2026届广东省中山市高三第一次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2026届广东省中山市高三第一次模拟考试数学试卷（含答案解析），共4页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，计算等于等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则， ， ， 的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是( )
A．1B．2C．D．
3．在中，内角所对的边分别为，若依次成等差数列，则（ ）
A．依次成等差数列B．依次成等差数列
C．依次成等差数列D．依次成等差数列
4．函数在区间上的大致图象如图所示，则可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为( )
A．B．1C．2D．0
7．已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为.则（ ）
A．B．
C．D．
8． 若数列满足且，则使的的值为( )
A．B．C．D．
9．计算等于( )
A．B．C．D．
10．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ）
A．0.2B．0.5C．0.4D．0.8
11．一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价元，乙每件进价元，甲商品每卖出去件可赚元，乙商品每卖出去件可赚元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ）
A．甲件，乙件B．甲件，乙件C．甲件，乙件D．甲件，乙件
12．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( )
A．16B．17C．18D．19
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为________.
14．点是曲线（）图象上的一个定点，过点的切线方程为，则实数k的值为______.
15．在回归分析的问题中，我们可以通过对数变换把非线性回归方程，（）转化为线性回归方程，即两边取对数，令，得到.受其启发，可求得函数（）的值域是_________.
16．函数在的零点个数为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，.
（1）证明：平面平面ABCD；
（2）设H在AC上，，若，求PH与平面PBC所成角的正弦值.
18．（12分）设，，，.
（1）若的最小值为4，求的值；
（2）若，证明：或.
19．（12分）已知函数
（1）求函数的单调递增区间
（2）记函数的图象为曲线，设点是曲线上不同两点，如果在曲线上存在点，使得①；②曲线在点M处的切线平行于直线AB，则称函数存在“中值和谐切线”，当时，函数是否存在“中值和谐切线”请说明理由
20．（12分）在中,角、、所对的边分别为、、，角、、的度数成等差数列，.
（1）若，求的值；
（2）求的最大值.
21．（12分）已知矩形纸片中，，将矩形纸片的右下角沿线段折叠，使矩形的顶点B落在矩形的边上，记该点为E，且折痕的两端点M，N分别在边上.设，的面积为S.
（1）将l表示成θ的函数，并确定θ的取值范围；
（2）求l的最小值及此时的值；
（3）问当θ为何值时，的面积S取得最小值？并求出这个最小值.
22．（10分）某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路，以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山隧道，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路， 以所在的直线分别为轴，轴， 建立平面直角坐标系， 如图所示， 山区边界曲线为，设公路与曲线相切于点，的横坐标为.
（1）当为何值时，公路的长度最短?求出最短长度；
（2）当公路的长度最短时，设公路交轴，轴分别为，两点，并测得四边形中，，，千米，千米，求应开凿的隧道的长度.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
因为，所以，
因为，，所以,.
综上；故选D.
2．C
【解析】
画出不等式表示的平面区域，计算面积即可.
【详解】
不等式表示的平面区域如图：
直线的斜率为，直线的斜率为，所以两直线垂直，故为直角三角形，易得，，，，所以阴影部分面积.
故选：C.
本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题.
3．C
【解析】
由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，从而可得结果.
【详解】
依次成等差数列，，
正弦定理得，
由余弦定理得 ，，即依次成等差数列，故选C.
本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
4．B
【解析】
根据特殊值及函数的单调性判断即可；
【详解】
解：当时，，无意义，故排除A；
又，则，故排除D；
对于C，当时，，所以不单调，故排除C；
故选：B
本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.
5．A
【解析】
将整理为，根据的范围可求得；根据，结合的值域和的图象，可知，解不等式求得结果.
【详解】
当时，
又，，
由在上的值域为
解得：
本题正确选项：
本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式.
6．C
【解析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.
【详解】
若实数x，y满足条件，目标函数
如图：
当时函数取最大值为
故答案选C
求线性目标函数的最值:
当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，z值最小；
当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.
7．A
【解析】
分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.
详解：根据题意有，如果交换一个球，
有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，
红球的个数就会出现三种情况；
如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，
对应的红球的个数就是五种情况，所以分析可以求得，故选A.
点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.
8．C
【解析】
因为，所以是等差数列，且公差，则，所以由题设可得，则，应选答案C．
9．A
【解析】
利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.
【详解】
原式.
故选：A
本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.
10．B
【解析】
利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共种，所以所求的概率为.
故选：B
本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.
11．D
【解析】
由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.
【详解】
设购买甲、乙两种商品的件数应分别，利润为元，由题意，
画出可行域如图所示，
显然当经过时，最大.
故选：D.
本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断，是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.
12．B
【解析】
由题意可得，，时，，将换为，两式相除，，，
累加法求得即有，结合条件，即可得到所求值．
【详解】
解：，
即，，
时，，
，
两式相除可得，
则，，
由，
，
，
，，
可得
，
且，
正整数时，要使得成立，
则，
则，
故选：．
本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．40
【解析】
设等比数列的公比为，根据，可得，因为，根据均值不等式，即可求得答案.
【详解】
设等比数列的公比为，
，
，
等比数列的各项为正数，
，
，当且仅当，
即时，取得最小值.
故答案为：.
本题主要考查了求数列值的最值问题，解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
14．1
【解析】
求出导函数，由切线斜率为4即导数为4求出切点横坐标，再由切线方程得纵坐标后可求得．
【详解】
设，
由题意，∴，，，即，
∴，．
故答案为：1．
本题考查导数的几何意义，函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值．本题属于基础题．
15．
【解析】
转化()为,即得解.
【详解】
由题意：
().
故答案为：
本题考查类比法求函数的值域，考查了学生逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
16．1
【解析】
本问题转化为曲线交点个数问题，在同一直角坐标系内，画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】
问题函数在的零点个数，可以转化为曲线交点个数问题.
在同一直角坐标系内，画出函数的图象，如下图所示：
由图象可知：当时，两个函数只有一个交点.
故答案为：1
本题考查了求函数的零点个数问题，考查了转化思想和数形结合思想.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）记，连结，推导出，平面，由此能证明平面平面；（2）推导出，平面，连结，由题意得为的重心，，从而平面平面，进而是与平面所成角，由此能求出与平面所成角的正弦值．
【详解】
（1）证明：记，
连结，中，，，，
，，平面，
平面，平面平面．
（2）中，，，，，
，，
，，
，平面，∴，
连结，由题意得为的重心，
，，，平面
平面平面，∴在平面的射影落在上，
是与平面所成角，
中，，，，
．
与平面所成角的正弦值为．
本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（1）2；（2）见解析
【解析】
（1）将化简为，再利用基本不等式即可求出最小值为4，便可得出的值；
（2）根据，即，得出，利用基本不等式求出最值，便可得出的取值范围.
【详解】
解：（1）由题可知，，，，
，
∴.
（2）∵，
∴，
∴，
∴，即：或.
本题考查基本不等式的应用，利用基本不等式和放缩法求最值，考查化简计算能力.
19．（1）见解析（2）不存在，见解析
【解析】
（1）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，结合导数的几何意义，再令，转化为方程有解问题，即可说明.
【详解】
(1)函数的定义域为，所以
当时，；，
所以函数在上单调递增
当时，
①当时，函数在上递增
②，显然无增区间；
③当时， ，函数在上递增，
综上当函数在上单调递增.
当时函数在上单调递增；
当时函数无单调递增区间
当时函数在上单调递增
(2)假设函数存在“中值相依切线”
设是曲线上不同的两个点，且
则
曲线在点处的切线的斜率为，
.
令，则，
单调递增，，
故无解，假设不成立
综上，假设不成立，所以不存在“中值相依切线”
本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，考查导数的应用以及分类讨论和转化思想，属于中档题．
20． (1)；(2)．
【解析】
(1) 由角的度数成等差数列，得.
又.
由正弦定理，得,即.
由余弦定理，得,即，解得.
(2) 由正弦定理，得
.
由，得.
所以当，即时，.
【方法点睛】
解三角形问题基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等．
21．（1）（2），的最小值为.（3）时，面积取最小值为
【解析】
（1）,利用三角函数定义分别表示,且,即可得到关于的解析式；,,则,即可得到的范围；
（2）由（1）,若求l的最小值即求的最大值,即可求的最大值,设为,令,则,即可设,利用导函数判断函数的单调性,即可求得的最大值,进而求解；
（3）由题,,则,设,,利用导函数求得的最大值,即可求得的最小值.
【详解】
解:（1）,
故.
因为,所以，,
所以,
又,,则,所以,
所以
（2）记,
则,
设,,则,
记,则,
令,则,
当时,；当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
故当时取最小值,此时,的最小值为.
（3）的面积,
所以,设,则,
设,则,令,,
所以当时,；当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
故当,即时,面积取最小值为
本题考查三角函数定义的应用,考查利用导函数求最值,考查运算能力.
22．（1）当时，公路的长度最短为千米；（2）（千米）.
【解析】
（1）设切点的坐标为，利用导数的几何意义求出切线的方程为，根据两点间距离得出，构造函数，利用导数求出单调性，从而得出极值和最值，即可得出结果；
（2）在中，由余弦定理得出，利用正弦定理，求出，最后根据勾股定理即可求出的长度.
【详解】
（1）由题可知，设点的坐标为，
又，
则直线的方程为，
由此得直线与坐标轴交点为：，
则，故，
设，则.
令，解得=10.
当时，是减函数；
当时，是增函数.
所以当时，函数有极小值，也是最小值，
所以， 此时.
故当时，公路的长度最短，最短长度为千米.
（2） 在中，，,
所以，
所以，
根据正弦定理
,
，
，
，
又，
所以.
在中，，，
由勾股定理可得，
即，
解得，（千米）.
本题考查利用导数解决实际的最值问题，涉及构造函数法以及利用导数研究函数单调性和极值，还考查正余弦定理的实际应用，还考查解题分析能力和计算能力.