2026年广东省东莞市市长安振安中学中考数学综合训练试卷（一）（含答案+解析）

这是一份2026年广东省东莞市市长安振安中学中考数学综合训练试卷（一）（含答案+解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.中华人民共和国全国运动会(简称“全运会”)是中国国内规模最大、水平最高的综合性体育盛会，每四年举办一届.下列中华人民共和国全运会会徽图片中，是轴对称图形不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.一批零食，标准质量为每袋100g.现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示.那么，最接近标准质量的是( )
A. +2B. −3C. −1D. 5
3.2025年，第十五届全运会在广州成功举办，全运会市场开发签约总额达13.6亿元.将13.6亿用科学记数法表示应为( )
A. 13.6×108B. 1.36×109C. 1.36×1010D. 0.136×1010
4.下列计算正确的是( )
A. a2+a3=2a5B. a2⋅a3=a6C. a6÷a3=a2D. (a2)3=a6
5.2025年广东非遗周暨佛山秋色巡游活动中，主办方制作了4种非遗主题纪念徽章，图案分别为“醒狮”“广绣”“粤剧”“石湾陶塑”.现将这4枚徽章(除图案外完全相同)背面朝上放好，洗匀后从中随机抽取1枚，记下图案名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚.两次抽取的徽章图案名称不相同的概率为( )
A. 13B. 14C. 34D. 16
6.在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖(如图).光线AB从空气射到玻璃砖上表面点B并发生了折射，折射光线BC射到玻璃砖下表面C处，点D在AB的延长线上，若∠1=55∘，∠ABE=15∘，则∠DBC=( )
A. 60∘B. 55∘C. 40∘D. 15∘
7.我国古代数学著作《孙子算经》中有著名的“百马问题”，叙述如下：“今有百马驮百瓦，大马一驮三，中马一驮二，小马三驮一.问大、中、小马各几何？”意思是：大马每匹驮3块瓦，中马每匹驮2块瓦，小马每3匹驮1块瓦.要用一百匹马驮一百块瓦，问大马、中马、小马各多少匹？若现已知中马有27匹，设大马有x匹，小马有y匹.则可列方程组是( )
A. x+y=733x+13y=100B. x+y=733x+13y=46
C. x+y=733x+3y=100D. x+y=733x+3y=46
8.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx在同一坐标系内的大致图象为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为点D，AD2x≥3.(答案不唯一).
只需写出两个不等式，其解集的交集恰好为x≥3即可
本题考查在数轴上表示不等式的解集，不等式的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
13.【答案】x≥−1且x≠2
【解析】解：要使代数式 x+1x−2有意义，
∴x+1≥0x−2≠0，
解得：x≥−1x≠2，
因此x的取值范围是x≥−1且x≠2.
故答案为：x≥−1且x≠2.
根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，列不等式求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．
14.【答案】2个
【解析】解：令y=x2+x−2025=0，
因为Δ=b2−4ac=12−4×1×(−2025)=8101>0，
所以二次函数与x轴的交点个数是2个．
故答案为：2个．
根据根的判别式计算判断即可．
本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键．
15.【答案】16825
【解析】解：延长BE交AC的延长线于点F，过点C作CH⊥AF于点H，如图所示：
∴∠CHB=90∘，
∴△CHB和△CHE都是直角三角形，
在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，
由勾股定理得：AB= AC2+BC2= 62+82=10，
∵点D是AB的中点，
∴CD=AD=BD=12AB=5，
由折叠性质得：EC=AC=6，∠EBC=∠ABC，
即∠FBC=∠ABC，
∵∠FCB=180∘−∠ACB=90∘，
∴∠FCB=∠ACB=90∘，
在△FCB和△ACB中，
∠FBC=∠ABCBC=BC∠FCB=∠ACB=90∘，
∴△FCB≌△ACB(ASA)，
∴BF=AB=10，FC=AC=6，
由三角形的面积公式得：S△FCB=12BF⋅CH=12CF⋅BC，
∴CH=CF⋅BCBF=6×810=245，
在Rt△CHB中，由勾股定理得：BH= BC2−CH2= 82−(245)2=325，
在Rt△CHE中，由勾股定理得：EH= EC2−CH2= 62−(245)2=185，
∴BE=BH−EH=324−185=145，
∴△BCE的面积为：12BE⋅CH=12×245×145=16825.
故答案为：16825.
延长BE交AC的延长线于点F，过点C作CH⊥AF于点H，先求出AB=10，由折叠性质得EC=AC=6，∠EBC=∠ABC，证明△FCB和△ACB全等得BF=AB=10，FC=AC=6，由三角形的面积公式得CH=CF⋅BCBF=245，再由勾股定理分别求出BH=325，EH=185得BE=145，据此可得△BCE的面积．
本题考查了图形的翻折变换及性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，理解图形的翻折变换及性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定，灵活利用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
16.【答案】解：原式=x(x+y)−y(x−y)−y2(x+y)(x−y)=x2(x+y)(x−y)，
由xy=2，得到x=2y，
则原式=4y2(2y+y)(2y−y)=43.
【解析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，把已知等式整理后代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】101cm.
【解析】解：已知AB=AC，∠ABC=65∘，BC=43cm，EF为凳面，D处连接凳子靠背，凳脚为点B和点C，且AD=65AB.如图，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，
∵AB=AC，∠ABC=65∘，BC=43，
∴BG=12BC，
∴AB=BGcs∠ABC=12BCcs65∘=BC2cs65∘，
∵AD=65AB，
∴BD=AB+AD=AB+65AB=115AB=115×BC2cs65∘=11BC10cs65∘，
∴DH=BD⋅sin∠ABC=11BC10cs65∘×sin65∘=1110×BC×tan65∘，
∴DH≈1110×43×2.14=101.222≈101(cm)，
∴靠背连接处点D距地面BC的高度为101cm.
如图，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，根据等腰三角形三线合一性质得BG=12BC，继而得到AB=BC2cs65∘，BD=AB+AD=11BC10cs65∘，进一步得DH=BD⋅sin∠ABC=1110×BC×tan65∘，代入数据计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键．
18.【答案】∠BOQ=60∘.
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAP=∠ACQ=∠ABQ，AB=AC=BC，
∵在△ABP和△ACQ中，
AB=AC∠BAP=∠ACQAP=CQ，
∴△ABP≌△CAQ(SAS)，
∴∠ABP=∠CAQ，∠BAQ+∠CAQ=60∘，
∴∠BAQ+∠ABP=60∘，
∵∠BOQ=∠BAQ+∠ABP，
∴∠BOQ=60∘.
先证明△ABP≌△CAQ，由全等三角形的性质及三角形的外角性质，可以推出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识点，具有较强的综合性．
19.【答案】74.5;75;73 融融的总成绩为81分 洋洋不一定能入选，融融能入选，
①由频数分布直方图可知，总评成绩不低于80分的学生有11名，总评成绩不低于70分且小于80分的学生有7名；②洋洋和融融的总评成绩分别是78分、81分，学校要选拔12名志愿者，融融的总成绩在前12名，因此融融一定能入选；洋洋的总成绩不一定在前12名，因此洋洋不一定能入选
【解析】解：(1)67，69，73，73，76，78，81，83这组数据的中位数是73+762=74.5；
平均数是：67+69+73+73+76+78+81+838=75；
众数是：73，
故答案为：74.5，75，73；
(2)84×5+80×3+75×25+3+2=81(分)，
答：融融的总成绩为81分；
(3)由频数分布直方图可知，总评成绩不低于80分的学生有11名，总评成绩不低于70分且小于80分的学生有7名；
洋洋和融融的总评成绩分别是78分、81分，学校要选拔12名志愿者，融融的总成绩在前12名，
因此融融一定能入选；洋洋的总成绩不一定在前12名，因此洋洋不一定能入选．
(1)从小到大排序，找出中位数，再求出众数，算出平均数即可；
(2)将讲解、策划、展示三项的测试成绩按比例计算即可；
(3)根据总成绩频数分布直方图即可作答．
此题考查了中位数、众数、加权平均数，频数分布直方图，解题的关键是熟悉相关概念．
20.【答案】①②；③；
4
【解析】(1)选择的条件是①②，结论是③；
证明：连接OE，如图，
∵DF=FE，
∴∠FDE=∠FED，
∵∠ODC=∠FDE，
∴∠ODC=∠FED，
∵OC=OE，
∴∠C=∠OEC，
∵OC⊥AB，
∴∠COD=90∘，
∴∠ODC+∠C=90∘，
∴∠OEC+∠FED=90∘，
∴∠OEF=90∘，
∴OE⊥EF，
∵OE为⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线；
故答案为：①②；③；
(2)设DF=x，则EF=DF=x，OF=x+1，OE=OC=3.
∵OC⊥AB，
∴∠COD=90∘，
∴∠ODC+∠C=90∘，
∴∠OEC+∠FED=90∘，
∴∠OEF=90∘，
∴OE2+EF2=OF2，
∴32+x2=(x+1)2，
∴x=4.
∴DF=4.
(1)连接OE，根据等边对等角得出∠FDE=∠FED，进而利用垂直的定义和切线的判定解答即可；
(2)设DF=x，利用勾股定理得出方程解答即可．
本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角等于直角，弧与弦的关系，勾股定理，是解题的关键．
21.【答案】y=−132x2+8，隧道最高点P到路面BC的距离为8m 大货车可以安全通过，隧道内设双向行车道，所以汽车只能走一个车道，
∴当x=3时，y=−132×32+8≈7.72>7.6，
∴这辆大货车能安全通过这个隧道
【解析】解：(1)建立平面直角坐标系如图：
设函数表达式为y=ax2+c，
由题意可得：16a+c=7.564a+c=6，
解得a=−132c=8，
∴y=−132x2+8，
当x=0时，y=8，
∴隧道最高点P到路面BC的距离为8m；
(2)大货车可以安全通过，理由如下：
隧道内设双向行车道，所以汽车只能走一个车道，
∴当x=3时，y=−132×32+8≈7.72>7.6，
∴这辆大货车能安全通过这个隧道．
(1)根据题意建立平面直角坐标系，设函数表达式为y=ax2+c，根据题意，得点E，D的坐标为E(4,7.5)，D(8,6)，利用待定系数法求解即可；
(2)隧道内设双向行车道，求出纵坐标与7.6m作比较即可．
本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键．
22.【答案】 2 8 1或 22
【解析】解：(1)如图1，四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，过点F作BC的垂线交BC延长线于点H，
∴∠ABE=∠H=90∘，∠AEF=90∘，AE=EF，
∴∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠HEF=90∘，
∴∠BAE=∠HEF，
在△ABE和△EHF中，
∠BAE=∠HEF∠ABE=∠HAE=EF，
∴△ABE≌△EHF(AAS)，
∴AB=EH，FH=BE，
∴BE+CE=CE+CH，
∴CH=BE，
∴CH=FH，
∴△CHF是等腰直角三角形，
由勾股定理得：CF= CH2+FH2= 2FH，
∴CFBE= 2FHFH= 2；
(2)如图2，四边形ABCD是正方形，连接AC交BD于点O，过F作FM⊥BC交BC延长线于点M，延长BH、MF交于点N，
∴∠DBC=∠ABH=45∘，AB=BC，
∴△BMN为等腰直角三角形，
∴BM=MN，∠N=∠ABH=45∘，
∵四边形AEFG是正方形，
∴∠AEF=90∘，AE=EF，
∵∠ABC=90∘，FM⊥BE，
∴∠ABE=∠EMF=90∘，∠AEB=90∘−∠FEM=∠EFM，
在△ABE和△EMF中，
∠ABE=∠EMF∠AEB=∠EFMAE=EF，
∴△ABE≌△EMF(AAS)，
∴AB=EM，BE=FM，
又BM=MN，
∴NF=EM=AB，
∵∠AHB=∠FHN，
∴△ABH≌△FNH(AAS)，
∴H为AF中点，AF=10 2，AE=EF=10，
在△AOH中，AO2+(AO+ 2)2=(5 2)2，
解得OA=3 2，
∴OB=3 2，
∴AB= OA2+OB2=6，
∴BE= AE2−AB2=8.
(3)如图3，四边形ABCD是矩形，四边形AEFG是矩形，连接DE，
∴∠BAD=∠EAG=90∘，AD=BC，EF=AG，
∴∠DAE+∠BAE=∠DAE+∠DAG=90∘，
∴∠BAE=∠DAG，
∵BCAB=EFAE= 2，即ADAB=AGAE= 2，
∴△ABE∽△ADG，
∴∠ABE=∠ADG=90∘，
∴G，D，C三点共线，
∴∠AGP+∠DAG=∠DAE+∠DAG=90∘，
∴∠AGP=∠DAE，
∵∠ADC=∠AEF=90∘，
∴∠ADC+∠AEF=180∘，
∴A，E，P，D四点共圆，
∴∠AED=∠APG，
∴△ADE∽△GAP，
∴APPG=DEAE，
∵△AGP为以GP为腰的等腰三角形，
∴GP=AP或GP=AG，
当GP=AP时，如图4，
则APPG=DEAE=1，即AE=DE，
∵AB=CD，∠B=∠C=90∘，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE(HL)，
∴BE=CE=12BC，
∵BCAB= 2,AB=1，
∴BC= 2，
∴BE=12BC= 22；
当GP=AG时，如图5，
则∠GAP=∠GPA，
∵△ADE∽△GAP，
∴∠GAP=∠ADE，∠AED=∠GPA，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=BC= 2AB= 2，
∴BE= AE2−AB2=1；
综上所述，当△AGP为以GP为腰的等腰三角形时，BE的长为1或 22.
(1)过点F作BC的垂线交BC延长线于点H，证明△ABE≌△EHF(AAS)，得到AB=EH，FH=BE，再证明CH=BE，即可求解；
(2)连接AC交BD于点O，过F作FM⊥BC交BC延长线于点M，延长BH、MF交于点N，易证△BMN为等腰直角三角形，再通过AAS判定△ABE≌△EMF得到BE=MF，进而证得NF=EM=AB，然后由AAS判定△ABH≌△FNH得到点H为AF的中点，故AF=10 2，在△AOH中，利用勾股定理求得OA的值，进而计算出BE的长度；
(3)连接DE，证明△ABE∽△ADG，得到∠ABE=∠ADG=90∘，推出G，D，C三点共线，易证A，E，F，D四点共圆，证明△ADE∽△GAP，分GP=AP和GP=AG两种情况讨论即可．
本题属于相似形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，添加恰当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
23.【答案】k=2 CD//AB，理由如下：
设A(x1,kx1),B(x2,kx2)，
∵AC⊥x轴C，BD⊥y轴，且AC与BD的延长线交于点E，
∴C(x1,0),D(0,kx2)，E(x1,kx2)，
∴AE=kx1−kx2=k(x2−x1)x1x2，BE=x1−x2，CE=−kx2,DE=x1，
∴tan∠CDE=CEDE=−kx2x1=−kx1x2，
tan∠ABE=AEBE=k(x2−x1)x1x2x1−x2=−kx1x2，
∴∠CDE=∠ABE，
∴CD//AB 证明：如图所示，
令A(t,kt)，则B(−t,−kt),D(0,−kt),C(t,0)，
假设直线CD的解析式为y=ax+b1，
将D(0,−kt),C(t,0)代入解析式得，
b1=−ktat+b1=0，
解得b1=−kta=kt2，
∴y=kt2x−kt，
联立y=kxy=kt2x−kt，
解得x=1+ 52ty=( 5−1)k2t(负值已舍)，
∴M(1+ 52t,( 5−1)k2t)，
∵MN⊥x轴，
∴N(1+ 52t,0)，
∴ON=1+ 52t，OC=t，
∴OCON=t1+ 52t= 5−12，
∴点C为线段ON的黄金分割点；∵AP⊥y轴，A(t,kt)，
∴直线AP的解析式为y=kt，
∵点Q为AP和NM的延长线交点，
∴Q(1+ 52t,kt)，
∴NQ=kt,MQ=kt−( 5−1)k2t=(3− 5)k2t,NM=( 5−1)k2t，
∴NMNQ=( 5−1)k2tkt= 5−12，
∴点M为线段NQ的黄金分割点
【解析】(1)解：当b=0时，点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
又∵AC⊥x轴C，BD⊥y轴，
∴△AOC∽△ABE，
∴S△AOCS△ABE=(12)2=14，
∴S△AOC=14S△ABE=14×4=1，
∴S△AOC=|k|2=1，且双曲线位于第一、三象限，
∴k=2；
(2)解：CD//AB，理由如下：
设A(x1,kx1),B(x2,kx2)，则C(x1,0),D(0,kx2)，E(x1,kx2)，
∴AE=kx1−kx2=k(x2−x1)x1x2，BE=x1−x2，CE=−kx2,DE=x1，
∴tan∠CDE=CEDE=−kx2x1=−kx1x2，
tan∠ABE=AEBE=k(x2−x1)x1x2x1−x2=−kx1x2，
∴∠CDE=∠ABE，
∴CD//AB；
(3)证明：如图所示，
令A(t,kt)，则B(−t,−kt),D(0,−kt),C(t,0)，
假设直线CD的解析式为y=ax+b1，
将D(0,−kt),C(t,0)代入解析式得，
b1=−ktat+b1=0，
解得b1=−kta=kt2，
∴y=kt2x−kt，
联立y=kxy=kt2x−kt，
解得x=1+ 52ty=( 5−1)k2t(负值已舍)，
∴M(1+ 52t,( 5−1)k2t)，
∴N(1+ 52t,0)，
∴ON=1+ 52t，OC=t，
∴OCON=t1+ 52t= 5−12，
∴点C为线段ON的黄金分割点；
∵AP⊥y轴，A(t,kt)，
∴直线AP的解析式为y=kt，
∵点Q为AP和NM的延长线交点，
∴Q(1+ 52t,kt)，
∴NQ=kt,MQ=kt−( 5−1)k2t=(3− 5)k2t,NM=( 5−1)k2t，
∴NMNQ=( 5−1)k2tkt= 5−12，
∴点M为线段NQ的黄金分割点．
(1)结合反比例函数和正比例函数的交点，得出点A与点B关于原点对称，OA=OB，证明△AOC∽△ABE，利用相似三角形的性质得出S△AOC=1，即可求出k的值；
(2)设A(x1,kx1),B(x2,kx2)，表示出相关点的坐标，然后表示出相关线段的长度，利用锐角三角函数得出∠CDE=∠ABE，利用平行线的判定定理即可得出结论；
(3)令A(t,kt)，则B(−t,−kt),D(0,−kt),C(t,0)，求出线段CD的解析式为y=kt2x−kt，联立解析式求出交点坐标，然后分别求出相关线段的长度，求其比值判定是否为黄金分割点即可．
本题考查了反比例函数综合应用，熟练掌握反比例函数的性质是关键．申请者
各项成绩
成绩
讲解
策划
展示
洋洋
80
70
85
78
融融
84
80
课题
隧道限高问题
成员
组长：×××组员：×××，×××，×××
工具
皮尺、标杆等
测量示意图
说明：如图，隧道的截面由抛物线和矩形ABCD构成，其中EF为标杆.
测量数据
测量项目
数值
矩形的尺寸
长BC=16m，宽AB=6m；
标杆的尺寸
标杆EF=7.5m，标杆底端到左墙的距离为BF=4m；
A
B
C
D
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
(A,D)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
(B,D)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)
(C,D)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)
(D,D)