统计与概率：古典概型、独立事件的概率 专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份统计与概率：古典概型、独立事件的概率 专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意，不同的分组方法有5,1,1；4,2,1；3,2,2；3,3,1四种，
当分组为5,1,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种；
当分组为4,2,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种；
当分组为3,2,2时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种；
当分组为3,3,1时，共有种，其中甲乙同组且丙丁同组有种；
甲乙同组且丙丁同组的概率为.
故选：A.
例2．（2026·广东肇庆·二模）从分别标有数字，，，，的5张卡片中随机一次性抽取2张，则抽到的2张卡片中数字乘积为非负数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】从5张卡片中抽取2张，共有种可能，
抽到的2张卡片中数字乘积为负数，即一正一负，共种可能，
所以抽到的2张卡片中数字乘积为负数的概率，
则抽到的2张卡片中数字乘积为非负数的概率．
故选：C.
例2．（25-26高二上·江西宜春·期末·多选）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是（ ）
A．取出的两个球上标号都是2的概率为
B．取出的两个球上标号为不同数字的概率为
C．取出的两个球上标号中至少有一个标号为1的概率为
D．甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为
【答案】AD
【详解】从甲、乙两个盒子中各取出1个球，其标号构成的样本空间为，共9个样本点.
取出的两个球上标号都是2的概率为，所以A正确；
取出的两个球上标号为不同数字的样本点有，共6个，所以概率为，所以B错误；
取出的两个球上标号中至少有一个标号为1的样本点有，共5个，所以概率为，所以C错误；
所以甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的样本点有，共3个，所以概率为.所以D正确.
故选：AD.
例4．（25-26高二上·上海松江·期中）从棱长为1的正方体的八个顶点中任取两个不同的顶点，则所取两点间距离不超过的概率是 ．
【答案】
【详解】八个顶点中任取两个不同的顶点有种，
所取两点间距离分别为,其中两点间距离为的情况有4种,
则所取两点间距离不超过的概率是，
故答案为：
例5．（25-26高二上·上海普陀·期末）随机抽取的位同学中，至少有位同学在同一月份出生的概率为 .（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）
【答案】
【详解】由于每名学生的出生月份可能是1月到12月中的任何一个，
因此名学生的出生月份共有种可能的排列，
每个排列对应一个基本事件，从而基本事件就有个，
且每个基本事件发生的概率都相等．
设表示事件“名学生中没有任何名学生在同一月份出生”，
那么名学生的出生月份共有种可能的排列，
即事件包含个基本事件，
所以事件的概率是．
这样，“至少有2名学生在同一月份出生”的概率是．
故答案为：
例6．（25-26高三上·广东潮州·期末）一个口袋中有3个红球，4个白球，这7个小球除颜色外其余均相同．
(1)从中不放回地摸球，每次摸2个球，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求摸两次恰好只有第2次中奖的概率；
(2)每次同时摸2个球，并放回，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）设“摸2次恰好第2次中奖”为事件，
则.
所以摸2次恰好只有第2次中奖的概率为.
（2）设“每次同时摸2个球，恰好中奖”为事件，则，
随机变量的所有可能的取值为0，1，2，3，4，
，
，
，
所以随机变量的分布列是
随机变量的数学期望.
例7．（2026·江苏南通·一模）某地举办业余乒乓球联赛，比赛分“有缝球型”和“无缝球型”两个赛区，从该地区抽取部分选手进行调研，相关数据如下表：
(1)能否有95%以上的把握认为不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响？
(2)若从参加调研的“横拍打法”选手中用分层抽样的方法抽取8名选手，按照各自喜爱的球型参加相应赛区的比赛．现从8名选手中选3人，用AI监测他们的比赛数据，求两个赛区都有人被选中的概率．
附：，
【答案】(1)有95%以上的把握
(2)
【详解】（1）假设不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好没有影响．
所以有95%以上的把握认为不同打法选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响．
（2）根据分层抽样可知，各层的抽样比为，所以从喜欢有缝球的选手中选取人，从喜欢无缝球的选手中选取人，
记“两个赛区都有人被选中”为事件，
则．
答：两个赛区都有人被选中的概率为．
变式1．（25-26高三上·江西南昌·月考）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，可能出现的情况为：，
，，
，，
共种，
其中至少出现一次1点的情况有：，共种，
故至少出现一次1点的概率是.
故选：B
变式2．（25-26高二上·陕西渭南·期末）将标号为1，2，3，4，5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球．则标号为1和2的两个小球放入同一个盒子的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】将标号为1，2，3，4，5的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，共有放法为：（种），
若将标号为1和2的两个小球放入同一个盒子的放法有：（种），
所以将标号为1和2的两个小球放入同一个盒子的概率为，
故选：C.
变式3．（24-25高二下·重庆渝中·月考·多选）在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的有（ ）
A．两件都是一等品的概率是
B．两件中有1件是次品的概率是
C．两件都是正品的概率是
D．两件中至少有1件是一等品的概率是
【答案】AD
【详解】对于A，两件都是一等品的概率为，故A正确；
对于B，两件中有1件是次品的概率为，故B错误；
对于C，两件都是正品的概率为，故C错误；
对于D，两件中至少有1件是一等品的概率为，故D正确，
故选：AD．
变式4．（25-26高二上·江西赣州·期末）赣南脐橙是江西赣南的特色农产品，某学习小组结合赣南脐橙的等级区分设计了如下概率问题进行研究：甲、乙两个筐中各装有5个大小均匀的赣南脐橙，其中甲筐中有3个特级脐橙、2个一级脐橙，乙筐中有4个特级脐橙、1个一级脐橙．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲筐中随机抽出1个脐橙；如果点数大于等于5，从乙筐中随机抽出1个脐橙，则抽到的是特级脐橙的概率是 ．
【答案】
【详解】设事件：抽到的是特级脐橙，事件：掷骰子点数小于等于4（从甲筐中抽）；事件：掷骰子点数大于等于5（从乙筐中抽），
则，甲筐中特级脐橙的概率为，乙筐中特级脐橙的概率为.
所以，.
故答案为：.
变式5．（25-26高三上·天津滨海新区·月考）有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，从中取出2个，则取出的球同色的所有可能的结果有 种；（用数字作答）若从中取出的球编号互不相同的概率为 ；
【答案】 12
【详解】由题知“取出的球同色”包含两种情况：取出2个红球或取出2个黑球，
所以有种结果；
从8个球（4红4黑）中任意取2个，总结果数为种，
其中，取出“编号相同的2个球”即（红1黑1）、（红2黑2）、（红3黑3）、（红4黑4），共4种，
所以编号互不相同的结果数：种，
所以若从中取出的球编号互不相同的概率为.
故答案为：12；.
变式6．（2026·贵州六盘水·模拟预测）“中国凉都·六盘水”有着丰富的特产、独特的文化和美丽的风景，根据旅游宣传需要，以乌蒙大草原、红心猕猴桃、布依族风情、岩脚面、牂牁江景区等为背景制作了形状大小相同的三类卡片（特产卡片、文化卡片、景区卡片），某游客持有5张不同的景区卡片，3张不同的特产卡片，2张不同的文化卡片，现从中随机抽取4张卡片．
(1)求抽取的4张卡片中恰有3张是景区卡片的概率；
(2)设抽取的4张卡片中特产卡片的张数为，求随机变量的分布列与数学期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，数学期望为.
【详解】（1）依题意，从10张卡片中任取4张的试验有个基本事件，
恰有3张是景区卡片的事件有个基本事件，
所以抽取的4张卡片中恰有3张是景区卡片的概率为.
（2）依题意，的可能值为，
，
，
所以的分布列为：
数学期望.
变式7．（2026·河南南阳·模拟预测）某科技公司开发了一款AI绘画软件，为了测试该软件生成的人像照片的真实度，工程师邀请了100名用户对生成的照片进行评分（满分100分）.将评分数据按，，，，，分成6组，并绘制了如下的频率分布直方图.

(1)求的值；
(2)试估计这100名用户评分的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(3)若从评分在内的用户中，按分层随机抽样的方法抽取5人进行回访，再从这5人中随机抽取2人赠送会员，求这2人来自不同评分区间的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由频率分布直方图可知，
，∴；
（2）估计用户评分的平均数为:
；
（3）样本在，的人数分别为2，8，
利用分层抽样从的用户中随机抽取5人，
则在，的人数分别为1，4,
从中抽取的1人记为，从中抽取的4人记为1，2，3，4，
则从5人中随机抽取2人的样本空间，
记“这2人来自不同评分区间”为事件A，则有,,共4个基本事件，
∴.
考点二 独立事件的概率
例1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在一次知识竞赛中，小张需要按顺序依次回答甲、乙、丙3个问题，已知他答对甲、乙、丙的问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，各题回答正确与否相互独立.若至少能够连续将2道题都答对，可获得额外加分，则小张获得额外加分的概率为（ ）
A．0.24B．0.54C．0.70D．0.46
【答案】B
【详解】因为至少能够连续将2道题都答对，包含以下两种情况：甲乙都对，丙对错都可；甲错误，乙丙对，
故小张获得额外加分的概率为.
故选：B.
例2．（2026·安徽宿州·一模）2025年11月7日，安徽省乒乓球群众业余联赛在宿州市开赛.宿州某代表队第一轮比赛需和对手比赛三场，在第一、二、三场比赛中该队赢对方的概率分别是，每场比赛结果相互独立.则该队在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设第一、第二、第三场单打赢对手分别为事件A，B，C，
三场比赛中恰有两场赢对方为事件D，则，
，
所以.
故选：B
例3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）甲、乙两位同学进行五子棋比赛，约定谁先胜3局就赢得比赛(单局中无平局)．若甲每局获胜的概率为则第4局比赛刚好结束的概率为 (用数字作答)．
【答案】
【详解】记第局比赛甲获胜为事件，第4局比赛刚好结束为事件，
则
.
故答案为：
例4．（25-26高三上·天津滨海新区·期中）举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量，则的数学期望 ；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是 .
【答案】 /
【详解】依题意随机变量的可能取值为、、，
则；
；
，
所以随机变量的概率分布为
所以随机变量的期望为.
记“第次举起该重量”分别为事件， “甲选手挑战成功”为事件，
则，
,
所以，
所以甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率为.
故答案为：；
例5．（2026·重庆·一模）甲、乙两位同学参加投篮练习，由他们的投篮位置和命中情况确定得分可能为3分、2分、0分，根据以往练习统计数据，甲一次投篮得3分、2分、0分的概率分别为，乙不投3分球，他一次投篮得2分、0分的概率分别为．若甲、乙各投篮一次称为一轮投篮，且甲、乙投篮相互独立，每次投篮也互不影响．
(1)记一轮投篮后，甲的得分为，乙的得分为，求；
(2)记一轮投篮后，甲乙所得分数之和为随机变量，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）的取值为3,2,0,对应的概率分别为，，.
的取值为2,0，对应的概率分别为，.
当时，取2或0都满足，
此时概率为.
当时，取2或0都满足，
此时概率为.
当时，只有满足，
此时概率为.
根据互斥事件概率的加法公式，可得.
（2）的可能取值为0,2，3，4，5.
.
.
.
.
.
的分布列如下表所示：
可得.
例6．（2026·河南南阳·模拟预测）社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第1局甲、乙比，甲先手（每局中先走第一颗棋），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手．假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为，每局比赛没有平局且结果相互独立.
(1)若.
（i）求前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率；
（ii）求第2局和第4局参与的同学完全相同的概率；
(2)若前4局中甲参与的平均次数不小于，求的取值范围.
【答案】(1)（i）；（ii）；
(2)
【详解】（1）（i）要使三人都参与两局，则每人恰好轮空一次，这要求第1局的胜者在第2局必须输掉，
若第1局甲胜乙，则第2局丙必须胜甲，概率为；若第1局乙胜甲，则第2局丙必须胜乙，概率为，
所以前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率为；
（ii）若第1局甲胜乙，则第2局参与的同学是甲和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同，则有两种情形：
①第2局甲胜丙，第3局甲胜乙；②第2局丙胜甲，第3局丙胜乙.
第①种情形概率为；第②种情形为.
若第1局乙胜甲，则第2局参与的同学是乙和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同，则有两种情形：
①第2局乙胜丙，第3局乙胜甲；②第2局丙胜乙，第3局丙胜甲.
第①种情形概率为；第②种情形为.
所以第2局和第4局参与的同学完全相同的概率为
；
（2）设甲在前4局的参与次数为随机变量，则，
，
，
，
所以
由得，
令，则，整理得，
解得，所以，又，
所以的取值范围为.
变式1．（24-25高二下·河北·期末）小张和小王两个小朋友玩游戏，已知小张手中有3张黑色牌和3张红色牌，小王手中有3张黑色牌和2张红色牌，游戏规则：两位小朋友同时出示一张牌，若两张牌同色，则小张胜，小张获得这两张牌，若两张牌异色，则小王胜，小王获得这两张牌，按上述玩法进行两次后，小王手中有7张牌的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】进行两次后，小王手中有7张牌意味着小王这两次都赢了，
第一次总事件数为种，小王赢的事件数是种，
则第一次小王赢的概率是，
第一次赢之后小张有5张牌，第一种情况是有2张黑色牌，3张红色牌，
小王有4张黑色牌，有2张红色牌，
第二次总事件数为种，小王赢的事件数是种，
则第二次小王赢的概率是：
第二种情况是有3张黑色牌，2张红色牌，小王有3张黑色牌，有3张红色牌，
第二次总事件数为种，小王赢的事件数是种，
则第二次小王赢的概率是：
出现第一种情况是第一次小王出红色牌，概率是，
出现第二种情况是第一次小王出黑色牌，概率是，
则两次均赢的概率为：.
故小王手中有7张牌的概率为.
故选：D.
变式2．（2025·重庆·模拟预测）重庆某智能汽车研发中心正在测试新一代自动驾驶虚拟仿真系统.该系统可在电脑模拟的车库环境中，让车辆实现前、后、左、右四个方向的精确泊车.在此系统中，模拟车辆每次泊车位置调整会随机在前、后、左、右四个方向中选择一个方向移动1个单位距离.若某次泊车测试时连续进行了4次位置调整，则车辆在最终回到初始位置的条件下，向左移动两次的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设“进行4次位置调整后最终回到初始位置”为事件A，
“进行4次位置调整中向左移动两次”为事件B，
则本题求条件概率.要使最终回到初始位置，可分以下两种情况：
（1）一组相同的相反方向移动两次，从前与后、左与右中选1组，
然后在4次移动中安排这两次移动，有种方法；
（2）两组不同的相反方向各移动一次，即对这4次不同方向的移动进行全排列，
有种排法，所以种情况.
其中，进行4次位置调整最终回到初始位置中向左移动两次的情况有种排法，
所以种情况，所以.
故选：C.
变式3．（2026·陕西铜川·一模）某企业到A大学招聘，小张､小李和小王3位毕业生前去应聘.若小张､小李2人中至少有1人签约的概率是，小王签约的概率是，3人签约事件相互独立，那么3人中至少有1人签约该企业的概率是 .
【答案】
【详解】事件“3人中至少有1人签约该企业”的对立事件是“3人均未签约”，
因为小张､小李2人中至少有1人签约的概率是，
所以小张､小李2人均未签约的概率是；
因为小王签约的概率是，所以小王未签约的概率是，
所以三人均未签约的概率是，
所以3人中至少有1人签约该企业的概率是.
故答案为：
变式4．（25-26高三上·广东深圳·期末）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，该运动员连续射击时各次射击是否中靶相互独立，该运动员连续中靶两次则停止射击，那么射击总次数的数学期望为 .
【答案】
【详解】设射击总次数的数学期望为，
若第一次没有中靶，则后续需重新射击，且后续重新射击的总次数的数学期望仍为，
此情况下发生的概率为，射击总次数为，
若第一次中靶，且第二次没有中靶，则后续需重新射击，且后续重新射击的总次数的数学期望仍为，
此情况发生的概率为，射击总次数为，
若第一次中靶，第二次中靶，则此情况发生的概率为，射击总次数为2，
则射击总次数的数学期望为，
解得
故答案为：
变式5．（25-26高三上·安徽·期末）近些年人工智能（AI）经历了爆炸式发展，技术性能显著提升，应用场景深度渗透．现有，，三台机器人进行象棋比赛，比赛规则：每一局由两台机器人进行比赛，剩余的一台机器人进行“调试”，每局比赛结束时，负方在下一局进行“调试”，胜方继续进行下一局比赛．设每一局比赛中的两台机器人获胜的概率均相等，各局比赛结果相互独立且没有平局，首局比赛由和对弈，进行“调试”，表示第局进行“调试”的概率（）．
(1)求前3局中，不“调试”的概率；
(2)求；
(3)若表示前5局比赛中“调试”的次数，求随机变量的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)（）
(3)分布列见详解，
【详解】（1）记为前3局中，不“调试”，
开始比赛由和对弈，
第1局和第2局均要获胜，；
（2）若第局进行“调试”，则第局负，
（），，
，又，
（）；
（3）记：“”为“比赛”，“”为“调试”，
，，，
分布列如下：
．
变式6．（2026·湖南永州·二模）为了激活全民参与体育赛事的热情，某省举办了足球联赛．已知足球联赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．球队甲2025年11月将迎来主场与球队乙和客场与球队丙的两场比赛．根据前期比赛成绩，球队甲主场与球队乙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；球队甲客场与球队丙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；且每场比赛结果相互独立．
(1)设球队甲11月主场与球队乙比赛获得积分为，客场与球队丙比赛获得积分为，求的概率；
(2)用表示球队甲11月与球队乙和球队丙比赛获得积分之和，求的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为3分”，
事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为1分”，
事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为0分”，
事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为3分”，
事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为1分”，
事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为0分”，
事件“甲队11月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分”，
，
则，
所以甲11月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分的概率为；
（2）由题意可知的所有可能取值为，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以.考点目录
古典概型
独立事件的概率
0
1
2
3
4
喜欢用有缝球
喜欢用无缝球
直拍打法选手
18
30
横拍打法选手
20
12
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
0
1
2
3
1
2
3
0
2
3
4
5
0
1
2
0
1
2
3
4
6