二项分布、超几何分布、正态分布专项训练-2026届高考数学二轮复习

这是一份二项分布、超几何分布、正态分布专项训练-2026届高考数学二轮复习，共30页。
例1．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）“彼此有了三分酒，便猜拳赢唱小曲儿”——这一幕出自《红楼梦》第六十三回《寿怡红群芳开夜宴》，描绘的是酒意微醺后的贾宝玉等人行令助兴的生动场景．这里的“猜拳”，正是中国传统酒令中极为常见的一种互动游戏，而现代最广为人知的猜拳形式之一，便是石头剪刀布．石头剪刀布的规则如下：两人同时出拳，石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，相同则平局．一般来说，人类在出拳时会有不自觉的偏向性．甲乙二人的最近60次出拳如下表．
用频率估计概率，假设两人每次出拳相互独立.
(1)若甲乙二人进行一次猜拳，估计甲获胜的概率；
(2)若甲乙二人进行三次猜拳，记平局的次数为X．估计随机变量X的分布列和数学期望；
(3)若甲乙二人以如下规则进行一轮“无平局猜拳游戏”：持续进行若干次猜拳，直到其中一方获胜才停止，将该次猜拳的获胜方记为本轮游戏的胜者.直接写出甲本轮游戏获胜的概率．
例2．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）某科技公司研发了一款AI图像分类模型.现随机抽取500张图片对该模型进行测试，记录了单次测试的准确率（百分比）.通过对测试结果的分析，绘制出了如下频率分布直方图：
(1)求平均准确率；
(2)将准确率不低于90%的一次分类视为“精准分类”，以频率估计概率，现用该模型独立进行5次测试，记为“精准分类”的次数，求随机变量的分布列及数学期望.
例3．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同.某人做摸球答题游戏.规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐.此人答对每一道题目的概率均为 当甲罐内无球时，游戏停止.假设开始时乙罐无球.
(1)求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；
(2)设第 次答题后游戏停止的概率为 问：是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由.
变式1．（2026·福建龙岩·一模）某会员店的本地会员占，外地会员占.现开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，每个会员对该店商品质量满意与否相互独立.
(1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率；
(2)从该店所有会员中随机抽取2名会员（其中会员总数远大于2），记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望.
变式2．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）为全面提升青少年消防安全意识和自防自救能力，7月24日，某消防救援支队走进社区暑期爱心课堂，为孩子们带来了一堂生动有趣的“消防安全知识课”.
(1)已知爱心课堂共有10名学生，其中有6名男生，4名女生，从这10名学生中任选3名学生，记这3名学生中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)课后设置消防安全有奖知识竞答，每道题答对的概率为0.4，为使答对题数的数学期望不小于，则小王同学至少要抢答多少道题？
变式3．（25-26高三上·山西太原·期末）随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛.某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答.大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%.已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立.
(1)求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率；
(2)在某次试验中，用户输入（）个问题，记其中软件生成正确答案的个数为，事件（）的概率为.当取何值时，的值最大？
考点二 超几何分布
例1．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章．现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为“青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下：
记表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为表示“抽取到的市民为非青年组”，其概率为．
(1)给出的估计值；
(2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒之魔童降世2》的人数的分布列和数学期望．
例2．（25-26高三上·江苏盐城·月考）随着新能源产业的发展，某地区近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究充电桩建设的情况，相关部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（如：表示2021年），具体参考数据如下表：
(1)请根据表中数据，建立关于的回归直线方程；
(2)假设该地区现有12个充电桩，其中一半为快充桩，现对该地区现有的12个充电桩进行检查，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值.
（参考公式：，.）
例3．（25-26高三上·黑龙江·月考）某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出8位候选人，然后在这8人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛.
(1)已知某班甲、乙、丙三人已经入围8位候选人之中，现从这8人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为，求的分布列与数学期望；
(2)预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率；
(3)假如只有组与组进入决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分.组每道题先做对的概率都为，组先做对的概率都为，且，各题做题结果相互独立.现在有两种赛制可以供组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军.你认为组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程.
变式1．（25-26高三上·重庆·月考）某学校组织天文学知识竞赛，甲､乙两人各自从4个问题中随机抽取3个问题作答，每答对一题得1分，已知这4个问题中，甲能正确回答其中的2个问题，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲､乙两人对每个问题回答正确与否都是相互独立的.
(1)设甲得分为，求的分布列及期望；
(2)求比赛结束后甲的得分大于乙的得分的概率.
变式2．（2025·上海黄浦·一模）一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），按从小到大的排序结果如下：62，74，75，84，84，85，85，85，86，87，89，92，93，94，97，99，101，104，107，117．
(1)求该水果店过去20天苹果日销售量的平均数；
(2)若以过去20天苹果的日销售量的第80百分位数作为下个月每日苹果的平均进货量，试确定下个月每日苹果的平均进货量；
(3)若从过去20天中随机抽取3天，分别求“3天中每天的苹果销售量均超过90kg”与“3天中恰有2天的苹果销售量超过90kg”的概率．
变式3．（25-26高三上·四川成都·月考）某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：
用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响.
(1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；
(2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望；
(3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求的分布列和方差.
考点三 正态分布
例1．（25-26高二上·江西·期末）某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，规定：分数高于93分为优秀．
(1)估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例；
(2)若该市有60000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数．
参考数据：
若，则，．
例2．（2025·陕西商洛·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：
(1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表）
(2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数；
(3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望．
参考数据：若随机变量，则.
例3．（2025·上海浦东新·三模）某科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示：
(1)求成对数据的相关系数；
(2)求特征量关于的回归方程，并据此估算特征量时的值；
(3)设特征量作为随机变量服从正态分布，其中为5次试验中的平均数，为5次试验中的方差．求．（本题所有答数精确到0.01．）
变式1．（25-26高三上·海南海口·月考）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个原件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立.
(1)已知电源电压（单位：V）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值.
(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为
①设，证明：；
②若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率.
附：若随机变量服从正态分布，则，，.
变式2．（25-26高三上·宁夏银川·月考）高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为．
(1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率；
(2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望．
(3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望及方差．（结果四舍五入保留整数）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，考点目录
二项分布
超几何分布
正态分布
出拳情况
石头
剪刀
布
甲
30次
20次
10次
乙
15次
30次
15次
看过
没看过
合计
青年组
30
20
50
非青年组
15
35
50
合计
45
55
100
55
70.4
19
时长（小时）
人数（人）
3
4
33
42
18
满意度评分
频数
10
15
20
30
15
10
特征量
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次