2025-2026学年下学期_广东深圳高三数学二模试卷含答案

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这是一份2025-2026学年下学期_广东深圳高三数学二模试卷含答案，文件包含十年2015-2024高考语文真题分类汇编全国通用专题16语言文字运用病句类教师版docx、十年2015-2024高考语文真题分类汇编全国通用专题16语言文字运用病句类学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后, 留存试卷, 交回答题卡。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 已知 z=21−i ,则 z=
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
2. 已知集合 A={−1,0,1,2},B=x∣x2−3x+2≤0 ，则 A∩B=
A. {−1} B. {1} C. {1,2} D. {0,2}
3. 1+2x5 的展开式中 x2 的系数为
A. 20 B. 40 C. 60 D. 80
4. 设 a,b∈R ,则 “ 3a>3b ” 是 “ a3>b3 ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 在平行四边形 ABCD 中, AE=2ED ,则 BE=
A. −53AB+23AC B. −13AB+23AC C. 13AB+23AC D. 53AB+23AC
6. 已知直线 l ，平面 α ，满足 l⊄α ，则下列命题一定正确的是
A. 存在 m⊂α ,使得 l/m 相交 B. 存在 m⊂α ,使得 l//m
C. 存在 m⊂α ,使得 l.,m 的夹角为 π6 D. 存在 m⊂α ,使得 l⊥m
7. 双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1、F2,O 为坐标原点, 点 P 是 C 上一点, F1F2=PF2=255OP ,则 C 的离心率为
A. 1+2 B. 1+3 C. 3 D. 1+5
8. 已知函数 fx=exx−1+x2−x ,则满足 fm0 的焦点为 F,A,B 是 C 上不同的两点 (其中 A 在第一象限),点 M−p2,0 . 当 AB 与 x 轴垂直,且 AB=2p 时, AM=22 .
(1)求 C 的方程；
(2)若 Q 为 x 轴上一点，且 AQ=BQ (点 Q 与 F 不重合). 从下面①②③中选取两个作为条件, 证明另外一个成立:
① A,B,F 三点共线; ② AQ//y 轴；③ MB⊥AB .
注: 若选择不同的组合分别解答, 则按第一个解答计分.
18. (17分)
如图，已知圆锥 PO 的底面直径 AB=2 ，其中 O 为底面圆心，母线 PA=3 ，动点 M 从 A 点出发，在圆锥的侧面上绕轴 PO 一周后回到 A 点，其轨迹为 L .
(1)求 L 长度的最小值；
(2)若点 Q 在圆 O 上，且 PM=23−csθPQ ( θ 是 AQ⏜ 所对的圆心角， 0≤θ≤2π )，证明: 存在非零向量 n ,使得 AM⊥n 恒成立;
(3)在(2)的条件下，可知 L 是平面曲线，记 L 所在平面为 α ，求平面 MPO 与 α 夹角余弦值的取值范围.

第 18 题图
19. (17 分)
一个微生物在如图所示 3×3 方格的培养皿中随机移动,每次均以相等概率移动到相邻的方格. 方格 C 是初始位置， A 是营养丰富的角落，每次到达方格 A 时，微生物进行一次繁殖. 记该微生物第 n 次繁殖时所经过的总移动步数为 Xnn∈N∗ .
(1)求 PX1=2,PX1=4,PX1=6 ；
(2)求 EX1 ；
(3)求 EXn .
参考公式:1. 若 0b3 ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案: C
5. 在平行四边形 ABCD 中, AE=2ED ,则 BE=
A. −53AB+23AC B. −13AB+23AC C. 13AB+23AC D. 53AB+23AC
答案: A
由于 BE=BA+AE=−AB+23AD=−AB+23AC+CD=−53AB+23AC ,选 A.

6. 已知直线 l ，平面 α ，满足 l⊄α ，则下列命题一定正确的是
A. 存在直线 m⊂α ,使得 l,m 相交 B. 存在直线 m⊂α ,使得 l//m
C. 存在直线 m⊂α ,使得 l//m 所成角为 π6 D. 存在直线 m⊂α ,使得 l⊥m
答案: D
对于选项 A ,若 l//α ,任意直线 m⊂α,l,m 不相交,矛盾;
对于选项 B ,若 l 与 α 相交,不存在直线 m⊂α ,使得 l//m ,矛盾;
对于选项 C ,若 l⊥α ,任意直线 m⊂α,l⊥m ,矛盾;
对于选项 D,若 l⊥α ,任意直线 m⊂α,l⊥m ;
若 l//α ,存在直线 n⊂α,l//n ,令 m⊥n ,则 l⊥m ;
若 l 与 α 相交,存在平面 β,l⊥β,α∩β=n ,令 m//n ,则 l⊥m , D 正确.
7. 双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2,O 为坐标原点,点 P 是 C 上一点, F1F2=PF2=255OP ,则 C 的离心率为
A. 1+2 B. 1+3 C. 3 D. 1+5
答案: A
解析在 △OPF2 中, OF2=c,PF2=2c,OP=5c ,

则 OF22+PF22=OP2 ,则 PF2⊥x 轴,
于是 PF1=22c ,由于 PF1−PF2=2a ,则 22−1c=2a , e=ca=12−1=2+1;
8. 已知函数 fx=exx−1+x2−x ,则满足 fm12 时,函数 y=x2−x 单调递增,于是函数 fx 在 12,+∞ 上单调递增,
由 fmm−12 ,即 2m>−4,m>−12 ,选 B
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 fx=csx+π4 ，则
A. fx 的最小正周期为 2π
B. fπ2=22
C. fx+5π4 为偶函数 D. fx 的图象关于直线 x=7π4 对称
答案: AD
10. 某公司统计了去年 1 月份到 5 月份某种产品的销售额如下表:
根据表中数据,通过最小二乘法求得的经验回归方程为 y=0.32x+1.54 ,则
A. 变量 y 与 x 正相关 B. t=2.6
C. 样本数据 y 的下四分位数为 1.8 D. 当 x=8 时, y 的预测值为 4.1 万元
答案: ABD
对于选项 A ,由于 k=0.32>0 ,则变量 y 与 x 正相关;
对于选项 B，由于 x=3 ，则 y=1.8+2.2+2.8+3.1+t5=2.5 ，则 t=2.6 ；
对于选项 C，由于 5×14=1.25b>0 ,
其中 2a=42c=2 ,则 b=3 ,方程为: x−124+y23=1 ,如图,
由于直线 AB 始终与 x2+y2=1 有公共点 A ,
不妨设 PB 的倾斜角为 θ ,如图, θ>π2 才能取到最小值, θ−π2≤∠OBA ,其中直线 HB 与圆相切,
由 OH=1,OB=2,θ−π2≤π6,π20 ,则 g1x 在 [1,+∞) 上单调递增,
于是 g1x≥g11=e−2>0 ,则 g′x≥0 ,
于是 gx 在 [1,+∞) 上单调递增,于是 gxmin=g1=e−2 ,则 a∈(−∞,e] ;
解法 3 由于 fx=ex−x2+2−ax≥1,x≥1 ,
f′x=ex−2x+2−a,f′′x=ex−2≥e−2>0 ,
则 f′x 在 [1,+∞) 上单调递增,由于 f′1=e−a ,
若 f′1=e−ae ,由于 f′x 在 [1,+∞) 上连续,则存在 x∈1,x2,f′x1 ,
设 ℎt=et−t−1,ℎ′t=et−1>e−1>0 ,则 ℎt 在 1,+∞ 上单调递增,
则 ℎt>e−1−1>0 ,即 4−ae3−a0y1+y2=4ty1y2=−4,
取 A,B 中点 P ，连接 PQ ，由 QA=QB ，则 PQ⊥AB ，
而 kPQ=y1+y22x1+x22−x1=y1+y2x2−x1=4y2−y1=4y2+4y2=4y2y22+4,kBM=y2x2+1=y2y224+1=4y2y22+4 ,
则 kPQ=kBM ， PQ//BM ，则 MB⊥AB ；

解法 3: 如图,设 C 的准线为 l:x=−1 ,过点 A,B 分别作 l 的垂线,垂足为 A1,B1 ,过点 F 作 FH⊥AA1 ,
设直线 AB 的倾斜角为 θ ,于是 AF=AA1 ,则 AF=p+AFcsθ ,
即 AF=21−csθ ,同理, BF=21−csθ ,
在 △QFA 与 △BFM 中, QF=2csθ1−csθ,FM=2,BF=21+csθ ,
取 A,B 中点 P ,连接 PQ ,
于是 FP=2cs2θ1−csθ ,则 2cs2θ1−csθ=11−csθ−11+csθ=2csθ1+csθ1−csθ ,
于是 csθ1+csθ=1 ,
且 QFBF=2csθ1−csθ21+csθ=1+csθ⋅csθ1−csθ=11−csθ,AFFM=21−csθ2=11−csθ=QFBF ,
且 ∠QFA=∠BFM ，则 △QFA∼△BFM ，于是 ∠MBF=∠AQF=π2 ，即 MB⊥AB ； ①③ ⇒ ②
解法 1: 由题, AB 与 x 轴不垂直,不妨设点 Ax1,y1,Bx2,y2,Qm,0,x1≠x2 ,
则 kAB=y1−y2x1−x2=y1−y2y124−y224=4y1+y2 ,
于是直线 AB:y−y1=4y1+y2x−x1 ,即 y1+y2y−y1y2=4x ,
若 A,B,F 三点共线,则 y1y2=−4 ,
取 A,B 中点 P ,连接 PQ ,
由于 kPQ=y1+y22x1+x22−m=4y1+y2y12+y22−8m,kBM=y2x2+1=y2y224+1=4y2y22+4 ,
由 PA=PB,PQ⊥AB ,且 MB⊥AB ,则 PQ//BM,kPQ=kBM ,
4y1+y2y12+y22−8m=4y2y22+4 ,且 y1y2=−4 ,
则 y1y22+4y1+4y2+y23=y12y2+y23−8my2 ，即 8y1=−8my2 ，
则 m=−y1y2=y124=x1 ,则 AQ⊥x 轴, AP//y 轴;
解法 2: 由题, AB 与 x 轴不垂直,不妨设直线 AB:x=ty+1 ,点 Ax1,y1,Bx2,y2,Qm,0 , x1≠x2 ,联立直线 AB 与 C :
x=ty+1y2=4x,y2−4ty−4=0,Δ=16t2+16>0y1+y2=4ty1y2=−4,
取 A,B 中点 P ,连接 PQ ,
由于 kPQ=y1+y22x1+x22−m=4y1+y2y12+y22−8m,kBM=y2x2+1=y2y224+1=4y2y22+4 ,
由 PA=PB,PQ⊥AB ,且 MB⊥AB ,则 PQ//BM,kPQ=kBM ,
4y1+y2y12+y22−8m=4y2y22+4 ,且 y1y2=−4 ,
则 y1y22+4y1+4y2+y23=y12y2+y23−8my2 ,即 8y1=−8my2 ,
则 m=−y1y2=y124=x1 ,则 AQ⊥x 轴, AP//y 轴;
解法 3: 如图,设 C 的准线为 l:x=−1 ,过点 A,B 分别作 l 的垂线,垂足为 A1,B1 , 设直线 AB 的倾斜角为 θ ,于是 AF=AA1 ,则 AF=p+AFcsθ ,
即 AF=21−csθ ,同理, BF=21−csθ ,
在 △BFM 中, FM=2,BF=21+csθ ,
取 A,B 中点 P ,连接 PQ ,
FQ=AB2−BF=11−csθ−11+csθ=2csθ1+csθ1−csθ ,
于是 csθ=BFMF=PFFQ=11+csθ ,则 csθ⋅1+csθ=1 ,
则 FQ=2csθ1+csθ1−csθ⋅1+csθ=2csθ1−csθ ,
在 △QFA 与 △BFM 中, QF=2csθ1−csθ,AF=21−csθ,FM=2,BF=21+csθ ,
QFBF=2csθ1−csθ21+csθ=1+csθ⋅csθ1−csθ=11−csθ,AFFM=21−csθ2=11−csθ=QFBF ,
且 ∠QFA=∠BFM ,则 △QFA∼△BFM ,于是 ∠MBF=∠AQF=π2 ,即 AQ⊥x 轴, AP//y 轴; ②③ ⇒ ①
解法 1: 由题, AB 与 x 轴不垂直,不妨设点 Ax1,y1,Bx2,y2,Qx1,0,x1≠x2 ,
则 kAB=y1−y2x1−x2=y1−y2y124−y224=4y1+y2 ,
于是直线 AB:y−y1=4y1+y2x−x1 ,即 y1+y2y−y1y2=4x ,
取 A,B 中点 P ,连接 PQ ,由 QA=QB ,则 PQ⊥AB ,

而 kPQ=y1+y22x1+x22−x1=y1+y2x2−x1=4y2−y1,kBM=y2x2+1=y2y224+1=4y2y22+4
由 PQ⊥AB,MB⊥AB ,则 PQ//BM,kPQ=kBM ,
4y2−y1=4y2y22+4 ,于是 y1y2=−4 ,
则直线 AB:y1+y2y+4=4x 恒过定点 F ，即 A,B,F 三点共线.
解法 2: 由题, AB 与 x 轴不垂直,不妨设直线 AB:x=ty+m ,点 Ax1,y1,Bx2,y2,Qx1,0,x1≠x2 ,联立直线 AB 与 C :
x=ty+my2=4x,y2−4ty−4m=0,Δ=16t2+16m>0y1+y2=4ty1y2=−4m,
取 A,B 中点 Q ，连接 PQ ，由 QA=QB ，则 PQ⊥AB ，
而 kPQ=y1+y22x1+x22−x1=y1+y2x2−x1=4y2−y1,kBM=y2x2+1=y2y224+1=4y2y22+4 ,
由 PQ⊥AB,MB⊥AB ,则 PQ//BM,kPQ=kBM ,
4y2−y1=4y2y22+4 ，于是 y1y2=−4=−4m,m=1 ，此时 Δ=16t2+16>0 ，
则直线 AB:x=ty+1 恒过定点 F ，即 A,B,F 三点共线.
18. (17 分)
如图，已知圆锥 PO 的底面直径 AB=2 ，其中 O 为底面圆心，母线 PA=3 ，动点 M 从 A 点出发，在圆锥的侧面上绕轴 PO 一周后回到 A 点，其轨迹为 L .
(1)求 L 长度的最小值；
(2)若点 Q 在圆 O 上，且 PM=23−csθPQ ( θ 是 AQ 所对的圆心角， 0≤θ≤2π )，证明: 存在非零向量 n ,使得 AM⊥n 恒成立;

(3)在(2)的条件下，可知 L 是平面曲线，记 L 所在平面为 α ，求平面 MPO 与 α 夹角余弦值的取值范围.
解: (1) 如图,沿圆锥 PO 的母线 PA ,将圆锥的侧面展开,得侧面展开图扇形 PAA′ ,其中 B 为 AA′⏜ 的中点, A′ 与 A 在圆锥中是同一点.
因为轨迹 L 在圆锥的侧面上,所以,在侧面展开图中,轨迹 L 是扇形 PAA′ 上连接 A′ 与 A 两点的曲线.
又 L 是最短路径,而平面上连接两点之中,线段最短,所以,轨迹 L 是侧面展开图扇形 PAA′ 上连接 A′ 与 A 两点的线段,即线段 AA′ .
由于 AB=2 ，所以 AA′ 的长度为 2π ，又 PA=3 ，所以 ∠APA′=2π3rad .
所以，在等腰三角形 PAA′ 中， AA′=33 ，即 L 的长度为 33 .
(2)如图，在底面圆 O 中，过点 O 作 OE⊥AB 交圆 O 于点 E ，由于 PO⊥ 平面 ABE ，则 OA ， OE ， OP 两两垂直，如图，以 O 为坐标原点， OA 所在直线为 x 轴， OE 所在直线为 y 轴， OP 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,

于是 A1,0,0,P0,0,22,Qcsθ,sinθ,0 ,设 Mx,y,z ,
则 PM=x,y,z−22,PQ=csθ,sinθ,−22 ,
于是 x=2csθ3−csθy=2sinθ3−csθz=22−22csθ3−csθ ,则 M2csθ3−csθ,2sinθ3−csθ,22−22csθ3−csθ ,
于是 AM=3csθ−13−csθ,2sinθ3−csθ,221−csθ3−csθ ,
于是令 n=22,0,3 ,则 AM⋅n=0 ;
(3)解法 1 由(2)可知， n=22,0,3 是平面 α 的一个法向量，
设平面 MPO 的法向量为 n1=x1,y1,z1 ,
由于 OP=0,0,22,OM=2csθ3−csθ,2sinθ3−csθ,22−22csθ3−csθ ,
则 n1⋅OP=0n1⋅OM=0,22z1=02csθ3−csθx1+2sinθ3−csθy1=02csθ3−csθy1=0,令x1=−sinθ,y1=csθ,z1=0,
于是平面 MPO 的一个法向量为 n1=−sinθ,csθ,0 ,
设平面 α 与平面 MPO 所成角为 α ,
于是 csα=n⋅n1n⋅n1=22sinθ17×1∈0,23417 ,
即平面 α 与平面 MPO 所成角的余弦值的取值范围为 0,23417 ;
解法 2 由(2)可知，平面 α 的法向量 n=22,0,3 ，
由于 Q 在底面圆周上运动,
则平面 POM 即平面 POQ 的法向量可以是底面上任意方向的向量,
如图，在平面 PAB 内，过点 O 作 ON⊥AF ，则 ON//n ，

设平面 MPO 与平面 α 所成的角为 θ ,则 ∠NOA≤θ≤π2 ,
易知 tan∠NOA=322 ,则 cs∠NOA=23417 ,
综上, csθ∈0,23417 ,
即平面 α 与平面 MPO 所成角的余弦值的取值范围为 0,23417 .
19. (17 分)
一个微生物在如图所示 3×3 方格的培养皿中随机移动,每次均以相等概率移动到相邻的方格. 方格 C 是初始位置, A 是营养丰富的角落,每次到达方格 A 时,微生物进行一次繁殖. 记该微生物第 n 次繁殖时所经过的总移动步数为 Xnn∈N∗ .
(1)求 PX1=2,PX1=4,PX1=6 ；
(2)求 EX1 ；
(3)求 EXn .
参考公式: 1. 若 0