四川省绵阳市2025_2026学年高二数学上学期期末模拟试题一含解析

这是一份四川省绵阳市2025_2026学年高二数学上学期期末模拟试题一含解析，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知点，点，则直线的倾斜角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 135°
【答案】B
【解析】
【分析】先由，求斜率，再求倾斜角.
【详解】设直线的斜率为k,则.令直线的倾斜角为，则，，.
故选：B
2. 某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业年种系列产品年总收入是年的倍，其中种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（ ）

A. 年甲系列产品收入比年的多
B. 年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多
C. 年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的
D. 年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍
【答案】C
【解析】
【分析】利用已知条件可分别得出年和年种系列产品所占总收入的比例，结合该企业年种系列产品年总收入是年的倍，逐一检验选项即可得出答案．
【详解】对于A：年甲系列产品收入占了总收入的，年甲系列产品收入占了总收入的，
而该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年甲系列产品收入比年的多，故A选项不符题意；
对于B：年乙和丙系列产品收入之和占了总收入的，该企业年种系列产品年总收入是年的倍，
故年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多，故B选项不符题意；
对于C：年丁系列产品收入占了总收入的，年丁系列产品收入占了总收入的，而该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的，故C选项符合题意；
对于D：年戊系列产品收入占了总收入的，年戊系列产品收入占了总收入的，而该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍，故D选项不符题意.
故选：C.
3. 从抛物线上一点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，若是正三角形，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】设，由，列出关系式求出，即可求出.
【详解】设，，，因为是正三角形，所以，因为，
所以即，
又因为，解得或（舍），所以.
故选：D.

4. 在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：”．用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为和，则这两平面所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由定义得出两直线的法向量，数量积公式求出法向量的夹角余弦值.
【详解】由题意，平面和平面的法向量分别是
，，
设平面和平面的夹角为，
故选：B.
5. 某居委会从5名志愿者中随机选出3名参加周末的社区服务工作，则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用古典概型即可求得甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率.
【详解】设这5名志愿者为甲，乙，丙，a，b，
从5名志愿者中随机选出3名，共有10种可能的结果：
（甲，乙，丙），（甲，乙，a），（甲，乙，b ），（甲，丙，a），（甲，丙，b），
（甲，a，b），（乙，丙，a），（乙，丙， b），（乙，a，b），（丙，a，b），
其中甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上包含4种情况
则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为
故选：A
6. 三棱柱中，所有棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，得到，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】如图所示，设，棱长为，则，
因为，
可得，
又由，
，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
7. 已知双曲线的左焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，并与双曲线交于点，且有则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用双曲线的定义和几何性质，结合向量关系求出的关系，进而求解渐近线方程．
【详解】双曲线的左焦点，其中，
渐近线方程为，取一条渐近线，则垂直于渐近线，斜率为，
方程为，
联立渐近线与的方程得：，解得，故，
，即，
，
，故，
代入双曲线方程得，化简得，
化简整理得，
，解得，
双曲线渐近线方程为，故A正确．
故选：A．
8. 数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在P点处的切线垂直于法线（即的平分线）．已知椭圆，坐标原点O到点P处切线l的距离为，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出辅助线，根据光学性质，得到点处切线与直线所成的角均为，求出点到l的距离，结合椭圆的定义得到原点到切线l的距离，得到方程，求出，由余弦定理，得到，求出离心率.
【详解】设点P处切线为l，
如图，是的平分线，则，设，则．
根据椭圆的光学性质，点P处切线l与直线所成的角均为，
点到切线l的距离分别为，．
为的中点，
∴由梯形中位线性质得，原点O到点P处切线l的距离为，
，故．又，
由余弦定理，得，
，即，故，
椭圆C的离心率．

故选：C．
二、多项选择题
9. 已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线C的实轴长为6
B. 双曲线C的渐近线方程为
C. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为4
D. 双曲线C上的点到焦点距离的最小值为8
【答案】AC
【解析】
【分析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，则，
对于A中，双曲线的实轴长为，所以A正确；
对于B中，双曲线的渐近线方程为，所以B不正确；
对于C中，设双曲线的右焦点，不妨设一条渐近线方程为，即，
可得焦点到渐近线的距离为，所以C正确；
对于D中，根据双曲线的性质，可得双曲线上的点到焦点的最短距离为，所以D错误.
故选：AC.
10. 已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确的有（ ）
A. 圆C上恰有两个点到直线l的距离为B. 切线长的最小值为
C. 直线AB恒过定点D. 当四边形PACB面积最小时，直线AB方程为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A：利用点到直线距离公式计算出圆心C到直线l的距离后，结合半径长即可得；对B：借助切线性质与勾股定理计算即可得；对C：设，利用切线的性质可得A，B在以PC为直径的圆上，且可表示出该圆方程，联立圆C方程，作差可表示出直线AB方程，即可得所过定点；对D：利用等面积法及切线性质计算可得当取最小值时，四边形PACB面积最小，此时有，则可得直线PC方程，可解出点坐标，结合C选项中所得直线AB方程即可得解.
【详解】由圆，得圆心，圆半径，
A选项：点C到直线l的距离为，又，即，
所以圆C上恰有两个点到直线l的距离为，A选项正确；
B选项：切线长，
所以当取最小值时，切线长最小，，
所以，B选项错误；
C选项：由切线的性质可知A，B在以PC为直径的圆上，
设，则以为直径的圆的圆心为，
半径为，
圆的方程为，
即，
又A，B在圆C上，则，
得，则，解得，
所以AB恒过定点，C选项正确；
D选项：由已知，
所以，
所以当取最小值时最小，此时，
所以，直线PC方程为，
即，联立，解得，故，则，
所以，即，D选项正确．
故选：ACD．
11. 已知正方体棱长为1，以A为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，下列结论正确的是（ ）

A. 点B到平面的距离为
B. 在上的投影向量是
C. 点B关于平面的对称点坐标为
D. 点P在内部，，则点P的轨迹长为
【答案】BC
【解析】
【分析】由点到平面的距离公式可判断A；由投影向量的定义可判断B；设点关于平面的对称点坐标为，由，且点到平面距离为求解可判断C；求出点P的轨迹可判断D.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为，
则，，，，，
，，，
对于A，，，，
设平面的法向量为，
，得即，
令，则，，
则点B到平面距离为，故A错误；
对于B，
在上投影向量是：
，故B正确；
对于C，由B知，平面的法向量为，
点B到平面距离为，
设点关于平面的对称点坐标为，
则，且点到平面距离为，
设，，
所以，
点到平面距离为，
则，解得：或（舍去），
所以，故C正确；
对于D，过点作平面，因为平面，
所以，
则即为点B到平面距离为，即，
又因为，所以，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
所以点P的轨迹长为,
又因为到直线的距离为，，点的轨迹不是一个整圆，
故D错误.

故选：BC.
三、填空题
12. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】设所求双曲线方程为，将代入可得，从而求出双曲线方程.
【详解】设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为，
将代入得，
故所求双曲线方程，即.
故答案为：
13. 如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射球O，在平面上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的离心率为___________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】先根据投影的特点确定椭圆C的a，b的取值与球O半径长之间的关系，即可求离心率.
【详解】设球O半径为r，由题意知：，
，椭圆的长半轴长，
椭圆短半轴长为球的半径，即，
所以，
椭圆的离心率为，
故答案为：.
14. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，若，则线段的中点到轴的距离的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用抛物线的定义和几何性质，结合三角形的几何性质求距离的最小值．
【详解】
抛物线的标准形式为，则焦点坐标，准线方程，
设，由抛物线定义可得，
又，当且仅当三点共线时等号成立，
则，化简得，
线段中点的纵坐标为，
，线段的中点到轴的距离的最小值为．
故答案为：．
四、解答题
15. 某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取800名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）请补全频率分布直方图并估计这800名学生的平均成绩；
（2）估计这800名学生的成绩的第60百分位数
（3）采用分层随机抽样的方法从这800名学生中抽取容量为40的样本再从该样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查求至少有1名学生成绩不低于90分的概率．
【答案】（1）频率分布直方图见解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图求得成绩落在的频率，根据频率分布直方图中求平均数的公式即可求平均成绩；
（2）利用频率分布直方图结合百分位数的计算方法即可求解；
（3）根据古典概型计算公式即可求解
【小问1详解】
成绩落在的频率为，
补全的频率分布直方图如图：
这800名学生的平均成绩约为：
.
【小问2详解】
五组数据的频率分别为，
，而，
所以这800名学生的成绩的第60百分位数位于，
所以，
所以这800名学生的成绩的第60百分位数为.
【小问3详解】
抽取的40名学生中，成绩在内的有（人），分别记为，
成绩在内的有（人），分别记为，
从这6人中随机抽取2人的样本空间为：
，
共15个样本点，
记事件“至少有1名学生成绩不低于90分”，
则，
事件包含的样本点为个，
故，
所以至少有1名学生成绩不低于90分的概率为.
16. 已知圆的圆心坐标为，与直线交于两点，且．
（1）求过点的圆的切线方程．
（2）已知两定点，动点与的距离之比，那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，求的值．
【答案】（1）和
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用点到直线距离公式及弦长公式求出圆的方程，再结合直线与圆的位置关系求切线方程；
（2）利用两点间距离公式结合已知条件得出圆的一般方程，利用已知方程列方程组求出，进而求解．
【小问1详解】
已知圆的圆心坐标为，设圆心到直线的距离为，
则，
已知，由弦长定理得，解得，即，
圆的方程为．
当斜率不存在时，圆心到直线的距离为，故是圆切线；
当斜率存在时，设斜率为，设切线方程为，即，
圆心到切线距离，即，化简整理得，
解得，故切线方程为，
综上，切线方程为和．
【小问2详解】
设动点，由得，平方后移项整理得：
，
，
，
已知轨迹方程为，则，
．
17. 甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）求两人在两轮比赛中都答对的概率；
（2）求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率；
（3）求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算即可；
（2）两人分别答两次，总共四次中至少答对3道题，分五种情况计算可得答案；
（3）分甲和乙均答对两个题目、均答对三个题目两种情况计算即可.
【小问1详解】
依题意，设事件“甲两轮都答对问题”，“乙两轮都答对问题”，
所以.
因为事件相互独立，
所以两人在两轮比赛中都答对的概率为
【小问2详解】
设事“甲第一轮答对”，“乙第一轮答对”，
“甲第二轮答对”，“乙第二轮答对”，
“两人在两轮比赛中至少答对3道题”，
则，
由事件的独立性与互斥性，
可得
故两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率为.
【小问3详解】
设事件分别表示甲三轮答对2个，3个题目，
分别表示乙三轮答对2个，3个题目，
则，
，
设事件“两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2”，
则，且分别相互独立，
所以
.
所以两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目个数相等且至少为2的概率为.
18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点；
（3）设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，证明的轨迹为圆，并求该圆的方程．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）点的轨迹是圆，该圆的方程为
【解析】
【分析】（1）根据椭圆焦点坐标得，离心率为，得，从而求出，得出椭圆方程；
（2）写出中垂线方程，联立椭圆方程，判别式等于零，即可证明恰有一个公共点；
（3）解法一：设出直线方程，直线与椭圆联立方程消掉一个未知数，根据判别式等于0，即可求解．解法二：利用椭圆的定义和线段垂直平分线的性质结合光学性质，得到，从而得到点的轨迹和轨迹方程．
【小问1详解】
因为椭圆左、右焦点分别为，，所以，
又因为椭圆的离心率为，得，所以，
所以椭圆方程为；
【小问2详解】
由，得直线斜率，中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为，
联立垂直平分线方程和椭圆方程，得，
则，，，所以直线与椭圆相切，
线段的垂直平分线与C恰有一个公共点；
【小问3详解】
解法一：设，
当时，的垂直平分线方程为，
此时，解得或；
当时，的垂直平分线方程为：
，
联立，
得，
即
因为线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，
故，
即，
则，
即，
，即，
，
而，也满足该式，
故点的轨迹是圆，该圆的方程为，即.
解法二：设线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点为，
则当点不在长轴时，线段的垂直平分线即为点处的切线，也为的角平分线，

作的角平分线，根据椭圆的光学性质得，
，则，故，
所以三点共线，所以，
所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，
当在椭圆长轴上时，点为或也满足，
故点的轨迹是圆，该圆的方程为.
19. 在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点.
（1）设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面平面；
（ii）求球O的半径
（2）求二面角的余弦值的最小值.
【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）球O的半径为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）（i）由题设求证，即可由线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直判定定理得证；（ii）建立以A为原点空间直角坐标系，
设球心，半径，由列方程组即可计算求解.
（2）过P作于G，在平面中，过G作，设，，以G为原点建立适当的空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量,即可由向量夹角公式，通过换元，利用二次函数的性质即可求得.
【小问1详解】
在中，由，得，
所以，且，即，
（i）证明：因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（ii）以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，设球心，半径，
则，
所以，
解得，所以球O的半径为；
【小问2详解】
在平面中，过P作于G，在平面中，过G作，
因平面,则平面.
则由（1），
设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内，
则，
所以，
设平面一个法向量分别为，则，
即，取，则得；
平面的一个法向量为，则，
即，取，则得，
所以，
令，则由得，则，
于是
，
当且仅当即时等号成立，
所以二面角的余弦值的最小值为.
【点睛】方法点睛：求空间二面角常用方法：
（1）定义法：根据定义作出二面角的平面角；
（2）垂面法：作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的两条交线所成的角就是二面角所成角的平面角；
（3）向量坐标法：作几何体的空间直角坐标系，求出二面角的法向量，直接由公式计算即可；
（4）射影面积法：求出斜面面积和它在有关平面的射影的面积，再由射影面积公式计算求解.