2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 004-课时作业4 基本不等式及其应用（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 004-课时作业4 基本不等式及其应用（教用），共13页。试卷主要包含了已知x<0，则x+4x−4的，函数f=的最大值为等内容，欢迎下载使用。
基础达标练
单选题每小题4分，多选题每小题4分，填空题每小题4分，共44分.
1．若a>0 ,b>0 ，且a+b=3 ，则（ ）
A. ab的最小值为32B. ab的最大值为32
C. ab的最小值为94D. ab的最大值为94
【答案】D
【解析】由题意可得a+b≥2ab（当且仅当a=b时取等号），所以0a+b2>a
C. b>a+b2>ab>aD. b>a>a+b2>ab
【答案】C
4．（2026·黑龙江龙东十校联考）函数f(x)=(2−x)(x+4)(−4≤x≤2)的最大值为（ ）
A. 3B. 3C. 6D. 9
【答案】B
【解析】∵−4≤x≤2,∴2−x≥0,x+4≥0，∴(2−x)(x+4)≤(2−x)+(x+4)2=3，当且仅当2−x=4+x，即x=−1时，等号成立，∴f(x)的最大值为3.故选B.
5．已知a>0,b>0，若a+2b=1，则1a+b2的最小值为（ ）
A. 2B. 22C. 4D. 42
【答案】C
【解析】因为a+2b=1，a>0,b>0，所以1a+b2=(1a+b2)(a+2b)=1+2ab+ab2+1≥2+22ab⋅ab2=4，当且仅当2ab=ab2，即a=12,b=4时，等号成立，所以1a+b2的最小值为4.故选C.
6．（2026·河北保定开学考）已知实数a,b满足a+2b=1，则3a+9b的最小值为（ ）
A. 3B. 23C. 3D. 6
【答案】B
【解析】由a,b∈R，得3a>0,9b>0，又a+2b=1，所以3a+9b=3a+32b≥23a+2b=23，当且仅当3a=32b，即a=2b=12时取等号，所以3a+9b的最小值为23.故选B.
7．（2025·山东菏泽模拟）已知a>1，b>1，且ab=4，则lg2a⋅lg2b的最大值为（ ）
A. 14B. 1C. 4D. 16
【答案】B
【解析】lg2a⋅lg2b≤(lg2a+lg2b2)2=[lg2(ab)2]2=1，当且仅当lg2a=lg2b=1，即a=b=2时取等号，故选B.
8．（2026·江苏镇江模拟）已知x>0,y>0，且2x+y=2xy，则x+y的最小值为（ ）
A. 34B. 52C. 22D. 32+2
【答案】D
【解析】因为x>0,y>0，且2x+y=2xy，所以1x+2y=2，所以x+y=12(1x+2y)(x+y)=12(3+2xy+yx)≥12(3+22xy⋅yx)=32+2，当且仅当2xy=yx，即x=2+12,y=2+22时，等号成立，所以x+y的最小值为32+2.故选D.
9．（2025·陕西延安中学模拟）多选 下列结论正确的有（ ）
A. 当x>0时，x+1x≥2
B. 当x>2时，x+1x的最小值为2
C. 当x0时，xy+yx≥2
【答案】AD
【解析】对于A，当x>0时，x>0,1x>0,所以x+1x≥2x⋅1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时取等号，故A正确；
对于B，x+1x≥2x⋅1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时取等号，又x>2，所以等号取不到，故B错误；
对于C，当x0时，xy>0,yx>0,即xy+yx≥2xy⋅yx=2，当且仅当xy=yx，即x=y时取等号，故D正确.故选AD.
10．（2026·重庆巴蜀中学开学考）已知正实数x,y满足xy+x+2y=6，则x+2y的最小值是（ ）
A. 22+2B. 4C. 5D. 23
【答案】B
【解析】由xy+x+2y=6，得x=6−2yy+1=8y+1−2，所以x+2y=8y+1−2+2y=8y+1+2(y+1)−4≥28y+1×2(y+1)−4=4，当且仅当8y+1=2(y+1)，即y=1时，等号成立，故选B.
11．（2025·江西重点高中联考）已知x>0，y>0，2x+y=4x2y3，则1x+1y的最小值为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】因为x>0，y>0，2x+y=4x2y3，所以2y+1x=4xy2，则(1x+1y)2=1x2+2xy+1y2=1x(1x+2y)+1y2=4y2+1y2≥24y2⋅1y2=4，当且仅当4y2=1y2，即y=22时，等号成立，所以1x+1y≥2，即1x+1y的最小值为2.
能力强化练
单选题每小题4分，多选题每小题4分，填空题每小题4分，共16分.
12．（2026·吉林延边模拟）已知a>0，b>0，则(a+3)2b2+12b2a的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. 12D. 24
【答案】D
【解析】因为a>0，b>0，所以(a+3)2b2+12b2a≥
2(a+3)2b2⋅12b2a=212×(a+9a+6)≥212×12=24，当且仅当(a+3)2b2=12b2a,a=9a,即a=b2=3时取等号.故选D.
13．（2026·江苏南通质检）已知a，b>0，且ab=a+b+3，则a+4b的最小值是（ ）
A. 6B. 9C. 13D. 7+43
【答案】C
【解析】ab=a+b+3⇒a(b−1)=b+3，由a，b>0，得b+3>0,∴a(b−1)>0,∴b>1，同理可得a>1，由ab=a+b+3,得ab−a−b+1=(a−1)(b−1)=4，从而a+4b=a−1+4(b−1)+5≥24(a−1)(b−1)+5=13，当且仅当a−1=4(b−1)，即b=2，a=5时取等号.故选C.
14．多选 已知a>0，b>0，a+b=2，则（ ）
A. a2+b2的最小值为2
B. (a+1)(2b+1)的最大值为498
C. ab+1a+1b的最小值为22
D. 1a+1+12b+2的最小值为3+228
【答案】ABD
【解析】对于A，a2+b2=(a+b)2+(a−b)22≥2，当且仅当a=b=1时取等号，所以A正确；
对于B，(a+1)(2b+1)=12(2a+2)⋅(2b+1)≤12(2a+2+2b+12)2=498，当且仅当2a+2=2b+1，即a=34,b=54时取等号，所以B正确；
对于C，ab+1a+1b=ab+a+bab=ab+2ab≥2ab⋅2ab=22，当且仅当ab=2ab,即ab=2时取等号，联立a+b=2,ab=2,整理得a2−2a+2=0，由Δ=4−4222，即ab+1a+1b无最小值，所以C错误；
对于D，1a+1+12b+2=18(2a+2+2b+2)⋅(1a+1+12b+2)=18(2+2b+2a+1+2a+22b+2+1)≥3+228，当且仅当2b+2a+1=2a+22b+2，即a=7−42,b=42−5时取等号，所以D正确.故选ABD.
15．已知x≥0，y≥0，且3x+2y=2，则12x+y−x−y的最小值为_ _ _ _ .
【答案】0
【解析】解法一：由3x+2y=2，得y=1−32x，由x≥0,y=1−32x≥0,得0≤x≤23，
12x+y−x−y=12x+1−32x−x−(1−32x)=2x+2+x2−1=2x+2+x+22−2≥22x+2⋅x+22−2=0,当且仅当2x+2=x+22，即x=0时取等号，所以12x+y−x−y的最小值为0.
解法二：令2x+y=a,x+y=b,则a≥0,b≥0,且3x+2y=a+b=2,即b=2−a,12x+y−x−y=1a−b=1a+a−2≥21a⋅a−2=0,当且仅当a=1,b=1,即x=0,y=1时取等号，所以12x+y−x−y的最小值为0.