北京市中国人民大学附属中学2025届高三年级上学期10月质量检测练习数学试卷（含答案）

这是一份北京市中国人民大学附属中学2025届高三年级上学期10月质量检测练习数学试卷（含答案），共14页。
一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置. )
1. 已知集合 ( )
A. (−2, 4) B. [0, 4) C. [0,1] D. {0,1}
2. 下列函数中，在定义域上为奇函数，且在[0, +∞ )上递减的是( )
B. f (x) = csx D. f (x) = ex − e− x
3. 已知a > b> 0 ，以下四个数中最大的是( )
A. b B.
4. 已知角α 的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点 ,cs ，则角α 的一个可
能值为( )
A. − B. D.
5. 已知函数f (x) = 9 lg x − x + 1，则 f (x) > 0 的解集为( )
A. (0,10) B. (1,10) C. (0,1) (10, +∞) D. (−∞,1) (10, +∞ )
6. 已知定义域为 R 的函数f (x) 满足f (x − 2) 是奇函数，f (x) 是偶函数，则下列各数一定是f (x) 零点 的是( )
A. 2019 B. 2022 C. 2025 D. 2028
7. 深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：L = L0D ，其中，L 表示每一轮优化时
使用的学习率，L0 表示初始学习率，D 表示衰减系数， G 表示训练迭代轮数， G0 表示衰减速度．已知， 某个指数衰减学习率模型的初始学习率为 0.5 ，衰减速度为18 ．经过18 轮迭代学习时，学习率衰减为
0.4 ，则学习率衰减到 0.2 以下所需要的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据： lg 2 = 0.3010 ）
A. 71 B. 72 C. 73 D. 74
1 1
8. 已知a, b 均为正实数．则“ > ”是“ a2 + 5b2 > 6ab ”的( )
a b
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
9. 音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“ 葫芦曲线” .它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振
幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为 sin①x , x ≥ 0 ，其中 表示不超过 x 的最大整数.若该条曲线还满足 ① ∈ (1, 3) ，经过点 则该条葫芦曲线与直线 τ 交点的纵
坐标为( )
B. ± C. ± D. ±1
10. 如图所示，直线 y = kx + m 与曲线y = f(x)相切于(x1, f (x1 )), (x2, f (x2 )) 两点，其中 x1 < x2 ．若当 x∈ (0, x1 ) 时，f , (x) > k ，则函数 f (x)− kx 在(0, +∞)上的极大值点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．请把结果填在答题纸上的相应位置. )
11. 函数f 的定义域为
12. 函数f 的值域为_____ .
13. 已知对任意实数 x ，均有cs = sin , ① ∈ R ，写出一组满足条件的(①,φ) = ______ .
14. 已知函数f (x) = ln (x + 1) − k 有两个零点a , b(a < b) ，则a + 2(b + 1) 的取值范围为 .
15. 已知函数f (x) = x +1 + ax − 2 (a > 0) 定义域为 R，最小值记为M(a) ，给出以下四个结论：
①M(a) 的最小值为 1；
②M(a) 的最大值为 3；
③ f (x) 在(−∞, −1) 上单调递减；
④a 只有唯一值使得y = f(x)的图象有一条垂直于 x 轴的对称轴.
其中所有正确结论的是： .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在
答题纸上的相应位置作答. )
16. 已知数列{an } 的前 n 项和为Sn = n2 + 3n, n ∈ N* .
（1）求{an } 的通项公式：
（2）若等比数列 {bn }满足b1 = a2, b2 = a3 ，求 {bn } 的前 n 项和Tn .
17. 已知函数f (x) = sin ①xcsφ− cs①xsinφ(① > 0,| φ |< ) .
若f ，求φ 的值；
（2）已知f (x) 在[ , ] 上单调递减， = −1 ，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数
f (x) 唯一确定，求①,φ 的值.
是曲线y = f (x) 的一个对称中心；
③ f (x) 在[0,] 上单调递增；
18. 已知函数 x3 + x2 − 4x + a
（1）若a = 0 ，求曲线 y = f (x) 的斜率为 −4 的切线方程；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若函数在[−1,2] 上恰有 1 个零点，直接写出a 的取值集合.
19. 海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某 天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨 3 点 06 分）
时刻：x（时）
0
3.1
6.2
9.3
12.4
15.5
18.6
21.7
24
水深：y（米）
5.0
7.4
5.0
2.6
5.0
7.4
5.0
2.6
4.0
（1）根据以上数据，可以用函数 y = Asin来近似描述这一天内港口水深与
时间的关系，求出这个函数的解析式；
（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为 4.2 米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠 时，船底高于海底平面的安全间隙至少有 2 米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时 间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长.
20. 已知函数f (x) = ex (x2 + x)，记其在点 (a, f (a)) 处的切线方程为：y = ga (x) . 定义关于 x 的函数Fa (x) = f (x)− ga (x) .
（1）求g1 (x) 的解析式；
（2）当a > 0 时，判断函数Fa (x) 的单调性并说明理由；
（3）若 a 满足当x ≠ a时，总有 > 0成立，则称实数 a 为函数f (x) 的一个“Q 点”，求
f (x) 的所有 Q 点.
21. 已知集合Ωn = {X X = (x1, x2,..., xn ), xi ∈{0,1}, i = 1, 2,..., n} ，对于任意 X ∈Ωn ，
操作一：选择X 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续k 个1或连续k 个0 ，得到Y ∈Ωn+k (k ≥ 1) ；
操作二：删去X 中连续k 个1或连续k 个0 ，得到Y ∈Ωn−k (1 ≤ k ≤ n−1) ；
进行一次操作一或者操作二均称为一次“ 10 月变换 ”，在第n 次(n∈ N* ) “ 10 月变换 ”的结果上再进行1 次“ 10 月变换 ”称为第n +1次“ 10 月变换 ”.
（1）若对X = (0,1, 0) 进行两次“ 10 月变换 ”，依次得到Y ∈Ω4 ，Z ∈Ω2 ．直接写出Y 和Z 的所有可 能情况.
（2）对于X = (0, 0,..., 0) ∈Ω100 和Y = (0,1, 0,1,..., 0,1) ∈Ω100 至少要对X 进行多少次“ 10 月变换 ”才能 得到Y ？说明理由 .
（3）证明：对任意X, Y ∈Ω2n ，总能对 X进行不超过n +1次“ 10 月变换 ”得到Y .
参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置. )
1. 【答案】D
【分析】先求出集合 A ，将其中非负整数代入 y = x ，即可判断是否属于集合 B ，进而结合交集的定义 求解即可.
【详解】根据题意， A = {x −2 < x < 4 }，则集合 A 中的整数为−1, 0,1, 2,3 ，
当x = 0 时，y = 0 = 0 ∈ B，当 x = 1 时，y = 1 = 1 ∈ B ，
当x = 2 时，y = 2 ∈ B，当 x = 3 时，y = 3 ∈ B ， 所以 A B = {0,1} .
故选：D
2. 【答案】C
【分析】根据函数奇偶性的定义、单调性的判断方法进行判断即可. 解：A ．f 为奇函数，但x = 0 无意义，不符合题意；
B ．f (x) = csx 为偶函数，不符合题意；
C ． 函数为奇函数，在[0, +∞)上递减，符合题意；
D ．f (−x) = e− x − ex = − (ex − e− x ) = −f (x)，函数为奇函数，在[0, +∞)上递增，不符合题意； 故选：C .
3. 【答案】D
【分析】首先得 > > b ，而 、 都是正数，故只需让它们的平方作差与 0 比较大
小即可.
【详解】由题意 a > b > 0 ，所以b =
由基本不等式可得 ≥ ,同时注意到 a ≠ b ，所以 > > b ，
而
a2 + b2
·i 2
、 都是正数，所以
故选：D.
4. 【答案】B
【分析】由题意可求得 tanα = 结合选项可得结论. 【详解】因为α 的终边经过点 ,cs
所以 tanα =
所以角α 的一个可能值为 .
故选：B.
5. 【答案】B
【分析】求导后可得f (x) 单调性，结合f (x) 零点可求得结果. 【详解】由题意知：f (x) 定义域为(0, +∞)，
( 9 ) ( 9 )
( ln10 , (ln10 ,
:当x∈ |0, 时， f ′ (x) > 0；当 x∈ | , +∞ 时，f ′ (x) < 0；
在 上单调递增 上单调递减，
又f (1) = f (10) = 0 ， :当x∈ (1,10) 时，f (x) > 0 ， 即f (x) > 0 的解集为(1,10) .
故选：B.
6. 【答案】B
【分析】由已知条件确定函数周期，再逐项判断即可.
【详解】因为f (x − 2)是奇函数，所以f (x − 2) = −f (−x− 2) 且f (−2) = 0 ， 令x − 2 = t ，可得：f (t ) = −f (−t − 4)
因为f (x) 是偶函数，f (2) = 0 且f (−t − 4) = f (t + 4) ， 所以f (t + 4) = −f (t ) ，
所以f (t + 8) = −f (t + 4) = f (t) ，
所以定义域为 R 的函数f (x) 一个周期为 8，
所以f (2019) = f (252×8 + 3) = f (3) 无法判断， f (2022) = f (252×8 + 6) = f (6) = f (−2) = 0 ， f (2025) = f (253×8 +1) = f (1) ，无法判断.
f (2028) = f (253×8 + 4) = f (4) ，无法判断. 故选：B
7. 【答案】D
【分析】根据已知条件列方程，可得D = ，再由0.5 × < 0.2 ，结合指对数关系和对数函数的性质求
解即可.
由于L = L0D 所以L = ， 依题意 0.4 = ，则
则L = 0.5 ×
由L = 0.5 × ( 0.2 ，得到
所以G >18lg ≈ 73.9 ，
所以所需的训练迭代轮数至少为 74 次， 故选：D.
8. 【答案】A
【分析】根据给定条件，结合不等式的性质，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由a, b 均为正实数，得 a < b ，则a2 + 5b2 − 6ab = 即
a2 + 5b2 > 6ab ；
1 1
当a2 + 5b2 > 6ab时，即(a − b)(a − 5b) > 0 ，而a, b 均为正实数，则有 a < b 或a > 5b ，即 > 或
a b
1 1
所以“ > ”是“ a2 + 5b2 > 6ab ”的充分不必要条件.
a b
故选：A
9. 【答案】C
【分析】根据曲线方程上的点 可得w= 2 ，将 π 代入计算可得纵坐标. 将点M代入葫芦曲线的方程可得
即 = 1 ，由w ∈ 可得w= 2 ，
因此曲线方程为 sin2x
当 可得 sin2 × ,
· 3
所以交点的纵坐标为 ± .
2
故选：C
10. 【答案】D
【分析】根据f (x) 斜率为k 的切线条数，结合图象直接判断即可.
【详解】
根据图象，可分别作出f (x) 斜率为k 的另外三条切线：y = kx + mi (i = 1, 2,3) ，切点分别为 x5 , x3 , x4 ， 如图所示：当x∈ (0, x1 ) U (x3, x2 ) U (x4, x5 ) 时，f , (x) > k ；当 x∈ (x1, x3 ) U (x2, x4 ) U (x5, +∞) 时， f , (x) < k ；
设g (x) = f (x)− kx ，则 g, (x) = f , (x)− k ，
: g (x) 在(0, x1 ), (x3, x2 ), (x4, x5 ) 上单调递增，在(x1, x3 ), (x2, x4 ), (x5, +∞)上单调递减，
:g (x) = f (x)− kx 有x = x1 ，x = x2 和x = x5 三个极大值点. 故选：D.
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．请把结果填在答题纸上的相应位置. )
11. 【答案】(−∞,0]
【分析】根据对数的真数为正和二次根号下非负可求定义域.
,故 x ≤ 0 ，故函数的定义域为(−∞,0] ，
【详解】由题设有
〔1 − x > 0 {
lln(1− x) ≥ 0
故答案为：(−∞,0] .
12. 【答案】[0, 2]
【分析】分别求出每一段函数的值域，再求并集即可.
当 0 ≤ x ≤ 1时， f (x) = = x ，在 0 ≤ x ≤ 1上单调递增，所以f (x)∈ [0,1]；
当 −1 ≤ x < 0 时，f 上单调递减，所以f (x)∈ (1, 2]；
综上所述，f (x)∈ [0, 2]， 故答案为：[0, 2].
( 2π )
13. 【答案】|(−1, 3 , （答案不唯一） 【分析】根据诱导公式变形即可求解.
( π ) 「 π ( π )7 ( 2π )
【详解】注意到cs|(x − 6 , = sin L|2 − (|x − 6 ,」| = sin (|−x+ 3 , = sin (x+φ), ∈R ，
故可以直接让(,φ) = −1,,) ，
事实上，根据函数周期性可知 , k ∈ Z . 故答案为 答案不唯一）.
14. 【答案】(2, +∞)
【分析】令f (x) = 0 ，得到 ln (x +1) = k ，构造函数 y1 = ln(x +1) ，y2 = k ，根据条件，数形结合得到
b+ 1 = 从而有a + 2(b+1) = a +1+ −1，通过换元a +1 = t ∈(0,1) ，得到 a + 2(b+1) = t + −1(0 < t 0 ， −1 < a < 0, b > 0 ，
且 = k ，得到b+ 1 = ，
2 2
所以 a + 2(b+1) = a + a +1 = a +1+ a +1−1，令a +1 = t ∈(0,1) ，
则 又易知y = t + 在区间(0,1)上单调递减，
所以y∈ (2, +∞) ，即a + 2(b+1) 的取值范围为(2, +∞) ，
故答案为：(2, +∞) .
15. 【答案】 ②③④
【分析】分类讨论后可得 故可求M(a) ，故可判断①②的正误，结合
−(1+ a)x +1, x ≤ −1 l
f (x) 的形式可判断 C 的正误，对于④,结合解析式的形式可得若对称则a = 1 ，可证明此时图像对称.
【详解】由题设可得
−(1+ a)x +1, x ≤ −1 l
当 0 < a < 1时， M (a) = 2 − a ，此时1 < M(a) < 2
当a ≥ 1 时，M ，此时1< M 故 1 的值域为(1, 3]，
故①错误，②正确；
当x < −1时， f (x) = −(a +1)x +1，因 a +1> 0 ， 故f (x) 在(−∞, −1) 上单调递减，故③正确；
因为1+ a,1− a, −1− a 互不相等，若y = f(x)的图象有一条垂直于 x 轴的对称轴， 则1 − a = 0 即a = 1 ，
此时f (x) = x +1 + x − 2 ， f (1− x) = 1− x +1 + 1− x− 2 = x+1 + x− 2 = f (x)，
故 为f 的图象的对称轴，故④正确；
故答案为：②③④.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在
答题纸上的相应位置作答. )
16. 【答案】（1）an = 2n+ 2 ，n ∈ N*
n 3
（2）T = 18( 4 )n −18
【分析】（1）借助关系式 即可求解；
（2）根据（1）的结论可求出等比数列{bn }中的b1, b2 ，进而求出公比，代入等比数列前 n 项和公式即可求 出Tn .
【小问 1 详解】
因为数列{an }的前 n 项和为Sn = n2 + 3n, n ∈ N* ， 当n = 1 时， a1 = S1 = 12 + 3×1 = 4 ；
当n ≥ 2 时， an = Sn − Sn−1 = n2 + 3n − (n−1)2 + 3(n−1) = 2n+ 2 ；
又因为 a1 = 4 = 2×1+ 2 ，符合 an = 2n+ 2 ，
所以{an }的通项公式为：an = 2n+ 2 ，n ∈ N* .
【小问 2 详解】
设等比数列{bn }的公比为q .
因为等比数列{bn }满足b1 = a2, b2 = a3 ，即b1 = 6 ，b2 = 8 ，
所以 所以 n −18 ，
4
所以{bn }的前 n 项和Tn = 18( 3 )n −18 .
17. 【答案】（1） ；
（2）选择条件，答案见解析.
【分析】（1）逆用差角的正弦公式化简函数 f (x) ，借助特殊角的三角函数值求出φ .
（2）根据给定条件，结合单调区间及最小值可得 0< ≤ 2 ，且 −φ = ，选择①结合对称中心求
出,φ ;选择②结合特殊角的三角函数值求出φ 值，矛盾；选择③,由最大值点求出,φ .
【小问 1 详解】
依题意，函数f (x) = sin(wx −φ) ，由 f (0) =− ,得 −sinφ = − ,
即sinφ = ，而|φ |< ，解得φ = ， 所以φ 的值是 .
【小问 2 详解】
由 在 上单调递减，得函数f (x) 的最小正周期 = π , 解得0 < w ≤ 2 ， 由f () =−1 ，得 = −1 ，又 −φ < w−φ ≤ −φ,而|φ |< ，
即 − < φ < ， < −φ < ，因此 w−φ = ，
选择① , (,0) 是曲线y = f (x) 的一个对称中心，而
则函数f (x) 的最小正周期T = 2π = 4( 2π − 5π) = π ,解得w= 2 ， w 3 12
由 w−φ = 得φ = − ,函数 = sin唯一确定，经验证符合题意， 所以w= 2,φ = −
选择 即sin(− w−φ) = ，化简得sin(w+φ) = − ,
π 2π π π π 2π 7π π π
又φ < w+φ ≤ +φ , − < φ < ， < +φ < ，于是 w+φ = − ,
3 3 2 2 6 3 6 3 6
联立 w−φ = 解得w= ,φ = − ,不符合题意，函数 f (x) 不能确定.
选择③ , f (x) 在[0,] 上单调递增，f ,) = 1 ，则函数f (x) 的最小正周期 解得w= 2 ，由 w−φ = ，得φ = − , 函数f = sin唯一确定，经验证符合题意， 所以w= 2,φ = −
18. 【答案】（1）y = −4x 和12x + 3y −1 = 0 ；
（2） (−∞, −2), (1, +∞) ；
13 4 7
（3）[− , − ) { } . 3 3 3
【分析】（1）设斜率为 −4 的直线与y = f(x)相切于 求导得f , (x) = 2x2 + 2x − 4 ，
令 2xEQ \* jc3 \* hps13 \\al(\s\up 5(2),0) + 2x0 − 4 = −4 ，解得 x0 = 0 或x0 = − 1，求出切点坐标，再利用点斜式即可得切线方程；
（2）求导得 f , (x) = 2(x + 2)(x −1) ，令f′ (x) > 0，即可得函数的单调递增区间；
（3）将问题转化为直线y =−a 与 g(x) = x3 + x2 − 4x 的图象在[−1,2] 上只有一个交点，利用导数求出
g(x) 的单调区间、最值，作出图象，结合图象求解即可. 【小问 1 详解】
解：因为 a = 0 ，
所以f (x) = x3 + x2 − 4x ，f , (x) = 2x2 + 2x − 4 ，
设斜率为 −4 的直线与y = f(x)相切于
令 2xEQ \* jc3 \* hps13 \\al(\s\up 5(2),0) + 2x0 − 4 = −4 ，解得 x0 = 0 或x0 = − 1，
当x0 = 0 时，切点为(0, 0) ， 此时切线方程为y = −4x ；
当x0 = − 1 时，切点为 (−1,) ,
此时切线方程为
即12x + 3y −1 = 0 ；
综上，所求切线方程为：y = −4x 和12x + 3y −1 = 0 ； 【小问 2 详解】
解：因为f (x) = x3 + x2 − 4x + a ，
所以f , (x) = 2x2 + 2x − 4 = 2(x + 2)(x −1) ， 令f′ (x) > 0，得 x < −2 或x > 1 ，
所以函数的单调递增区间为(−∞, −2), (1, +∞) ； 【小问 3 详解】
解：令f (x) = x3 + x2 − 4x+ a = 0 ，
则 g,(x) = 2x2 + 2x − 4 = 2(x + 2)(x −1) ，
所以当x [ 1,1) 时，g,(x) < 0 ， g(x) 单调递减； 当x∈ (1, 2] 时，g ,(x) > 0 ， g(x) 单调递增；
所以 min = g 又 ， ，
又因为函数在 [−1,2] 上恰有 1 个零点，
即直线y =−a 与y = g(x) 的图象在[−1,2] 上只有一个交点， 如图所示：
由此可得 −a = − 或 < −a ≤
解得 ≤ a < −
所以实数 a 的取值集合为
y = 2.4sin x+ 5, 0 ≤ x < 24
（2）最早可行的进港时间为 1 时 2 分， 5 时 10 分出港；这条货船一天中最多可以在港口中停靠的总时长 为 8 小时 16 分.
【分析】（1）由公式 可求，由表格可得周期 T = 12.4 − 0 = 12.4 ，进而求
,代入最高点(3.1, 7.4) 可求φ;
（2）由题意可知进港条件为 y ≥ 6.2 ，解不等式即可. 【小问 1 详解】
由表格可知y 的最大值为 7.4，最小值为 2.6，
所以 = 2.4, b =
由表格可知T = 12.4 − 0 = 12.4 ，
所以 =
所以y = 2.4sin
将点(3.1, 7.4) 代入可得： 7.4 = 2.4sin 所以 ×3.1+φ = + 2kπ, k ∈ Z ，
解得φ = 0 + 2kπ, k ∈ Z ，
因为 φ < ，所以φ = 0 ，
所以y = 2.4sin x+ 5, 0 ≤ x < 24 .
【小问 2 详解】
货船需要的安全水深为 4.2 + 2 = 6.2 米, 所以进港条件为 y ≥ 6.2 .
令 2.4sin x + 5 ≥ 6.2 ,
即sin 5π x ≥ 1 ,
31 2
所以 π + 2kπ ≤ 5π x ≤ 5π + 2kπ, k ∈ Z ,
6 31 6
31 62k 31 62k
解得 + ≤ x ≤ + , k ∈ Z , 30 5 6 5
因为0 ≤ x < 24 ，
31 31 所以k = 0 时， ≤ x ≤ ,
30 6
403 527
k = 1时， ≤ x ≤ 30 30
因为 （时） = 1 时 2 分, （时）= 5 时 10 分. （时） = 13 时 26 分，（时） = 17 时 34 分.
因此，货船可以在 1 时 2 分进港，早晨 5 时 10 分出港；或在下午 13 时 26 分进港，下午 17 时 34 分出港. 则该货船最早进港时间为 1 时 2 分，停靠总时长为 8 小时 16 分钟.
20. 【答案】（1）g1 (x) = 5ex − 3e
（2）当a > 0 时，Fa (x) 在(−∞, a)上单调递减；在(a, +∞ )上单调递增
（3）f (x) 的所有 Q 点为a = −4 或a = − 1
【分析】 (1)先求出 f (x) 的导函数f′ (x)，然后求出 f (1), f , (1) 的值，再根据点斜式即可求出切线方程 g1 (x)；
(2)求出Fa (x) 的导函数Fa , (x)，判断 Fa , (x) 在a > 0 时的符号，即可判断函数Fa (x) 的单调性；
(3)根据题意，当 x ≠ a 时，总有 > 0 成立，即 Fa (x) 与 x− a 同号，即可找到满足条件的 a
值.
【小问 1 详解】
: f (x) = ex (x2 + x)，
f , (x) = ex (x2 + x)+ ex (2x +1) = ex (x2 + 3x +1) 当 a = 1 时，f (1) = 2e ，f , (1) = 5e ，
故f (x) 在(1, 2e) 处的切线方程为：y − 2e = 5e (x −1) ，
即y = 5ex − 3e ，
:g1 (x) = 5ex − 3e ； 【小问 2 详解】
由(1) 知：ga (x) = f , (a)(x − a) + f (a)
= ea (a2 + 3a +1)(x − a)+ ea (a2 + a)
= ea (a2x + 3ax + x − a3 − 2a2 )
Fa (x) = f (x)− ga (x) = ex (x2 + x)− ea (a2x + 3ax + x − a3 − 2a2 )，
:Fa, (x) = ex (x2 + x)+ ex (2x+1)− ea (a2 + 3a +1)
= ex (x2 + 3x +1)− ea (a2 + 3a +1)
= ex x2 + 3x +1− ea−x (a2 + 3a +1)
令h (x) = x2 + 3x +1− ea−x (a2 + 3a +1)，
则 h, (x) = 2x + 3 + ea−x (a2 + 3a +1) = ，
令φ(x) = ex (2x + 3)+ ea (a2 + 3a +1)， 则φ, (x) = ex (2x + 5)，
当x < − 时，φ ′ (x) < 0 ，φ(x)单调递减， 当x > − 时，φ ′ (x) > 0 ，φ(x)单调递增， 故
( 5 ) − 5 ( ( 5 ) ) 2
φ|( − 2 , = e 2 |(2 × (| − 2 , + 3, + ea (a + 3a+1)
5
= −2e− 2 + ea (a2 + 3a +1)
'.' a > 0 ，∴ ea+2 + 3a + 1) − 2 > 0 ， 即φ(x) > 0 恒成立，即ℎ′ (x) > 0恒成立， 即ℎ(x)在R 上单调递增，
又'.' h (a) = a2 + 3a +1− e0 (a2 + 3a +1) = 0 ，
故当x < a 时，h (a) < 0 ，即 Fa, (x) < 0 ，Fa (x) 单调递减； 当x > a 时，h (a) > 0 ，即 Fa, (x) > 0 ，Fa (x) 单调递增；
综上所述：当 a > 0 时，Fa (x) 在(−∞, a)上单调递减；在(a, +∞)上单调递增； 【小问 3 详解】
'.' 当x ≠ a时，总有 > 0成立，
又'.' Fa (a) = ea (a2 + a)− ea (a3 + 3a2 + a − a3 − 2a2 ) = 0 ，
故Fa (x) 与x− a 同号， 即当x < a 时，
Fa (x) < 0 ，
当x > a 时，Fa (x) > 0 ，
即Fa (x) 在R 上单调递增，即
Fa , (x) ≥ 0 恒成立，
:由(2) 知：h (a) = 0 ，即 Fa, (a) = 0 ，
故当x > a 时，φ(x) = ex (2x + 3)+ ea (a2 + 3a +1) ≥ 0 恒成立，
'.'φ(x) = ex (2x + 3)+ ea (a2 + 3a +1) ≥ ea (2a + 3)+ ea (a2 + 3a +1) = ea (a2 + 5a + 4) ≥ 0 ， 解得： a ≤ −4 或a ≥ −1 ，
当x < a 时，φ(x) = ex (2x + 3)+ ea (a2 + 3a +1) ≤ ea (a2 + 5a + 4) ≤ 0 恒成立，
解得： −4 ≤ a ≤ −1，故 a = −4 或a = − 1 ， 故f (x) 的所有 Q 点为a = −4 或a = − 1 .
【点睛】方法点睛：本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考 查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用 导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化 为函数的最值问题.
21. 【 答 案 】（1） Y = (0,1,1, 0) ， Z = (0, 0) ，或 Y = (0, 0,1, 0) ， Z = (1, 0) ，或 Y = (0,1, 0, 0) ， Z = (0,1) .
（2）51
（3）证明见解析
【分析】（1）直接根据定义得到所有可能的情况即可；
（2）先对段落数估计，证明一定需要 51次操作，然后构造 51次操作的例子，即可说明至少需要的操作次 数为51；
（3）先给出具体的操作方式，然后证明该操作方式下操作的总次数不会超过n +1 . 【小问 1 详解】
由于对Y ∈Ω4 进行一次“ 10 月变换 ”后就得到了Z ∈Ω2 ，说明 Y 一定含有2 个相同且相邻的数，从而Y 只可能是(0,1,1, 0) ，(0, 0,1, 0) ，(0,1, 0, 0) ，对应的 Z 分别是(0, 0) ，(1,0) ，(0,1).
【小问 2 详解】
对每个Ωn 中的元素，将其所有连续的0 和连续的1各自记为一个段落，则容易得到：
若对某个A 进行一次操作一得到B ，则 B 的段落数或者和A 的段落数相等，或者比A 的段落数多1，或者 比A 的段落数多2 ；
若对某个A 进行一次操作二得到 C ，则 C 的段落数或者和A 的段落数相等，或者比A 的段落数少1，或者 比A 的段落数少2 .
这表明，每次“ 10 月变换 ”下，变换前后元素的段落数之差的绝对值不超过2 .
现在，X = (0, 0,..., 0) ∈ Ω100 的段落数为1 ， Y = (0,1, 0,1,..., 0,1)∈ Ω100 的段落数为100 .
故若对X进行k 次“ 10 月变换 ”后可以得到Y ，则由前面的结论知 X, Y 包含的段落数之差的绝对值不超 过2k ，所以 99 ≤ 2k ，得 k ≥ 50 .
如果k = 50 ，则再次由前面的结论可知，变换过程中每次都是操作二，且有 49 次变换后相比变换前的段 落数多2 ，有1次变换后相比变换前的段落数多1 .
但在只进行操作二的情况下，0 的数量不可能减少，但X, Y 包含的0 的个数分别是100, 50 ，矛盾. 所以k ≥ 51 .
下面的变换过程表明k = 51 是可行的： X = (0, 0,..., 0) ∈ Ω100 ，
X1 = (0, 0,..., 0) ∈ Ω50 ，
X2 = (0,1, 0, 0,..., 0) ∈ Ω51 ，
X3 = (0,1, 0,1, 0, 0,..., 0) ∈ Ω52 ，
...
X50 = (0,1, 0,1,..., 0,1, 0) ∈Ω99 ， Y = X51 = (0,1, 0,1,..., 0,1) ∈ Ω100 .
所以，至少要对X进行51次“ 10 月变换 ”才能得到Y . 【小问 3 详解】
由于A 能通过 “ 10 月变换 ”得到B，当且仅当 B 能通过 “ 10 月变换 ”得到A ，所以我们不妨设 X 的段 落数a 不小于Y 的段落数b ，则1≤ b≤ a ≤ 2n .
此时，我们再不妨设Y 中0 的段落数不超过1的段落数，从而Y 中0 的段落数不超过 .
显然，如果X 不含1，则只需要一次操作使X含1的个数与Y相等，然后再插入至多 个连续的0 构成的 段落即可，由 +1 = n+1知结论成立.
下面考虑X含1的情况，进行如下操作：
第一步：如果X 的1的个数小于Y ，则在 X 的任意一个1右侧增加若干个1使得二者含1数量相等，否则跳 过该步骤；
第二步：我们不断对X进行增加或删除连续若干个0 的操作.
准备工作：如果X和Y开头的数码不同，则在开头增加或删去若干个0 ，否则跳过该步骤. 然后反复进行以下步骤：
情况 1：如果当前的X 的第一个和Y不一致的段落对应的数字是由1组成的，则在X 的该段落中间添加若 干个0 （数量与 Y 的下一个段落的0 的个数相等），或者在该段落末尾删去X 的下一个由0 组成的段落；
情况 2：如果当前的X 的第一个和Y不一致的段落对应的数字是由0 组成的，则在X 的该段落中间添加或 删去若干个0 ，使得该段的 0 的个数与Y 的该段落的0 的个数相等.
如此反复后，如果第一步进行了操作，则最终X和Y一致；如果第一步没有进行操作，则最终X相比Y 在末尾多出若干个1 .
第三步：如果X相比Y在末尾多出若干个1，则删除多余的1，否则跳过该步骤.
至此，我们就将X操作变成了Y .
由于每执行一次第二步的操作时，使得段落数增加1的准备工作和段落数减少2 的删除0 的操作的总次数 不超过 而增加0 的操作的次数不超过 ，同时第一步和第三步不可能同时进行操作，所以总的
a − b+1 b a 3 2n 3 1
操作次数不会超过 + +1 = + ≤ + = n+1+ ，故需要的操作次数不超过 n +1 . 2 2 2 2 2 2 2
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对“ 10 月变换 ”定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应的 问题.