2025--2026学年福建省三明第一中学高二下册4月月考数学试题 [含答案]

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1．下列导数运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用求导的运算法则即可.
【详解】A. ，故A错误；
B. ，故B错误；
C. ，故C正确；
D. ，故D错误.
故选：C
2．已知，那么（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】根据组合数的性质和计算公式，直接计算即可求解.
【详解】由，得，即，
整理得，解得或（舍去）.
故选：C
3．已知函数，若，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求导得出，利用导数的定义可得出的值，即可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【详解】因为，故，
所以，
可得，解得.
故选：A.
4．甲、乙、丙、丁四人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（ ）
A．24 种B．16 种C．12 种D．4 种
【答案】D
【分析】根据相邻捆绑，不相邻插空和分步乘法计数原理即可分析计算求解.
【详解】甲、乙必须相邻，先将甲、乙两人捆绑作为一人有种排列方法，
丙、丁共有排列有种方法，
所以总的不同的安排方法有种.
故选：D.
5．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函数的导函数，利用导数有两个不同的零点，说明函数恰好有三个单调区间，从而求出a的取值范围．
【详解】解：∵函数f（x）＝ax3﹣3x2+x+1，
∴f′（x）＝3ax2﹣6x+1，
由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点，
∴3ax2﹣6x+1＝0满足：a≠0，且△＝36﹣12a＞0，解得a＜3，
∴a∈（﹣∞，0）∪（0，3）．
故选D．
【点睛】本题考查导数在研究函数单调性的应用，运用了函数与方程思想．属于基础题．
6．函数的单调减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调递减区间；
【详解】解：因为定义域是，
所以，
令，解得：，
故在上单调递减，
故选：A．
7．已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小.
【详解】因为，，，构造函数，
因为，由，得到，
由，得到，所以在区间上单调递减，
因为，，，
因为，所以，故选项A，C，D错误，选项B正确，
故选：B.
8．已知是函数的导函数，且对任意实数都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由条件可得，结合导数运算及求出函数的解析式，解不等式可得结论.
【详解】因为，
所以，即，
所以可设，
即，又，
所以，故，
所以不等式可化为，
故，
所以，
所以不等式的解集为.
故选：B.
二、多选题
9．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递减B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极小值D．函数在处取得极大值
【答案】AD
【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论.
【详解】由函数的导函数的图象可知，
当时，，所以在上单调递增，故B错误；
当时，，所以在上单调递减，故A正确；
所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确.
故选：AD.
10．设，则下列说法正确的有（ ）
A．的展开式中所有项的系数的和为1
B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】对于A，取，得的展开式中所有项的系数的和为，A正确；
对于B，取，得，B正确；
对于C，取，得，而，
因此，C正确；
对于D，依题意，，当为偶数时，，当为奇数时，，
因此，D错误.
11．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．当时，有2个零点
B．当时，恒成立
C．当时，是的极值点
D．若是关于的方程的2个不等实数根，则
【答案】BCD
【分析】对于A和B，由可得，令，利用导数得到的单调性和最值情况即可判断；对于C，将代入，利用导数得到的单调性即可判断；对于D，依题意可将问题等价转化为有两个零点，证明，进而只需要证明，也即是，从而令，构造函数求出最值即可.
【详解】对于A，令，即，
令，则，
令，解得，
故当，，单调递增；当，，单调递减；
所以的最大值为，
又因为当时，；当时，，故的图象如下图所示，
当时，函数与有两个交点，此时有2个零点，故A错误；
对于B，由A选项可得，
当时，由，可整理得，即，故B正确；
对于C，将代入得，所以，
令，解得，
故当，，单调递增；当，，单调递减；
所以是的极大值点，故C正确；
对于D，由，即，
因为是关于的方程的2个不等实数根，
所以，即，
所以等价于：有两个零点，证明，
不妨令，
由，
要证，只需要证明，
即只需证明：，
只需证明：，即，
令，
只需证明：，
令，
则，即在上为增函数，
又，所以．
综上所述，原不等式成立，即成立，故D正确.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
三、填空题
12．计算：______．
【答案】128
【分析】利用排列数、组合数公式计算即得.
【详解】.
故答案为：128
13．已知函数在处取得极小值，则实数__________.
【答案】
【分析】先对函数求导，再由函数在处取得极小值，列方程即可求出结果.
【详解】因为，所以，又函数在处取得极小值，
所以,故.
【点睛】本题主要考查根据函数的极值求参数的问题，属于基础题型.
14．已知实数，满足，则的最大值是______.
【答案】
【分析】根据题意，化简得到，设，求得是递增函数，得到，得出，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解.
【详解】由，可得，
设函数，可得，所以是单调递增函数，
所以，即，
则，其中，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，当时，函数取得极大值，也是最大值，最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用同构法得到，从而构造函数，由此得解.
四、解答题
15．已知的二项展开式有7项．
(1)求，并求出所有二项式系数之和；
(2)求展开式中含项的系数；
(3)求展开式中的有理项．
【答案】(1)；64
(2)1215
(3)，，，
【分析】（1）由二项展开式有7项，可得，所有二项式系数之和为；
（2）先求出二项展开式的通项为，再令，解得，代入通项计算即可；
（3）分析得出要得到有理项，必须让为整数，从而得到，再代入通项计算即可.
【详解】（1）因为的二项展开式有7项，所以，
所以所有二项式系数之和为；
（2）由（1）知，所以的二项展开式的通项为
，
令，解得，
所以展开式中含项的系数为；
（3）因为的二项展开式的通项为，
因为，且，所以能使为整数的，
所以展开式中的有理项分别为
，，
，.
16．设函数在处取得极大值．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最值．
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1），，
由题意得，即，解得，，经验证符合题意，
所以．
（2）由（1）可得，
令，得，，
所以在，单调递增，在单调递减，且，，，
所以，
17．已知函数，，曲线在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）证明：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【分析】（1）根据切线方程得出的值，利用导数的几何意义和点构造关于a，b的二元一次方程组，解出a，b，从而得到的解析式；（2）构造函数，然后求导，研究的范围，从而证明.
【详解】解（Ⅰ）：，则，
解得
（Ⅱ），
则在上递增，在上递减，
成立.
【点睛】本题考查导数的综合应用及不等式的证明，解决问题的关键是化不等式恒成立问题为函数的最值，属基础题.
18．某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算：
(1)求甲第2天选择羽毛球的概率；
(2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率；
(3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可.
（2）利用贝叶斯公式计算求解即可.
（3）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得.
【详解】（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为，
则且两两互斥，
依题意，，，
且，
由全概率公式得.
（2）由贝叶斯公式，得所求概率为.
（3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为，
由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立，
从而选择篮球的概率为，
当时，由全概率公式，得的递推关系为，
而，，化简得，.
19．已知函数，（）．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求a的取值范围；
(3)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值．
【答案】(1)答案见解析.
(2)
(3)1
【分析】（1）函数定义域为，求导，再分和两种情况讨论求解即可得答案；
（2）函数零点即方程的解，等价于,将问题转化为求与图像的交点个数;
（3）根据题意得在上恒成立，故令，求函数最大值即可得答案.
【详解】（1）由题意，，
当时，恒成立，在单调递增；
当时，令，得，
当，，当，
在单调递增，在单调递减
（2）有两个零点，等价于有两个实数根，即，
即，等价于与有两个交点．
由得，，
当，，当，，
在单增，单减． 且，，
，，，，且时，，图象如图，
的取值范围是
（3）不等式为，
所以不等式在上恒成立，
所以在上恒成立．
设，则，
当时，，，
又在上是增函数，，，
所以存在，使得，
当时，，；
当时，，，
即在上单调递增，在上单调递减，
，，
则，所以，
因为，所以，
又因为，所以，所以a的最小值为1
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增