3的概率为
C.若从口袋中不放回地取球两次，每次取1个，则A，B互斥
D.若从口袋中不放回地取球两次，每次取1个，则A，B相互独立
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，P为右支上一点（异于右顶点），M为圆上一点，则( )
A.的渐近线方程为B.的内切圆与x轴切于定点
C.的最大值为D.的最小值为
三、填空题
12．若，则________.（用m，n表示）
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，A为C上一点，且，则C的离心率的取值范围为________.
14．若，，则a的取值范围为________.
四、解答题
15．某高中为研究学生课外阅读时间与视力健康的关联性，从全校的3000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到部分数据如表.
（1）试估计全校学生中视力不良的学生人数；
（2）补全列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的视力健康与课外阅读时间有关？
附：，.
16．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角A的大小；
（2）若，求的值.
17．已知函数，且.
（1）求的值；
（2）若.
（i）求在上的最大值和最小值；
（ii）若，，，求实数m的取值范围.
18．如图，圆台的上、下底面半径分别为2，3，侧面积为.
（1）求圆台的高；
（2）半轴截面与侧面交于PQ，且，R为下底面圆周上一点，.
（i）求证：；
（ii）求平面与平面CDR夹角的余弦值.
19．已知抛物线经过点，其焦点为F，过点的直线l交C于M，N两点.
（1）求C的方程；
（2）若l的斜率为1，分别求C在点M，N处的切线方程；
（3）直线上是否存在定点D，使得DB平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：因为，所以，
所以A的真子集个数为.故选A.
2．答案：C
解析：.故选C.
3．答案：A
解析：对于p，由，得，则，
对于q，由，得或，所以p是q的充分不必要条件.故选A.
4．答案：B
解析：因为为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
因为的图象是由的图象向左平移2个单位长度，
再向下平移1个单位长度得到的，所以在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减.故选B.
5．答案：C
解析：由题得，所以，
则，因为，所以，
所以，所以，所以，则.
故选C.
6．答案：D
解析：因为，所以数列为等差数列，
因为，所以数列也为等差数列，故A正确；
因为，即，所以，
因为，所以，所以数列为等比数列，故B正确；
因为0，所以，，
，，故数列的公差为1，
所以数列的前n项和为，故C正确；
因为，，，所以数列的公比为3，
则，，所以，故D错误.
故选D.
7．答案：D
解析：，
因为有且只有一个零点，所以，解得.
故选D.
8．答案：B
解析：若点P在平面内，则，如图，
点P的轨迹为，其长度为；
若点P在平面内，则，如图，
点P的轨迹为，其长度为，由对称性可知，
点P在平面内的轨迹长度也为；
点P不可能在平面ABCD内，在平面，内时分别位于点处，所以点P的轨迹的总长度为.
故选B.
9．答案：BCD
解析：因为，所以a，b不垂直，故A错误；
因为，所以，故B正确；
因为，所以a，b不共线，所以c可以用a，b线性表示，故C正确；
b在a上的投影向量为，故D正确.
故选BCD.
10．答案：AB
解析：对于A，若从口袋中摸出一个球，放回后再摸出一个球，
则这2个球上的数字相同的概率为，故A正确；
对于B，若从口袋中一次性摸出两个球，
则球上的数字之和为3的概率为，故B正确；
对于C，由题得，所以A，B不互斥，故C错误；
对于D，，，
则，所以A，B不相互独立，故D错误.
故选AB.
11．答案：ABD
解析：因为双曲线的渐近线为，由题，
所以的渐近线方程为，故A正确；
设分别与的内切圆切于点A，B，C，
则
，又，
所以，，
所以的内切圆与x轴切于定点，故B正确；
易知，，
则，，
当与相切时，取得最大值，
最大值为，故C错误；
设，则，
，
当时，取得最小值，
则的最小值为，故D正确.
故选ABD.
12．答案：
解析：因为，所以，
所以.故答案为.
13．答案：
解析：由，得，
由椭圆的定义得，又，所以，
因为，即，
当且仅当时等号成立，所以，所以，
因为，所以C的离心率的取值范围为.
故答案为.
14．答案：
解析：由题可得，，，
由不等式可知，令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以，
又时，，时，，所以.
因为，所以，
所以原不等式等价于，，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，所以要使对成立，所以，解得，
又，所以，则a的取值范围为.
故答案为.
15．答案：（1）1050人；
（2）列联表见解析，学生的视力健康与课外阅读时间无关
解析：（1）由题可得课外阅读时间小时/天的学生中视力不良的有人，所以估计全校学生中视力不良的学生人数为.
（2）补全列联表：
零假设为：学生的视力健康与课外阅读时间无关，
，
所以依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为学生的视力健康与课外阅读时间无关.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）因为，由正弦定理得，
所以
，
整理得，
所以.
17．答案：（1）0；
（2）（i）最大值为，最小值为；
（ii）
解析：（1）因为，
所以
，
则，
所以.
（2）（i）由（1）得，
，
因为，令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，又，，
所以在上的最大值为，最小值为.
（ii）因为，，
，所以，
由（i）可知在上的最大值为，
由，，
所以，
所以实数m的取值范围为.
18．答案：（1）3；
（2）（i）证明见解析；（ii）
解析：（1）设圆台的高为h，
则，解得.
（2）（i）由题可知，
因为，所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为平面，平面BCR，所以，
因为，平面，
所以平面，又平面，所以.
（ii）以为原点，所在直线分别为y，z轴，
以过点且垂直于的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
由（i）可知为平面的一个法向量，
设平面CDR的一个法向量为，
则，
取，得，所以.
设平面与平面CDR的夹角为，
则，
所以平面与平面CDR夹角的余弦值为.
19．答案：（1）；
（2）C在点M处的切线方程为，C在点N处的切线方程为；
（3）存在定点
解析：（1）因为抛物线经过点，
所以，所以C的方程为.
（2）由题得l的方程为，即，
联立，取，
由，得，所以点N处的切线的斜率为2，
则C在点N处的切线方程为，
即，显然C在点M处的切线方程为.
（3）由题可知l的斜率存在，
设，，，
联立，得，
则，，.
当时，，此时点B为线段MN的中点，
过点B作l的垂线，其方程为，
与直线的交点即为，满足DB平分.
下面证明点满足题意：
当直线DN的斜率不存在时，，
此时，则，直线DM的斜率为0，
易得，所以DB平分，
根据对称性，当直线DN的斜率为0时，直线DM的斜率不存在，
同理可得DB平分；
当直线DN的斜率存在且不为0时，，
设直线，直线，
若DB平分，则点B到直线DM，DN的距离相等，
点B到直线DM，DN的距离分别为，，
所以，则，
又
成立，所以DB平分.
综上，直线上存在定点，使得DB平分.课外阅读时间
视力健康情况
合计
视力正常
视力不良
小时/天
35

60
小时/天

10

合计


100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
课外阅读时间
视力健康情况
合计
视力正常
视力不良
小时/天
35
25
60
小时/天
30
10
40
合计
65
35
100