北京燕山教育集团2025一2026学年第二学期九年级期中考试数学试卷

这是一份北京燕山教育集团2025一2026学年第二学期九年级期中考试数学试卷试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.如图，点A，O，B在一条直线上，，且与互余，，那么的大小为（ ）
A. B. C. D.
3.有理数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A. －4B. C. D. 4
5.南水北调东中线一期工程已经成为优化水资源配置、保障群众饮水安全、复苏河湖生态环境、畅通南北经济循环的生命线，累计调水突破800亿立方米，直接受益人口达到185000000，将185000000用科学记数法表示应为（）
A. B. C. D.
6.将分别标有“中”“华”“文”“化”汉字的4张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余均无差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为（）
A. B. C. D.
7.如图，在直角三角形中，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线交于点O，连接．若，则的长为（ ）
A. B. 2C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x，y轴正半轴上，点B坐标为．点M是边上的动点（不与B，C重合），函数的图象经过点M且与边交于点N，给出下面四个结论：①与的面积一定相等；②若点M是边的中点，则点N一定为的中点；③在点M的运动过程中，是一个定值；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①②③C. ②③④D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，共27分。
9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是
10.分解因式： ．
11.方程的解为 ．
12.国家卫生健康委员会将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团．为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”的问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了不完整的统计图．
这次抽样调查中，选择羽毛球人数是36%，样本中个体的数目是 个，若该校有2500名学生，估计该校最喜爱篮球运动的学生有 人．
13.对于命题“若，则”，举出能说明这个命题是假命题的一组a，b的值，则 ， ．
14.如图，是地球的示意图，其中表示赤道，点P表示北京位置，分别表示北纬纬线和南纬纬线，．某一时刻，太阳光线所在直线经过地心O，此时点S处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为 °．
15.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 ．
16.某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示：
(1) 两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，最短需要 分钟．
(2) 若三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，且每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要收拾，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 分钟．
三、计算题：本大题共2小题，共4分。
17.计算：．
18.解不等式组：．
四、解答题：本题共10小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题2分)
已知，求代数式的值．
20.(本小题4分)
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF.
(1) 求证:四边形ABEF是矩形；
(2) 连接OF，若AB=6，DE=2，∠ADF=45°，求OF的长度.
21.(本小题3分)
在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点．
(1) 求该函数的表达式及点的坐标；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的取值范围．
22.(本小题4分)
羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为，场地的长比宽的2倍还多包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离．
23.(本小题8分)
百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级：
（：，：，：，：）
下面给出了部分信息：
甲款评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，．
甲、乙款评分统计表：
乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 上述图表中 ， ；
(2) 计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中组对应的圆心角；
(3) 在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数：
(4) Deepseek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择Deepseek的概率．
24.(本小题4分)
如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，是的直径，连接并延长交直线于点D．
(1) 求证：；
(2) 延长交的延长线于点E．若的半径为，，求的长．
25.(本小题6分)
沙漏，又称沙钟，是以流沙计时的古代装置．某校在九年级开展了简易沙漏的原理探秘与制作活动．在以下探究实验中，沙漏容器取材于相同规格的瓶子，所用沙子材质与规格完全一样，沙漏的孔洞均为圆形，孔径即为孔洞的直径．
探究一：甲组同学选择某确定孔径的沙漏，探究漏下沙子的质量（单位：）与时间（单位：）之间的关系，部分数据如下：
探究二：乙组同学选取除孔径外无其他差别的沙漏，探究漏完沙子所用的时间（单位：）与孔径（单位：）之间的关系，部分数据如下：
根据以上探究的实验数据，解决下列问题：
(1) 在探究一中，时漏下沙子的质量约为 （结果保留小数点后一位）；
(2) 推断：探究一中所用沙漏的孔径为 ；
(3) 通过探究二，发现可以用函数刻画时间与孔径之间的关系．
①在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
②根据函数图象，若制作一个漏完沙子所用时间为的沙漏，其孔径约为_____（结果保留小数点后一位）．
26.(本小题4分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1) 当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2) 已知和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围．
27.(本小题6分)
如图，将正方形的边绕点顺时针方向旋转得到，连接，作于，连接，交于点，连接．
(1) 依题意补全图形；
(2) 求；
(3) 用等式表示，的数量关系，并证明．
28.(本小题4分)
在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外的一点C，给出如下定义：若直线，中一条垂直弦，另一条是的切线，则称点C为弦的“垂联点”．
(1) 已知点，，.
①如图1，在点，，中，弦的“垂联点”是____；
②如图2，若点C为弦的“垂联点”，直接写出的长；
(2) 已知点，，对于线段上一点S，存在的弦，使得点S为弦的“垂联点”，设的长为d，当点S在线段上运动时，直接写出d的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】x≥1
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】50
800

13.【答案】
​​​​​​​

14.【答案】10
15.【答案】12
16.【答案】【小题1】
7
【小题2】
12

17.【答案】解：原式
．

18.【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．

19.【答案】解：∵，
∴，
∴
．

20.【答案】【小题1】
证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB // CD.
∵DF=CE，
∴DF+DE=CE+ED，
即:FE=CD.
∵点F、E在直线CD上
∴AB=FE，AB // FE.
∴四边形ABEF是平行四边形
又∵BE⊥CD，垂足是E，
∴∠BEF=90°.
∴四边形ABEF是矩形.
【小题2】
解:∵四边形ABEF是矩形O，
∴∠AFC=90°，AB=FE.
∵AB=6，DE=2，
∴FD=4.
∵FD=CE，
∴CE=4.
∴FC=10.
在Rt△AFD中，∠AFD=90°.
∵∠ADF=45°，
∴AF=FD=4.
在Rt△AFC中，∠AFC=90°.
∴.
∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点，
∴O为AC中点
在Rt△AFC中，∠AFC=90°.O为AC中点.
∴OF= AC=.

21.【答案】【小题1】
【详解】（1）解：∵函数的图象经过点和，
∴将点和代入中，
，解得：，
∴该函数的表达式为：，
∵与过点且平行于轴的直线交于点，
∴将代入中，得，
∴；
【小题2】
（2）解：∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，
，
通过图象可知，当的函数值小于时，即将代入中，，
当的函数值大于函数的值将代入中，，
∴的取值范围为：．

22.【答案】解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是，则中线同侧的单、双打边线间的距离是，
由题意可得．
解得．
∴．
答：球网同侧的单、双打后发球线间的距离是．

23.【答案】【小题1】

​​​​​​​
【小题2】
解：根据（1）可知，乙款组人数为人，则组人数为人，
则其对应圆心角：．
答：．
【小题3】
解：乙款组人数为人，
组人数占比为，
组人数占比为，
组人数为人，
在乙款调查用户中，非常满意的人数为人，
在甲组用户中，非常满意的人数为人，
对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人．
答：对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人．
【小题4】
解：画树状图列出所有可能的结果为：
共有种等可能的结果数，其中两人中至少有一人选择 Deepseek的结果数为种，
故两人中至少有一人选择Deepseek的概率为．
答：．

24.【答案】【小题1】
证明：连接，如图1．
，是的切线，，是的半径，
，，
，．
，
，
，
．
又，
．
【小题2】
解：连接，，如图2．
在中，，
设，．则，．
在中，，即．解得．
，．
是的直径，
．
，，
．
，
．

25.【答案】【小题1】
​​​​​​​
/（答案不唯一）
【小题2】
3.0
【小题3】
解：①描点坐标：，，，，，并绘制函数的图象如下图，
②观察①所得函数图象，若制作一个漏完沙子所用时间为的沙漏，即当时，对应的孔径的值约等于．（答案不唯一）

26.【答案】【小题1】
解：当时，抛物线，
∴抛物线的对称轴为，
∴抛物线的顶点坐标为；
【小题2】
解：∵抛物线的对称轴为，
∴分两种情况讨论，
①当时，函数图象如图所示，
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴点在对称轴的右侧，
∵抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴点在对称轴右侧，
∵对于，都有，
∴，
∴解得，
②当时，函数图象如图所示，
∵抛物线的对称轴为，抛物线开口向下，，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∴点关于对称轴的对称点为，
∵对于，都有，
∴，且，
∴，，
∴解得，
综上所述，的取值范围是或．

27.【答案】【小题1】
解：由题意，补全图形如图：
【小题2】
∵正方形，
∴，
∵旋转，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
【小题3】
，证明如下：
连接，作，交的延长线于点，则：
由（2）可知：，，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∴，，
∴．

28.【答案】【小题1】
解：①点，，，
，，，
，
，
又，是的半径，
是的切线，
即点是弦的“垂联点”；
点，，，
，，，
与不垂直，即点不是弦的“垂联点”；
点，，，
，，
，
，是的半径，
是的切线，
，，
，
，
即点是弦的“垂联点”；
②点，，点C为弦的“垂联点”，
设点，分两种情况讨论：
第一种情况，当是的切线，，
，，
，
，
，
，
第二种情况，当是的切线，，
，，
，
解得，
，
，
综上所述，线段的长为；
【小题2】
解：线段上一点S，存在的弦，使得点S为弦的“垂联点”，随着S的变动在一定范围内变动，且点，，
如图所示，在线段上取一点S，作直径，连接、，
的长为d，
只考虑是的切线，一种情况即可，
，
，
，
，
随着的增大而增大，随着的减小而减小，
，
随着的增大而增大，随着的减小而减小，
，
随着的增大而增大，随着的减小而减小，
即求出最大值和最小值作为临界点；
当点S在点时，取最大值，即最大，
则是的切线，，如图所示，作直径，连接，
，，，，，
，
，是的切线，
，
，
，，是直径，
点M、Q、T三点共线，
，
，
，
，
，
，
当点S在经过点的的垂线上时，即点K，取最小值，即最小，
如图所示，作直径，连接，
同理可得，点K、P、T三点共线，，
，点，，
，，
，
，，
，
，
，
则d的取值范围为．
步骤时间（分钟）桌别
回收餐具与剩菜、清洁桌面
清洁椅面与地面
摆放新餐具
大桌
5
3
2
小桌
3
2
1
设备
平均数
中位数
众数
甲
乙