2026年上海市虹口区初三下学期二模数学试卷和答案

这是一份2026年上海市虹口区初三下学期二模数学试卷和答案，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中, 有且只有一个选项是正确的, 选择正确项的代号并填涂在答题 纸的相应位置上】
a  4
下列各式中，
的有理化因式是（ ）
a  4
​
​
 2
 2
a  4
a
a
已知氧原子的直径大约是 0.00000014 毫米，那么数据 0.00000014 用科学记数法表示是（ ）
0.14 108
0.14 107
1.4 108
1.4 107
下列函数中，函数值 y 随着 x 增大而减小是（ ）
y  x2
y   1
x
y   x
y  1
一只不透明的袋子中，装有 3 个白球和若干个红球, 这些球除颜色外都相同，如果搅匀后
3
从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为
5
，那么红球的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
在 Rt ABC 中，ACB  90,B  30 ，利用尺规作图，把它分成两个三角形，使其中一个三角形是等腰三角形，下列作图中，错误的是（ ）
B.
C. D.
如图 1，在 Rt ABC 中，C  90 , AB  5, BC  4 ，以点 A 为圆心， r 为半径作圆，当点
C 在 A 内且点 B 在 A 外时， r 的值可能是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题：（本大题共 12 题, 每题 4 分, 满分 48 分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
2 的相反数是.
计算： 32  .
将二元二次方程 x2  5xy  6 y2  0 化为两个一次方程是.
请写出一个常数c 的值，使得关于 x 的方程 x2  2x  c  0 有两个不相等的实数根，那么c的值可以是.
如果将抛物线 y   x 12  4 向左平移mm  0 个单位后经过原点，那么m 的值是
.
为助力 “校园读书月” 活动，某班 20 名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍
数量(单位:本)如下表 1. 根据表中的信息，这 20 个数据的中位数是.
如图 2，已知小明调查了团队中每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了不完整的扇形统计图和条形统计图，那么喜欢黄色的同学有人
表 1
书籍数量/本
4
6
8
10
12
人数/人
3
4
5
6
2
如图 3，在矩形 ABCD 中，AB=8，AD=11， O 经过点C 、 D 和 AD 边上的点 E ，如果
O 的半径是 5，那么 AE 的长是.
如图 4，以正六边形 ABCDEF 的顶点 A 为圆心， AB 的长为半径画圆，如果图中阴影部分的面积为3，那么该正六边形 ABCDEF 的边长是.
a
如图 5，在ABCD 中，对角线 AC 、 BD 交于点O ， G 为ACD 的重心，联结CG 并延长交 AD 交于点 E ，设 AC   ， BD  b ，那么用向量a 、b 表示 ED 是.
如图 6，在 Rt ABC 中，C  90, AC  4, tanB  1 ，点 D 在边 AB 上，点 E 在边 BC 上，
2
联结 DE ，把BDE 沿 DE 翻折得到FDE ，联结 AF 、 AE ，如果四边形 AFDE 为平行四边形，那么CE 的长是.
2
已知抛物线C1 : y  a  x  m2  k 和C : y  a  x  k 2  m ，它们的顶点分别为m, k  和
k, m ，我们称C 和C 互为 “反顶点抛物线”，如果抛物线C : y  x2  2kx  k 2  3 和C 互为
1212
“反顶点抛物线”，且C1 的顶点在C2 上，那么k 的值是.
三、解答题：（本大题共 7 题, 满分 78 分）
19.（本题满分 10 分）
2
x 
1 x  3  x2  4x  3
先化简，再求值：
x 1
x2 1
，其中
x2  2x 1
20.（本题满分 10 分）
3 x 1  x  5,①
解不等式组： 


10 

5  3x
2
x,②
21.（本题满分 10 分，第( 1 )小题 5 分，第( 2 )小题 5 分）
如图 7，在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线经过OAB 顶点 B 和边OA 上的一点C ，
5
OC  2AC,OC ，设边OA 与 x 轴正半轴的夹角为，且sin5 .
5
求双曲线的表达式；
如果 AB// x 轴，求点 B 的坐标.
22. （本题满分 10 分, 任务一 6 分, 任务二 4 分）根据以下素材， 完成任务.
素材一
如图 8，如果 EF  平面镜 AB ，入射光线CF 经平面镜 AB 反射，得到反射光线 FD ，那么反射角 DFE 等于入射角CFE ，即DFE  CFE
素材二
汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻……”，意思是拿一面大的镜
子，高高地悬挂起来，在它的下方放置一个盛满水的盆子，就能（从水盆里）看见周围邻居（的景象），如图 9 所示.
素材三
图 10 是素材二中图 9 的示意图，将水盆记作点 B ，墙角记为点 P ，邻居记作点 A ，镜子（平面镜）记作 MN ,OD  MN 于点O ，入射光线 AO 经平面镜MN 反射，得到反射光线OB, BE  AB 于点 B, OB 又作为入射光线通过水盆 B 反射得到反射光线 BC ，进入观察者的眼中（抽象为点 C ）.
已知 OP  AB 于点 P,AOD  45 ，CBE  37 ，水盆到墙角的距离 BP  1.8 米.
素材四
参考数据： sin37  0.6, cs37  0.8, tan37  0.75
问题解决
任务一
求邻居 A 到墙角 P 的距离；
任务二
如果入射光线OA 不变，将镜子MN 绕点O顺时针旋转 8°，在OP左侧的观察者仍能通过
水盆 B 看到邻居 A ，那么水盆 B 应向左还是右平移? 平移多少米?
23.（本题满分 12 分, 第 (1) 小题 6 分, 第 (2) 小题 6 分）
如图 11， ABC 和 ADE 都是等腰直角三角形，BAC DAE  90, AB  AC , AD  AE ，联结 BD、CE， BD 、ADB  90 ，延长 BD 交CE 于点 F ，交 AC 于点G .
求证：四边形 ADFE 为正方形；
如果FBC  ACF ，求证： 2 AD2  FG  FB .
24.（本题满分 12 分，第(1)小题 4 分，第(2)①小题 3 分，第(2)②小题 5 分）
已知抛物线
y  ax2  bx  c a  0 .
画抛物线时，如果列出的两组数据如表 2（信息不完整）所示，请直接写出该抛物线的对称轴，并求此时a 和c 之间的数量关系；
已知点C 为抛物线与 y 轴的交点，点 A 、 B 在抛物线上，联结OA 、 AC 、CB 和OB .
①如果四边形 OACB 为正方形，那么b 的值是， a 和c 之间的数量关系是
；
②如图 12，当a  0 时，已知四边形OACB 为菱形， ctAOC  2 ，点 P 在抛物线上且横坐标为 2，联结 PA、PC，如果PAC 的面积为 12，求抛物线的表达式.
表 2
x
...
-1
...
1
...
y
...
2
...
2
...
25.（本题满分 14 分，第( 1 )小题 4 分，第( 2 )①小题 5 分，第( 2 )②小题 5 分）
如图 13，在扇形 AOB 中，AOB  90 ，点C 是弧 AB 上一点，点 D 是半径OB 上的点，联结 CD,OCD 的平分线和COD 的平分线相交于点 P ，联结 BP .
（1）求证：OPB  90  1 ODC ；
2
（2）联结 BC （如图 14），如果CD  OB ， CP  10 ， OPB 的外接圆M 与扇形 AOB 所在的圆O 相交.
①当csCBD  1 时，求M 与O 的公共弦的长；
4
②联结 AM 和 AP, AP 交OC 于点 E ，当 AM  OP 时，求tanPAM 的值和OE 的长.
参考答案
一、选择题
1. B 2. D 3. C 4. A 5. B 6. C
二、填空题
7. 2
8. 1
9
9. x  6 y  0 或 x  y  0
10. 0（ c  1 即可） 11. 3 12. 8 13. 22 14. 5
15. 3 16.
1 1 
a  b
17. 2 18. 2 或 3（3 两个函数相同）
44
三、解答题
19.（1）化简为
2
 x 12
，代入后值为6  4
2
20. 1  x  3
21.（1） y  2
x
（2）  4 , 3 
 3 2 

22.（1）3.2 米 （2）向左平移 1.4 米
23.（1）证明略 （2）证明略
24.（1）抛物线的对称轴为直线 x  0 ； a  c  2 （2）0； ac  2 （3） y   1 x2 16
5
2
25.（1）证明略 （2）①40 ② tanPAM
的值为 1
3
；OE 的长为6