2026年河南省开封市通许县九年级第一次中招模拟 数学试题（含解析）中考模拟

这是一份2026年河南省开封市通许县九年级第一次中招模拟 数学试题（含解析）中考模拟，共16页。试卷主要包含了求二次函数的表达式等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，满分120分，考试时间100分钟．
2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上．答在试题卷上的答案无效．
3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化简各选项的数，再根据实数大小比较规则判断即可，用到的规则是：正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的数更小．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
又∵正数大于0和一切负数，0大于一切负数，
∴，
∴最小的数是．
2. 用11个完全相同的正方体堆积成如图的几何体，从①②③④四个正方体中拿走一个之后所形成的几何体与原几何体相比，俯视图发生变化的是（ ）
A. 拿走①B. 拿走②C. 拿走③D. 拿走④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三视图，根据用上面看到图形的变化解题即可．
【详解】解：拿走④俯视图发生变化，
故选：D．
3. 目前，中国国产GPU的运算性能在国际上已经具备较强的竞争力．某型号国产GPU的运算能力高达320 TFlps，TFlps是衡量计算机性能的一个重要单位，．将这种型号国产GPU的运算能力表示为，则m的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法，根据可得，再写成的形式即可，其中．
【详解】解：，
故选B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】需根据同类项合并，积的乘方，同底数幂除法，多项式乘法的法则逐一判断选项．
【详解】解：选项A，不是同类项，不能合并，∴A错误；
选项B，∵，∴B错误；
选项C，∵根据同底数幂除法法则，，运算正确，∴C正确；
选项D，∵，∴D错误．
5. 如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；
【详解】解：∵∠C+∠D＝∠AEC，
∴∠D=∠AEC-∠C＝50°-20°=30°，
∵，
∴∠A＝∠D=30°，
故选：C．
本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
6. 某校八年级三班进行中国诗词知识竞赛，共有10组题目，该班得分情况如下表：
全班40名同学的成绩的众数和中位数分别是（ ）
A. 76，78B. 76，76C. 80，78D. 76，80
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数和中位数的概念求解可得．
【详解】解：这组数据的众数为76，
共有个数据，
中位数为，
故选：．
本题主要考查众数和中位数，熟悉相关性质是解题的关键．
7. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，若要使矩形成为正方形，添加的条件不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键，根据各选项添加条件结合正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
A、当时，则矩形是正方形，不符合题意；
B、当时，则，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，不符合题意；
C、当时，则矩形是正方形，不符合题意；
D、当时，不能判定矩形是正方形，符合题意；
故选：D．
8. 已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A. ﹣2B. ﹣4C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解；
【详解】解：抛物线经过和两点，
可知函数的对称轴，
，
；
，
将点代入函数解析式，可得；
故选B．
本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
9. 如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为，．若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设交于点，由菱形的性质与勾股定理得到，则，再结合含的直角三角形性质得，，则根据即可得解．
【详解】解：设交于点，
菱形中，，，
，，
，，，
中，，
，
，
中，，
，
中，，
，
．
10. 硫酸钠（）是一种主要的日用化工原料，主要用于制造洗涤剂和牛皮纸制浆工艺．硫酸钠的溶解度y（）与温度t（）之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A. 当温度为时，硫酸钠的溶解度为
B. 硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C. 当温度为时，硫酸钠的溶解度最大
D. 要使硫酸钠的溶解度大于，温度只能控制在
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象对应的横坐标和纵坐标以及图象的增减性解答即可．
【详解】解：由图象可知：
当温度为时，碳酸钠的溶解度小于，故选项A说法错误，不符合题意；
至时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大，至时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而减小，故选项B说法错误，不符合题意；
当温度为时，碳酸钠的溶解度最大，说法正确，故选项C符合题意；
要使碳酸钠的溶解度大于，温度可控制在接近至，故选项D说法错误，不符合题意．
故选：C．
本题主要考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 二次根式，给赋予一个实际意义为_____．
【答案】面积是的正方形的边长（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了代数式的实际意义，二次根式的意义，根据代数式表示的实际意义的方法即可求解．
【详解】解：一个实际意义为：面积是的正方形的边长．
故答案为：面积是的正方形的边长（答案不唯一）．
12. 小明和小亮准备报名参加学校社团，每人需要在文学社、书画社、足球社、动漫社中选择一个，则他们刚好选择同一个社团的概率是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中小亮和小明选同一个社团的有4种结果，再由概率公式求解即可．
【详解】解：将文学社、书画社、足球社、动漫社分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小亮和小明选同一个社团的有4种结果，
∴他们刚好选择同一个社团的概率是，
故答案为：．
本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13. 定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：．若关于x的方程：有两个实数根，则k的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】由新定义的运算法则可得出关于x的方程为，由该方程有两个实数根得出其为一元二次方程，且，即且，解出k的解集即可．
【详解】由新定义的运算法则可得出：．
∵，
∴．
∵该方程有两个实数根，
∴且，
∴且．
故答案为：且．
本题考查新定义下的实数运算，一元二次方程的定义，根据一元二次方程根的情况求参数．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．
14. 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得△CDE，则图中线段AB扫过的阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】作AF⊥BC于F，解直角三角形分别求出AC、BC，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
【详解】作AF⊥BC于F，
∵∠ABC＝45°，
∴AF＝BF＝AB＝，
在Rt△AFC中，∠ACB＝30°，
∴AC＝2AF＝2，FC＝＝，
由旋转的性质可知，S△ABC＝S△EDC，
∴图中线段AB扫过的阴影部分的面积＝扇形DCB的面积+△EDC的面积﹣△ABC的面积﹣扇形ACE的面积
＝扇形DCB的面积﹣扇形ACE的面积
＝﹣
＝，
故答案为．
本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式S＝是解题的关键．
15. 如图，在中，将折叠，使点A与点C重合，点D为折痕所在直线上一点，若，，，线段的长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】结合已知条件分为点D在内部和外部两种情况讨论：
当点D在内部时，作，作，作于点N，连接，可知是等腰直角三角形且，再根据勾股定理求出，结合矩形的性质证明，可得，即可得出四边形DMEN为正方形，然后设，则，根据求出，接下来求出，最后根据得出答案；当点D在外部时，设，仿照上述解答即可．
【详解】解：∵点D为折痕所在直线上一点，，
∴分为点D在内部和外部两种情况讨论．
①当点D在内部时，如图①，
过点A作于点E，点D为折痕上一点，过点D作于点M，作于点N，连接，
∵A、C两点关于折痕对称且，
是等腰直角三角形且．
，，
∴点E为的中点．
，
．
，
∴在中，由勾股定理得，．
，，，
∴四边形为矩形．
，，，
，
，
∴四边形为正方形，
．
设，则，
，
，
，
，
，
在中，；
②当点D在外部时，如图②，设，
设，则，
，
，
，
，
，
同理可得，
所以的长为．
所以线段的长为或．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）化简：．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）分别化简二次根式、计算特殊角的三角函数值及零指数幂，再相加减即可；
（2）按照分式混合运算法则，先计算括号里的加法，再计算除法即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 某大型超市对4种畅销商品的促销策略进行调整，据统计调整前后各商品的日均销售量不变，有关数据如表：
（1）超市声称调整前后这4种商品的平均售价不变．请问超市是怎样计算的？
（2）然而部分消费者认为调整后这4种商品的平均售价增加了．请问消费者是怎样计算的？你认为超市和消费者哪一个的说法较能反映整体实际情况？
【答案】（1）见解析 （2）消费者的说法较能反映整体实际情况，计算过程见解析
【解析】
【分析】本题考查平均数、加权平均数，熟知加权平均数的求法及其意义是解答的关键．
（1）根据平均数的求解方法解答即可；
（2）利用加权平均数的求解方法求的调整前后的加权平均数，再根据加权平均数反映整体实际情况可得结论．
【小问1详解】
解：超市是这样计算的，
调整前的平均售价：元，
调整后的平均售价：元；
【小问2详解】
解：部分消费者是这样计算的，
调整前的平均售价：元，
调整后的平均售价：元，
，
部分消费者认为调整后这4种商品的平均售价增加了．
根据加权平均数的定义可知，消费者的说法较能反映整体实际情况．
18. 如图，在中，是钝角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作交于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接，若是的切线．求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据作线段垂直平分线的作法和画圆的作图即可；
（2）根据切线的性质可得，根据直径对直角可得，根据等腰三角形的性质可得，可得，进而得证．
【小问1详解】
解：如图所示；
【小问2详解】
证明：连接．
的垂直平分线交于点O，
，
C是上一点，
是的切线．
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
．
19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标．
【答案】（1），
（2）或
（3）点坐标为．
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题；
（2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题；
（3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题．
【小问1详解】
解：将代入得，，
∴，
反比例函数的解析式为，
将代入得，，
点的坐标为．
将点代入得，
，
解得，
一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：根据所给函数图象可知，
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即，
不等式的解集为：或；
【小问3详解】
解：将代入得，，
点的坐标为，
，
．
将代入得，，
点的坐标为，
，
解得．
∵点在第三象限，
∴，
将代入得，，
点坐标为．
20. 从2025年春晚机器人“秧”惊艳世界，到今年春晚舞台的“武”震撼全球，中国新质生产力如此突飞猛进，在春晚看到了！剑舞、醉拳、双截棍、肘部大回环、连续三次单腿后空翻……这些人类千锤百炼才可能神功大成的高难度动作，机器人不仅完成得威风凛凛，甚至颇有中华武术的神韵，看得观众酣畅淋漓、豪情万丈．某校拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座固定，高为，连杆长度为，手臂长度为．点B、C是转动点，且、与始终在同一平面内．
（1）转动连杆、手臂使，，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度．（结果精确到，参考数据：，，）
（2）物品在操作台l上，距离底座A端的点M处，转动连杆、手臂，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．
【答案】（1）
（2）手臂端点D能碰到点M，见解析
【解析】
【分析】（1）过点C作于点P，过点B作于点Q，根据三角函数求出，根据即可得解；
（2）根据勾股定理求出当点B、C、D三点共线时，比较与大小关系，即可得解．
【小问1详解】
解：过点C作于点P，过点B作于点Q，则，如图，
由题意得：四边形都是矩形，
，
，
∴在中，，
，
．
答：手臂端点D离操作台l的高度约为．
【小问2详解】
解：手臂端点D能碰到点M．理由如下：
如图，
当B、C、D三点共线时，，，
在中，，
，
∴手臂端点D能碰到点M．
21. 广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在一航道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方60吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方80吨．
（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与把156吨土方全部运走，若一辆大型渣土运输车耗费600元，一辆小型渣土运输车耗费400元，请你设计出最省钱的运输方案．
【答案】（1）一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨
（2）最佳派车方案：大型运输车辆，小型运输车辆
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式组，二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）设一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨，根据题意累出二元一次方程组，解方程组即可作答；
（2）设该渣土运输公司决定派出辆大型号的渣土运输车，则小型号的渣土运输车为辆，根据题意列不等式组求解，设总共费用为w，根据题意表示出费用，根据一次函数的性质分析，随着a的增大而增大，问题随之得解．
【小问1详解】
解：设一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨，
，解得．
即一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨；
【小问2详解】
设该渣土运输公司决定派出辆大型号的渣土运输车，则小型号的渣土运输车为辆，
根据题意有：，且为正整数，
解得，且为正整数，
设总共费用为w，
根据题意有：，
∵，
∴总共费用w，随着a的增大而增大，
∴当时，最小，且最小为：（元），
此时最佳派车方案：大型运输车辆，小型运输车辆．
22. 在平面直角坐标系中，已知二次函数(b，c是常数)．
（1）当时，
①该函数图象的顶点坐标是；
②若，则y的取值范围是
（2）当该函数的图象经过点时，设该二次函数图象的顶点坐标是，求n关于m的函数表达式
（3）若当时，y的最大值为3；当时，y的最大值为4．求二次函数的表达式．
【答案】（1），；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）先把解析式进行配方，再求顶点；
（2）根据函数的增减性求解，待定系数法求函数解析式；
（3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解．
【小问1详解】
解：当时，，
∴该函数图象的顶点坐标为，
若，则在时取最大值，在时取最小值，
∴若，则，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：∵该函数的图象经过点，
，
，
，
，，
由可知，
将代入，
∴；
【小问3详解】
解：∵当时，的最大值为，当时，的最大值为，，
∴抛物线的对称轴在轴的右侧，
∴当时，，
，
∴当时，，
，
，（负值舍去），
∴二次函数的表达式为．
23. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
【拓展探究】如图1，在中，，，垂足为D．
（1）兴趣小组的同学得出．理由如下：
请完成填空：①________；②________；
（2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
（3）【学以致用】如图3，是直角三角形，，，，平面内一点D，满足，连接并延长至点E，且，当线段的长度取得最小值时．请直接写出线段的长．
【答案】（1）①；②
（2）直角三角形，见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可；
（2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案；
（3）证明，得出，求出，以点为圆心，1为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，证明，得出，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，得出当点E在点处时，最小，根据勾股定理求出结果即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：是直角三角形；理由如下：
，
，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
是直角三角形；
【小问3详解】
解：，
，
，
，
∵，
如图，以点为圆心，1为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，
则，
∵为的直径，
∴，
，
∴，
，
，
，
点在过点且与垂直的直线上运动，
过点作，垂足为，连接，
∵垂线段最短，
∴当点E在点处时，最小，
即的最小值为的长，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
即当线段的长度取得最小值时，线段的长为．人数
2
5
13
10
7
3
成绩（分）
50
65
76
80
92
100
商品
A
B
C
D
原售价（元）
8
8
12
16
现售价（元）
6
6
12
20
日均销售量（件）
100
100
200
300
①________
②________