浙江省宁波六校联盟2025-2026学年高二下学期期中联考数学试卷含答案（word版）

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1. 本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3. 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4. 考试结束后, 只需上交答题纸。
第 I 卷(选择题部分，共 58 分)
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。)
1. 已知 a 为实数,集合 P={1,a},Q={−1,0,2,3} ,若 P∩Q={0} ,则 a= ( )
A. 0 B. -1 C. 2 D. 3
2. " a≥4 " 是 " a≥4 " 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知 a>0,b>0 ,点 Pa,b 在函数 y=−2x+1 的图象上,则 ab 的最大值为 ( )
A. 12 B. 14 C. 18 D. 19
4. 通过下表 5 组数据得到的经验回归方程为 y=bx+0.84 ,则 b 的值为( )
A. -0.08 B. 0.08 C. -0.09 D. 0.09
5. 不等式 cx2+ax+b>0 的解集为 x −10,1a+2b=2 ，则 1a+1+2b+1 的最大值为_____.
四、解答题(本题共 5 小题，共计 77 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15.(本题满分 13 分)
某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位:cm)介于[15,25]之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示:
(1)求a的值；
(2)以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽 4 株，记高度在 [19,21) 内的株数为 X ，求 X 的分布列及数学期望 EX ;
16. (本题满分 15 分)
已知函数 fx=2x+12x
(1)用定义证明函数 fx 在 [0,+∞) 上是增函数；
(2)解不等式 f2x>fx+1 .
17. (本题满分 15 分)
fx=sinx+π3csx−34.
(1)求 f0 的值；
(2)求 fx 在 −π4,π4 上的值域；
(3)将函数 fx 的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数 gx 的图象,若不等式 gx≥a−12sinx+π3−32 对于任意 x∈π2,56π 恒成立,求实数 a 的最大值.
18.(本题满分 17 分)
马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型, 也是机器学习和人工智能的基石, 为状态空间中经过从’ 一个状态到另一个状态的转换的随机过程. 该过程要求具备“无记忆”的性质:下一状态的概率分布只能由当前状态决定, 在时间序列中它前面的事件均与之无关. 甲、乙两口袋中各装有 1 个黑球和 2 个白球,现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行 nn∈N∗ 次这样的操作,记口袋甲中黑球的个数为 Xn ,其中恰有 1 个黑球的概率为 pn ,恰有 2 个黑球的概率为 qn .
(1)求 p1,q1,p2 的值；
(2)求 pn 的值(用 n 表示)；
(3)求 Xn 的数学期望 EXn .
19. (本题满分 17 分)
已知函数 fx=x2+xx−2a ,其中 a 为实数.
(1)当 a=−1 时，求函数 fx 的最小值;
(2)若 fx 在 −1,1 上为增函数，求实数 a 的取值范围；
(3)对于 a∈(−∞,−4] ,若存在两个不相等的实数 x1,x2x1