利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份利用基本不等式解决解三角形、圆锥曲线中的最值问题专项训练-2026届高考数学二轮复习，共14页。
例1．（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知分别为的内角所对的边，且．
(1)求；
(2)已知是边的中点，求的最大值．
例2．（25-26高三上·福建福州·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，.
(1)若，，求的值；
(2)当时，求的最小值.
例3．（25-26高三上·湖南株洲·月考）在三角形中，设的对边分别为，已知角成等差数列，且.
(1)求三角形外接圆的面积；
(2)求三角形周长的最大值.
例4．（2026·陕西西安·一模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有.
(1)求角A；
(2)若D为BC中点，且，求面积的最大值.
变式1．（25-26高三上·河南南阳·期中）在中，角，，的对边分别是，，，且，.
(1)求的最小值；
(2)若的面积是，求外接圆的面积.
变式2．（25-26高三上·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为的面积为.已知.
(1)若，求的值；
(2)若，求的最小值；
(3)若.分别在边上，且，求面积的最小值.
变式3．（25-26高三上·河南郑州·期中）在中，内角的对边分别为．已知．
(1)求；
(2)若，点在边上，，求面积的最大值．
变式4．（25-26高三上·河南·期中）在中，角的对边分别是，且.
(1)求角；
(2)若的中线长为，求的最大值.
考点二 利用基本不等式解决圆锥曲线中的最值问题
例1．（25-26高三上·天津·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值.
例2．（25-26高二上·山东青岛·期中）如图，椭圆的长轴长为4，离心率为.

(1)求的标准方程；
(2)矩形的顶点，在轴上，，在上，与的另一个交点为，与的另一个交点为，与轴交于点，与的另一个交点为.设直线，的斜率分别为，.
（i）求的值；
（ii）求直线的斜率的最小值.
例3．（2025·山东临沂·一模）已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于两点.
(1)求的方程；
(2)若，求的方程；
(3)若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求面积的最大值.
例4．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知椭圆的短轴长为，离心率为分别是椭圆的上下顶点，过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：直线恒过定点；
(3)求面积的最大值.
变式1．（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知双曲线:的离心率为，点在双曲线上．
(1)求的方程；
(2)已知直线，交于，两点，
①是否存在直线满足，若存在求出直线的方程，若不存在请说明理由；
②若，求的面积的最小值．
变式2．（25-26高三下·河南·开学考试）已知双曲线的左、右顶点分别为，，的渐近线方程为．
(1)求的方程；
(2)若是上不同于的两点，过作与直线平行的直线交直线于点，过作与直线平行的直线交直线于点．
（i）若点在第一象限，记直线的斜率分别为，求的最小值；
（ii）证明：直线恒过定点．
变式3．（25-26高三上·广东汕头·期末）已知抛物线，过的焦点作直线交于两点，直线（为的顶点）交的准线于点.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
变式4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知抛物线过点．其焦点为，若且．
(1)求的值以及抛物线的方程；
(2)过点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于与四点，求四边形面积的最小值．考点目录
利用基本不等式解决解三角形中的最值问题
利用基本不等式解决圆锥曲线中的最值问题