数列求和：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练-2026届高考数学二轮复习

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(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，移项得，故.
当时，，
化简得，即.
因此是首项为3、公比为3的等比数列，故.
（2）由，得，，
则.
.
因，故.
例2．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知数列中，，
(1)求；
(2)若的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意，，
累加得，，则，
经检验时也成立，所以．
（2）由（1）得，所以，
所以，所以，
，
因为，所以．
例3．（25-26高二上·山东泰安·月考）已知等比数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的公比为，由，得，
由，得，解得
所以．
（2）由，得
所以．
例4．（2026·重庆九龙坡·一模）设等比数列的前项和为，已知，.
(1)求和；
(2)设，证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1）由为等比数列，，可得，
即，，解得，
所以，，.
（2），，
，
因为，所以，从而.
变式1．（25-26高三上·山东德州·期末）已知数列的首项为2，前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，记数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)见详解
【详解】（1）由题得，且，则有，
递推后联立，得，
化简得，即，故，
故数列的通项公式为.
（2）由题得，则
因为，则，所以，
易得为递增数列，故，即，
故，得证.
变式2．（2026·黑龙江大庆·二模）已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)记，若数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，
又，所以，
因为，所以，
结合以上递推关系可知，，则，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以数列的通项公式为；
（2）由（1）知，
由得，
所以
因为得，数列为单调递增数列，
所以，
所以.
变式3．（2026·河北邯郸·模拟预测）设函数的图象在处的切线平行于直线，记的导函数为，数列满足：.
(1)试判断数列的单调性，并给出证明；
(2)当时，求证：.
【答案】(1)数列单调递增，证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）数列单调递增，证明如下：
，因此直线的斜率为，
所以与直线平行的直线的斜率也是，
，
因为函数的图象在处的切线平行于直线，
所以，即，
，
因为，所以，可得，
，
所以数列单调递增；
（2）因为，且，所以，
即，
当时，.
所以.
变式4．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知数列是首项为1且公差不为零的等差数列，且成等比数列，数列的前项和为，
条件①，条件②，条件③，
(1)求的通项公式；
(2)选择三个条件中的一个，求的通项公式；
(3)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设数列的公差为，则，因为成等比数列，，
所以，解得，
所以；
（2）若选①，当时，，
当时，，又，所以；
若选②，当时，，又，所以，解得，
当时，，整理得，
即，所以是等比数列，公比为，又，
所以；
若选③，当时，，因为，所以，
又，所以，
当时，，
即当时，，又，所以是首项为公比为的等比数列，
所以；
（3）由（1）（2），因为，
所以，
所以.
考点二 错位相减法
例1．（25-26高二上·浙江温州·期末）已知数列的前项和为，满足.
(1)证明：是等比数列；
(2)若，求的值；
(3)若，求的前项和.
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【详解】（1），当时，，
即，解得：，
时，，，
两式相减：，即，
，即，
数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）数列是首项为，公比为的等比数列，
是首项为，公比为的等比数列，
，
，
，
化简得：，
解得：.
（3）数列是首项为，公比为的等比数列，
，即，
，，
的前项和，
，
两边同时乘以得：，
，
整理得：
，即，
，即.
例2．（25-26高二上·四川广安·期末）已知数列的前项和为，且
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式及前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)，.
【详解】（1）数列中，，则，
则，又，
所以数列是首项为公比为的等比数列，.
（2）由（1）可得：，因此，
数列前项和为，
可得，
两式相减可得，
所以.
例3．（25-26高三上·辽宁·期末）记为正项数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)等差数列满足，，.
（i）求的通项公式；
（ii）求的前项和.
【答案】(1)
(2)（i）（ii）
【详解】（1）由，可知是公比为2的等比数列，
故，当时，，，
故，于是，，故，
由可得，故；
（2）（i）记公差为，由可知，
故，即，
而，
即，或.
当时，，此时，不合题意，舍去，
当时，，此时，符合题意.
故的通项公式为.
（ii）当时，；
当时，，
，
两式相减，得到.
又时，，
综上可得：.
例4．（25-26高三上·新疆喀什·月考）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得，又是公差为的等差数列，故，即；
当时，，两式相减得，
累乘得：，
所以通项公式为：.
（2）由，代入得：，用错位相减法求：
，
，
两式相减得：，
整理后得：.
变式1．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项和为64，数列是公比大于0的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64，
所以，解得，所以；
数列是公比大于0的等比数列，设公比为，则，
因为，，所以，解得或（舍），
所以.
（2）由（1）知，
则，可得，
两式相减可得
，
所以.
变式2．（25-26高三上·山东济宁·期末）记为正项数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
当时，，解得或（舍去）；
当时，，所以，
则，即，
因为为正项数列，则，即，
所以是首项为3，公差为3的等差数列，
则.
（2）因为，
所以，则，即，
所以，①
所以，②
由①②得，
，
所以.
变式3．（25-26高二上·广东广州·期末）已知数列的前n项和为，且首项，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，可得，
两式相减可得，即，整理得，，
又，，则，
所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，故.
（2）由（1），，
，①
，②
①②得，，
所以.
变式4．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知数列的前项和为，且，正项等比数列满足，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)已知，记数列的前项和为，证明：；
(3)已知，求数列的前项和.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析；
(3)
【详解】（1）当时，，
当时，，适合上式，则.
设正项等比数列的公比为，因为，
则，解得，又因为，所以.
（2），
则.
（3），
设数列的前项和为，
则，
则，
作差得
则.
考点三 分组与并项求和
例1．（25-26高二上·河北邢台·月考）设数列的前项和为，且.
(1)证明：是等比数列.
(2)求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）当时，，所以，由于所以，
当时，，，
两式相减得：，
所以，
所以，
所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，是以为首项，为公比的等比数列.
所以，所以.
所以
例2．（25-26高二上·山东济南·月考）已知是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，．
(1)求与的通项公式；
(2)若数列的前项和，求及的最小值；
(3)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)，最小值为
(3)
【详解】（1）由，则，
故，即，
当时，，则，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，故；
，则数列的公差为，故；
（2），
则，
当为偶数时，，随的增大而增大，
当为奇数时，，随的增大而减小，
故当时，有最小值；
（3）由，
则
，
则，
则，
故
，
则.
例3．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足.
(1)若，，且，求；
(2)若数列也是公差为的等差数列.
①求数列的通项公式；②求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)①，②
【详解】（1）由题意知为等差数列且公差为，
所以由等差数列公式可得，又因，，
所以可得，为的前项和，
所以，而，
所以，
若，则可得，解不等式可得，
所以可得
（2）①因数列也是公差为的等差数列，所以可设，
又因，
所以可得，
两边同时平方可得对于任意的都成立，
所以可得且，解之可得，
所以
②由①知，所以，
当,即为偶数时，
，
当，即为奇数时，
，
综上可得，即
例4．（2026·广西柳州·二模）设等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为.
由题意可得，解得，，
则.
（2）由（1）可知，则，
故
.
变式1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知数列 的首项 且满足
(1)求证: 是等比数列；
(2)求数列 的前n项和
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）因，则，
又，所以，
从而，则是以为首项，公比为4的等比数列.
（2）由（1）可得：.
则
变式2．（25-26高二上·内蒙古·期末）已知数列满足：．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：由，得，即，
又，所以，
所以，即数列是首项为3，公比为3的等比数列．
（2）由（1），得，即，
所以．
变式3．（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，为数列的前项和，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，①
当时，，②
由①-②得到，
又时，，满足，
所以.
（2）由（1）知，
所以
变式4．（25-26高二上·天津和平·期末）已知，正项数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：；
(3)若，数列的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）已知，当时，，解得或（舍去），
当时，，所以，
整理得，
又因为正项数列，所以，
所以当时，，所以，满足通项公式，
所以.
（2）证明：由（1）可知，
所以，，，
故，
所以，
所以.
（3）因为，时，，时，，时，，时，，
设数列的前n项和为，
①
②
①-②得
所以，.
所以，时，，
时，，时，，
时，，符合上述公式，
综上，考点目录
裂项相消法
错位相减法
分组与并项求和