2025-2026学年广东省广州市番禺区仲元中学等校八年级（下）期中数学试卷（含答案+解析）

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1.要使二次根式 x−3有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠3B. x>3C. x≤3D. x≥3
2.下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 6B. 32−22=3−2
C. ( 3−1)2=3−1D. 3× 2= 6
3.若 24n是整数，则正整数n的最小值是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
4.如图，长方形纸片ABCD中，AB=4，AD=8，将纸片沿EF折叠使点B与点D重合，折痕EF与BD相交于点O，则DF的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
5.下列条件不是直角三角形的是( )
A. a2+b2=c2B. a2：b2：c2=1：3：2
C. ∠A=∠B−∠CD. ∠A：∠B：∠C=3：4：6
6.若一个多边形的内角和是1080∘，则这个多边形是( )
A. 十边形B. 六边形C. 八边形D. 七边形
7.如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的正中央，高出水面部分BC的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′，则这根芦苇AB的长是( )
A. 15尺B. 16尺C. 17尺D. 18尺
8.如图，下列条件中，不能确定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB=CD，AD//BCB. AB=CD，AB//CD
C. AB//CD，AD//BCD. AB=CD，AD=BC
9.如图，所示，从一个大正方形中裁掉面积为20cm2和90cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为( )
A. 110cm2
B. 30 2cm2
C. 60 2cm2
D. (4 5+6 10)cm2
10.如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD=1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF//BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①∠BAD=∠CAE；②△ABD≌△BCF；③四边形BDEF是平行四边形；④S△ABC=92 3；⑤S△AEF=2S四边形BDEF.其中正确的有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算： 18= .
12.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O.若AC=10，BD=6，则当AO= ，DO= 时，四边形ABCD是平行四边形.
13.直角三角形有两边长分别为3，4，则该直角三角形第三边为 .
14.计算： ( 6−3)2= .
15.在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是A(1,2)，B(3,0)，C(5,4)，则平行四边形第四个顶点D的坐标为 .
16.如图，在四边形ABCD中，连接BD，∠ADB=∠CBD=90∘，∠BDC=2∠ABD.已知E是BC边上的一点，连接DE，过点E作EF⊥CD于点F，且BE=EF.若BD=3，CD=5，则AB的长为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1) 2+ 8− 32；
(2)( 5−1)2+2 15÷ 3.
18.(本小题8分)
计算：已知x= 3+1，y= 3−1，求下列各式的值：
(1)x2+xy+y2；
(2)(y+x)(y−x).
19.(本小题8分)
如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点.
(1)直接写出下列线段的长度：AB=______，AD=______；
(2)连接BD，判断△ABD形状，并证明你的结论.
20.(本小题8分)
综合与实践
学校花园有一个不规则的池塘，A，B两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离.综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下：
问题解决：
(1)试判断△BCD的形状，并说明理由；
(2)求池塘两端A，B之间的距离.
21.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F是垂足，求证：DE=BF.
22.(本小题10分)
如图(1)所示是某校篮球架实物图，如图(2)所示是篮球架的侧面示意图，蓝板边侧AB垂直于地面.八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板AB高度的实践活动，在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图(3)所示，小组成员将竹竿HE垂直固定在地面CD上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线FB与竹竿HE的夹角∠HFB的度数为48∘，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线GA与竹竿HE的夹角∠HGA的度数恰好等于∠HFB的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量GF的长度为1m，活动分享时，小明说：“GF的长度就是篮板AB的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由.
23.(本小题12分)
“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.在世界数学史上具有独特的贡献和地位.现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.设直角三角形的两条直角边长分别为a，b(a>b)，斜边为c，请利用这个图形解决下列问题：
(1)试说明：a2+b2=c2；
(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求(a+b)2的值.
24.(本小题12分)
【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S= p(p−a)(p−b)(p−c).
【解决问题】：已知在△ABC中，AC=4，BC=7.5，AB=8.5.
(1)请你用“海伦-秦九韶公式”求△ABC的面积．
(2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求△ABC的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
25.(本小题14分)
定义：若端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的等积线.例：如图1，在▱ABCD中，连结AC，我们可以利用“夹在两条平行线间的垂线段相等”，结合“等底(同底)等高的两个三角形面积相等”来说明△ABC与△ADC的面积相等，即AC是▱ABCD的等积线.
(1)请利用图1完成例的证明.
(2)如图2，在四边形ABCD中，连结AC，BD.已知点D与BC上一点E的连线段DE是四边形ABCD的等积线，过点E作BD的平行线，交AC于点F，若AC=6，求CF的长度.
(3)如图3，在(2)的条件下，延长EF，交CD于点G.若FG=EF，请在图中找出一条不同于DE的四边形ABCD的等积线，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：依题意得：x−3≥0，
解得x≥3.
故选：D.
二次根式有意义时，被开方数是非负数．
考查了二次根式的有意义的条件．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】D
【解析】解：利用二次根式的加法，二次根式的混合计算，二次根式的乘法以及二次根式的性质可得：
A、 2与 3不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、 32−22= 9−4= 5，计算错误，不符合题意；
C、( 3−1)2=3−2 3+1=4−2 3，计算错误，不符合题意；
D、 3× 2= 6，计算正确，符合题意．
故选：D.
利用二次根式的加法，二次根式的混合计算，二次根式的乘法以及二次根式的性质求解即可．
本题考查二次根式的混合运算，正确进行计算是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵ 24=2 6，
∴ 24n=2 6n，
由条件可知6n是完全平方数，
∴n的最小值为：6.
故选：D.
要使 24n为整数，需满足24n是完全平方数，由 24n=2 6n，即可确定n的最小值．
本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵AB=4，AD=8，四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=8，CD=AB=4，
设DF=x，
由折叠的性质可知，BF=DF=x，
∴CF=BC−BF=8−x，
在Rt△DFC中，DF2=CF2+CD2，即x2=(8−x)2+42，
解得x=5，
即DF的长为5.
故选：C.
设DF=x，由折叠的性质及矩形的性质可表示出BF和CF的长，在Rt△DFC中利用勾股定理列式解方程即可得解．
本题考查翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
5.【答案】D
【解析】解：A、a2+b2=c2满足勾股定理逆定理，是直角三角形，不符合题意；
B、由a2：b2：c2=1：3：2，设a2=k，b2=3k，c2=2k，
则a2+c2=k+2k=3k=b2，满足勾股定理逆定理，是直角三角形，不符合题意；
C、由∠A=∠B−∠C，结合∠A+∠B+∠C=180∘，
则∠B−∠C+∠B+∠C=180∘，解得∠B=90∘，是直角三角形，不符合题意；
D、由∠A：∠B：∠C=3：4：6，设∠A=3k，∠B=4k，∠C=6k，
则∠A+∠B+∠C=3k+4k+6k=180∘，解得k=(18013)∘，
此时最大角∠C=6×(18013)∘≈83.08∘