江苏徐州市沛县2025—2026学年度第二学期期中检测 九年级数学试题（含解析）

这是一份江苏徐州市沛县2025—2026学年度第二学期期中检测 九年级数学试题（含解析），共13页。
1．本试卷共6页，满分140分，考试时间120分钟．
2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写在本卷和答题卡的指定位置．
3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效．
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：的相反数是2，
故选D．
2. 武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一分析判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
3. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】随机事件的概率事件包含的结果数所有可能出现的结果数．
【详解】解：∵袋子中共有3个红球，2个黄球和1个白球，所有球除颜色外无其他差别，随机摸出一个球，
∴所有可能出现的结果总数为，其中摸出红球的结果数为，
∴摸出红球的概率是 ．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项及完全平方公式，运用相关运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可．
【详解】解：A．与的指数不同，无法直接相加，故A计算错误；
B．，原计算正确，符合题意；
C．，原选项计算错误，故不符合题意；
D．，原选项缺少项，故D错误．
故选：B．
5. 若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ）
A. 3B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数为非负数，求出x的取值范围，再判断选项即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴被开方数满足，
解得，
选项中只有，符合要求．
6. 如图，，为的弦，连接，，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
7. 一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字为（ ）
A. 我B. 中C. 国D. 梦
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方体表面展开图，根据特点作答即可．
【详解】A、“我”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意；
B、“中”字一面的相对面上的字为“梦”，不符合题意；
C、“的”字一面的相对面上的字为“国”，不符合题意；
D、“梦”字一面的相对面上的字为“我”或“中”，不符合题意；
故选：C．
8. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案．
【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方，
即当时，的取值范围是或，
故选：C．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9. 计算：__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据合并同类项法则，同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变即可解题．
【详解】解：．
10. 中国年水资源总量约为亿，人均占有水量相当于世界人均的四分之一，居世界第110位．将用科学记数法表示为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：将数据用科学记数法表示为；
故答案为：．
11. 某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为：7，8，5，8，9，10，6．这组数据的众数是__________．
【答案】8
【解析】
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，统计各数据出现的次数即可求出结果．
【详解】解：统计这组数据中各数据出现的次数可得：出现次，出现次，出现次，出现次，出现次，出现次，其中出现的次数最多，
因此这组数据的众数是．
12. 若，则代数式的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键．先将变形为，再将变形为，然后整体代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
13. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点．若，，则菱形的边长是__________．
【答案】2.5
【解析】
【分析】先根据菱形的性质可得，再根据勾股定理得出答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴．
在中，．
14. 已知，则一次函数的图象不经过第_________象限．
【答案】二
【解析】
【分析】根据题意得到，再进行判断即可．
【详解】解：，
，
当时，，矛盾；
当时，，矛盾；
故，
一次函数的图象不经过第二象限．
15. 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意列出二元一次方程组，求出，的值即可得到答案．
【详解】解：，
解得，
．
16. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】观察图形可知，，则需求得、、、的度数，根据矩形和切线的性质可得，根据垂径定理得的长，由圆周角定理可得， 再由含角直角三角形的性质结合勾股定理即可求得、的长，即可得解．
【详解】解：四边形为矩形，
，
边与相切于点，
，
，
，
，
，
在中，， ，
．
17. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据题意得到，当时，，解一元二次方程即可．
【详解】解：铅球抛出时离地面的高度为，
，
，
当时，，
解得或（舍去），
铅球掷出的水平距离为．
18. 正方形边长为4，点为边的中点，点是正方形内一动点，且，点为线段的中点，连接，，则的最小值为_______________．
【答案】5
【解析】
【分析】取的中点M，连接，，证明，则，则的最小值的最小值即可解答．
【详解】解：取的中点M，连接，，如图：
∵正方形的边长为4，点O为边的中点，
∴，
∵点M为线段的中点，点为线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴的最小值为的最小值，即．
故答案为：5．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
解：原式
20. 解方程和不等式组：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法进行求解即可；
（2）先解出不等式组中的不等式，取其公共部分，即可得出不等式组的解集．
【小问1详解】
解：整理得，
因式分解得，
所以或，
解得，．
【小问2详解】
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为．
21. 某班开展综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”（分别记作A，B，C，D）共四个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在四张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．
（1）将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“文学”的概率为__________；
（2）将这四张卡片背面朝上洗匀后，第一小组代表从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，第二小组代表从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组卡片内容相同的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据概率公式计算；
（2）先画出树状图，再根据概率公式解答即可．
【小问1详解】
解：抽到的卡片内容是“文学”的概率为；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中这两个小组研究方向相同的结果有4种，
这两个小组研究方向相同的概率为．
22. 某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，整理后分为5组，得到如下的频数分布表：
根据所给信息，解答下列问题．
（1）这40名学生视力的中位数落在__________组内；（用表示组别的字母进行填写）
（2）该校八年级共有600名学生．
①根据表中数据，请估计这600名学生的视力在范围内的人数；
②从去年同期这600名学生的体检结果中可知，视力在范围内的人数为283人．如果你是该校的一名学生，请说明这600名学生今年和去年视力在范围内的人数变化情况，并为学校提一条保护学生视力的合理化建议．
【答案】（1）C； （2）①估计这600名八年级学生的视力在范围内的人数约为240名；②今年比去年视力在该范围内的人数明显减少，建议：保护性用眼，保持环境光线的柔和，避免强烈紫外线的照射．
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义进行计算即可；
（2）①根据样本估计整体即可；
②今年视力在该范围内的人数明显减少，保护性用眼，保持环境光线的柔和，避免强烈紫外线的照射．
【小问1详解】
解：这名学生视力的中位数是第个数据的平均数而这个数均落在组，
这名学生视力的中位数组；
【小问2详解】
解：①（名），
答：估计这600名八年级学生的视力在范围内的人数约为240名；
②去年视力在范围内的人数为283人，今年视力在范围内的人数约为240人，今年视力在该范围内的人数明显减少，
建议：保护性用眼，保持环境光线的柔和，避免强烈紫外线的照射．
23. 如图，在中，D，E分别为AB，AC的中点，，垂足为F，点G在DE的延长线上，．
（1）求证：四边形DFCG是矩形；
（2）若，，，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形中位线定理证明平行关系，再结合一组对边平行且相等证明平行四边形，最后根据直角证明矩形；
（2）先利用等腰直角三角形性质求 ，结合矩形性质求，再通过三角形中位线和勾股定理求的长．
【小问1详解】
解：，分别为，的中点，
是的中位线．
．
，
四边形是平行四边形．
又，
．
四边形是矩形．
【小问2详解】
解：，，
是等腰直角三角形，．
，
，
由（1）可知，是的中位线，四边形是矩形，
，，，
，
．
为的中点，
．
本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练运用中位线定理推导平行和线段关系，结合勾股定理求解线段长度．
24. 我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换120公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少20小时．求一辆该型号换轨车每小时更换钢轨的公里数．
【答案】一辆该型号换轨车每小时更换钢轨公里
【解析】
【分析】设一辆该型号换轨车每小时更换钢轨公里，根据“换轨车更换公里钢轨比一个工作队人工更换公里钢轨所用时间少小时”列分式方程即可得解．
【详解】解：设一辆该型号换轨车每小时更换钢轨公里，则一个工作队每小时人工更换钢轨公里，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：一辆该型号换轨车每小时更换钢轨公里．
25. 如图，某景区内两条互相垂直的道路，交于点，景点，在道路上，景点在道路上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路上又开发了风景优美的景点．经测得景点位于景点的北偏东方向上，位于景点的北偏东方向上，景点位于景点的南偏西方向上．已知．
（1）求的度数；
（2）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质可得出，的度数，再根据即可求解；
（2）通过计算的度数，得到，由等角对等边可得，在中，解直角三角形求出，，从而求出，再根据，，求出，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，由题意可得，，，，．
，，
；
【小问2详解】
解：，
．
由（1）得，
．
．
在中，，，
，
，
．
，，
，
．
景点与景点之间的距离为．
26. 如图，矩形中，．
（1）求作正方形，使得点，，分别落在边，，上；（要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）
（2）若，，求（1）中所作的正方形的边长．
【答案】（1）见解析；
（2）正方形的边长为．
【解析】
【分析】（1）作的角平分线，于相交于点；作的中垂线分别交、于点、；连接、，得正方形；
（2）设，则，根据得到，即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图，正方形即为所求；
【小问2详解】
解：四边形是正方形，
，，
，
设，则，
，
，
解得：，
正方形的边长为．
27. 已知二次函数，为常数．
（1）若该二次函数的图象与轴有交点，求的值；
（2）若该二次函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围；
（3）求证：该二次函数的图象不经过原点．
【答案】（1）；
（2）；
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据根的判别式进行求解即可；
（2）由题意得到函数的最小值小于，函数的最小值为，即，即可得到答案；
（3）当时，，二次函数的图象恒在轴上方，故不经过原点．
【小问1详解】
解：二次函数的图象与轴有交点，
，
，
又，
，
解得；
【小问2详解】
解：二次函数中，，
二次函数的图象开口向上，
二次函数的图象与直线有两个交点，
函数的最小值小于，
函数的最小值为，
即，
解得；
【小问3详解】
解：证明：当时，，
二次函数的图象不经过原点．
28. 【图形感知】
如图1，在四边形中，已知，，．
（1）的长为_________________________；
【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是，的对应点．
（2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．求四边形的面积；
②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长；
（3）如图4，连接交于点，连接．当点在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由．
【答案】（1）10 （2）①；②
（3）线段存在最小值，线段的最小值为
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）①由折叠的性质得，，，再证明，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可求解；
②延长和相交于点Q，连接，证明四边形是正方形，再证明，据此求解即可；
（3）先利用折叠的性质推出，推出点P在以为直径的上，连接，，得到，据此求解即可．
【小问1详解】
解：在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴；
【小问2详解】
解：①由折叠的性质得，，，
，
，
四边形是矩形；
在Rt中，，，
，
四边形的面积；
②延长和相交于点，连接，
，，，
点恰好落在边上，
，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
点在对角线上，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：由折叠的性质可知，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴点在以为直径的上，连接，
∴，即点在上时，线段存在最小值，
∵
所以线段存在最小值，线段的最小值为．
分组
人数（频数）
2
8
14
12
4