北京市西城区2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题
1. 直线的倾斜角为（ ）
2. 双曲线的渐近线方程为（ ）
3. 下列各组空间向量中不平行的为（ ）
4. 某圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
5. 已知空间向量和三个不同的点、、，且，则“点在直线上”是“”的（ ）
6. 已知抛物线，准线为，点，点在抛物线上，且点到直线的距离与到点的距离相等，则的面积为（ ）
7. 某路口有一个可以自动找零的饮料售货机，每罐饮料5元．某天由于工作人员的失误，售货机内没有预留找零的零钱．现有5个人（其中3人拿5元纸币，2人拿10元纸币）在这天的不同时刻去买一瓶饮料，则这5个人都可以顺利买到饮料的排列顺序的个数为（ ）
8. 已知，且，则等于（ ）
9. 在平面直角坐标系中，点，，，且，则的最大值为（ ）
10. 如图，在直三棱柱中，已知，，，分别在棱上，且满足平面. 给出下列三个结论：
① 平面平面，
② 面积的最大值为，
③ 平面与平面所成角的最大值为，
其中所有正确结论的序号为（ ）

二、填空题
11. 已知直线经过点，且与直线垂直，那么直线的方程是_____．
12. 在的展开式中，常数项为______.（请用数字作答）
13. 将边长为的正方形沿着对角线折起，折起后点记为.若二面角为，则与平面所成角的大小为_____.
14. 某只碗的侧面可以看作抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，若抛物线的顶点为原点，开口向上，对称轴为轴，碗底的直径为，碗口的直径为，碗的高度为，则抛物线的方程为_____.
15. 已知半径为的圆与直线相切于点，给出下列四个结论：
① 若，则圆上的所有点均在轴右侧；
② 若，且圆经过坐标原点，则；
③ 若，且圆与轴相切，则；
④ 若，且圆截轴所得的弦长为，则或.
其中所有正确结论的序号为_____.
三、解答题
16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，，，且．

(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求点到平面的距离．
17. 在大学二年级上学期，1名同学要从5门科学类选修课和3门人文类选修课中共选择4门不同的选修课，学校要求学生科学类选修课和人文类选修课都要选．
(1)这名同学的选修课有多少种不同的选法？
(2)若人文类的选修课的上课时间一样，不能同时选择，则这名同学选修课的不同选法共有多少种？
18. 已知.
(1)求的圆心坐标和半径；
(2)设点、，且上存在两点、，使得四边形为平行四边形，求直线的方程．
19. 已知椭圆过，两点，右焦点为．
(1)求椭圆的方程及点坐标；
(2)设点为椭圆上的一点，直线与直线交于点，与直线交于点，求证：．
20. 如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)已知点在以点为球心的同一球面上，求的长.
21. 已知椭圆上、下顶点间的距离为，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)试问：是否存在正方形，使得顶点在椭圆上，且顶点在轴上？若存在，求所有正方形的边长；若不存在，说明理由.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．，
B．，
C．，
D．，
A．
B．
C．
D．
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
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A．
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C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③