邵阳市2026年中考数学考前最后一卷（含答案解析）

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1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，若点A（3，m）在直线l上，则m的值是（ ）
A．﹣5B．C．D．7
2．下列方程中，没有实数根的是( )
A．B．
C．D．
3．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为( )
A．(，2)B．(4，1)C．(4，)D．(4，)
4．如图，已知正五边形内接于，连结，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．下列各式正确的是（ ）
A．﹣（﹣2018）=2018B．|﹣2018|=±2018C．20180=0D．2018﹣1=﹣2018
6．如图，数轴上有三个点A、B、C，若点A、B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（ ）
A．﹣2B．0C．1D．4
7．如果一组数据6，7，x，9，5的平均数是2x，那么这组数据的中位数为（ ）
A．5B．6C．7D．9
8．的值是
A．B．C．D．
9．在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G、H．∠CBE=∠BAD，有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△BEC=S△ADF．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，4），与x轴的一个交点是B（3，0），下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③方程ax2+bx+c=4有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2.0）；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
11．对于函数y=，下列说法正确的是（ ）
A．y是x的反比例函数B．它的图象过原点
C．它的图象不经过第三象限D．y随x的增大而减小
12．函数的图像位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．已知函数是关于的二次函数，则__________．
14．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为___________（精确到0.1）．
15．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，则∠2的度数为_______.
16．化简：÷=_____．
17．如图，在△ABC中，∠A＝60°，若剪去∠A得到四边形BCDE，则∠1＋∠2＝______．
18．在矩形ABCD中，AB=4，BC=9，点E是AD边上一动点，将边AB沿BE折叠，点A的对应点为A′，若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则AE的长为_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的不完整统计表：
请你根据以上的信息，回答下列问题：
（1）被调查学生的总数为 人，统计表中m的值为 ．扇形统计图中n的值为 ；
（2）被调查学生中，最喜爱电视节目的“众数” ；
（3）该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱新闻节目的学生人数.
20．（6分）已知抛物线的开口向上顶点为P
（1）若P点坐标为（4，一1），求抛物线的解析式；
（2）若此抛物线经过（4，一1），当－1≤x≤2时，求y的取值范围（用含a的代数式表示）
（3）若a＝1，且当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为6，求b的值
21．（6分）阅读材料，解答问题．
材料：“小聪设计的一个电子游戏是：一电子跳蚤从这P1(﹣3，9)开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线y＝x2上向右跳动，得到点P2、P3、P4、P5…(如图1所示)．过P1、P2、P3分别作P1H1、P2H2、P3H3垂直于x轴，垂足为H1、H2、H3，则S△P1P2P3＝S梯形P1H1H3P3﹣S梯形P1H1H2P2﹣S梯形P2H2H3P3＝(9+1)×2﹣(9+4)×1﹣(4+1)×1，即△P1P2P3的面积为1．”
问题：
(1)求四边形P1P2P3P4和P2P3P4P5的面积(要求：写出其中一个四边形面积的求解过程，另一个直接写出答案)；
(2)猜想四边形Pn﹣1PnPn+1Pn+2的面积，并说明理由(利用图2)；
(3)若将抛物线y＝x2改为抛物线y＝x2+bx+c，其它条件不变，猜想四边形Pn﹣1PnPn+1Pn+2的面积(直接写出答案)．
22．（8分）如图，矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°后得到矩形CEFG，连接DG交EF于H，连接AF交DG于M；
（1）求证：AM=FM；
（2）若∠AMD=a．求证：=csα．
23．（8分）某经销商从市场得知如下信息：
他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌手表共100块，设该经销商购进A品牌手表x块，这两种品牌手表全部销售完后获得利润为y元．试写出y与x之间的函数关系式；若要求全部销售完后获得的利润不少于1.26万元，该经销商有哪几种进货方案；选择哪种进货方案，该经销商可获利最大；最大利润是多少元.
24．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2=1．
（1）求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根的平方等于4，求m的值．
25．（10分）如图，已知矩形ABCD中，AB=3，AD=m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．
（1）若m=5，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．
（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于2，求所有这样的m的取值范围．
26．（12分）兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价﹣进价）
27．（12分）先化简，再求值：
÷（a﹣），其中a=3tan30°+1，b=cs45°．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、C
【解析】
把（-2，0）和（0，1）代入y=kx+b，求出解析式，再将A（3，m）代入，可求得m.
【详解】
把（-2，0）和（0，1）代入y=kx+b，得
，
解得
所以，一次函数解析式y=x+1，
再将A（3，m）代入，得
m=×3+1=.
故选C.
本题考核知识点：考查了待定系数法求一次函数的解析式,根据解析式再求函数值.
2、B
【解析】
分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义确定正确选项．
【详解】
解：A、△=（-2）2-4×（-3）=16＞0，方程有两个不相等的两个实数根，所以A选项错误；
B、△=（-2）2-4×3=-8＜0，方程没有实数根，所以B选项正确；
C、△=（-2）2-4×1=0，方程有两个相等的两个实数根，所以C选项错误；
D、△=（-2）2-4×（-1）=8＞0，方程有两个不相等的两个实数根，所以D选项错误．
故选：B．
本题考查根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0根时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
3、D
【解析】
由已知条件得到AD′=AD=4，AO=AB=2，根据勾股定理得到OD′= =2，于是得到结论．
【详解】
解：∵AD′=AD=4，
AO=AB=1，
∴OD′==2，
∵C′D′=4，C′D′∥AB，
∴C′（4，2），
故选：D．
本题考查正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题关键．
4、C
【解析】
根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD=CB，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，计算即可．
【详解】
∵五边形为正五边形
∴
∵
∴
∴
故选：C．
本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）×180°是解题的关键．
5、A
【解析】
根据去括号法则、绝对值的性质、零指数幂的计算法则及负整数指数幂的计算法则依次计算各项即可解答．
【详解】
选项A，﹣（﹣2018）=2018，故选项A正确；
选项B，|﹣2018|=2018，故选项B错误；
选项C，20180=1，故选项C错误；
选项D，2018﹣1= ，故选项D错误．
故选A．
本题去括号法则、绝对值的性质、零指数幂的计算法则及负整数指数幂的计算法则，熟知去括号法则、绝对值的性质、零指数幂及负整数指数幂的计算法则是解决问题的关键.
6、C
【解析】
【分析】首先确定原点位置，进而可得C点对应的数．
【详解】∵点A、B表示的数互为相反数，AB=6
∴原点在线段AB的中点处，点B对应的数为3，点A对应的数为-3，
又∵BC=2，点C在点B的左边，
∴点C对应的数是1，
故选C．
【点睛】本题主要考查了数轴，关键是正确确定原点位置．
7、B
【解析】
直接利用平均数的求法进而得出x的值，再利用中位数的定义求出答案．
【详解】
∵一组数据1，7，x，9，5的平均数是2x，
∴，
解得：，
则从大到小排列为：3，5，1，7，9，
故这组数据的中位数为：1．
故选B．
此题主要考查了中位数以及平均数，正确得出x的值是解题关键．
8、D
【解析】
根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】
解：，
故选：D．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
9、C
【解析】
根据题意和图形，可以判断各小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】
∵在△ABC中，AD和BE是高，
∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，
∵点F是AB的中点，
∴FD=AB，FE=AB，
∴FD=FE，①正确；
∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，
在△AEH和△BEC中， ，
∴△AEH≌△BEC（ASA），
∴AH=BC=2CD，②正确；
∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，
∴△ABD∽△BCE，
∴，即BC•AD=AB•BE，
∵∠AEB=90°，AE=BE，
∴AB=BE
BC•AD=BE•BE，
∴BC•AD=AE2；③正确；
设AE=a，则AB=a，
∴CE=a﹣a，
∴=，
即 ，
∵AF=AB，
∴ ，
∴S△BEC≠S△ADF，故④错误，
故选：C．
本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10、B
【解析】
通过图象得到、、符号和抛物线对称轴，将方程转化为函数图象交点问题，利用抛物线顶点证明.
【详解】
由图象可知，抛物线开口向下，则，，
抛物线的顶点坐标是，
抛物线对称轴为直线，
，
，则①错误，②正确；
方程的解，可以看做直线与抛物线的交点的横坐标，
由图象可知，直线经过抛物线顶点，则直线与抛物线有且只有一个交点，
则方程有两个相等的实数根，③正确；
由抛物线对称性，抛物线与轴的另一个交点是，则④错误；
不等式可以化为，
抛物线顶点为，
当时，，
故⑤正确.
故选：.
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的各项系数与图象位置的关系、抛物线对称性和最值，以及用函数的观点解决方程或不等式.
11、C
【解析】
直接利用反比例函数的性质结合图象分布得出答案．
【详解】
对于函数y=，y是x2的反比例函数，故选项A错误；
它的图象不经过原点，故选项B错误；
它的图象分布在第一、二象限，不经过第三象限，故选项C正确；
第一象限，y随x的增大而减小，第二象限，y随x的增大而增大，
故选C．
此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出函数图象分布是解题关键．
12、D
【解析】
根据反比例函数中，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，进而得出答案．
【详解】
解：函数的图象位于第四象限．
故选：D．
此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆反比例函数图象分布的象限是解题关键．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、1
【解析】
根据一元二次方程的定义可得：，且，求解即可得出m的值．
【详解】
解：由题意得：，且，
解得：，且，
∴
故答案为：1．
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握“未知数的最高次数是1”且“二次项的系数不等于0”．
14、1．2
【解析】
仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在1.2左右，从而得到结论．
【详解】
∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在1.2左右，
∴该玉米种子发芽的概率为1.2，
故答案为1.2．
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
15、65°
【解析】
因为AB∥CD，所以∠BEF=180°-∠1=130°，因为EG平分∠BEF，所以∠BEG=65°，因为AB∥CD，所以∠2=∠BEG=65°．
16、m
【解析】
解：原式=•=m．故答案为m．
17、240.
【解析】
试题分析：∠1+∠2=180°+60°=240°．
考点：1.三角形的外角性质；2.三角形内角和定理．
18、或
【解析】
由,,得,所以.再以①和②两种情况分类讨论即可得出答案.
【详解】
因为翻折,所以，,过作,交AD于F,交BC于G,根据题意，,.
若点在矩形ABCD的内部时，如图
则GF=AB=4,
由可知.
又.
.
又.
.
.
.
若
则,.
.
则.
.
.
若
则,.
.
则 .
.
.
故答案或.
本题主要考查了翻折问题和相似三角形判定，灵活运用是关键
错因分析：难题，失分原因有3点：（1）不能灵活运用矩形和折叠与动点问题叠的性质；（2）没有分情况讨论，由于点A′A′到矩形较长两对边的距离之比为1:3，需要分A′M:A′N=1:3，A′M:A′N=1:3和A′M:A′N=3:1，A′M:A′N=3:1这两种情况；（3）不能根据相似三角形对应边成比例求出三角形的边长.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）150；45，36， （2）娱乐 （3）1
【解析】
（1）由“体育”的人数及其所占百分比可得总人数，用总人数减去其它节目的人数即可得求得动画的人数m，用娱乐的人数除以总人数即可得n的值；
（2）根据众数的定义求解可得；
（3）用总人数乘以样本中喜爱新闻节目的人数所占比例．
【详解】
解：（1）被调查的学生总数为30÷20%＝150（人），
m＝150−（12＋30＋54＋9）＝45，
n%＝×100%＝36%，即n＝36，
故答案为150，45，36；
（2）由题意知，最喜爱电视节目为“娱乐”的人数最多，
∴被调查学生中，最喜爱电视节目的“众数”为娱乐，
故答案为娱乐；
（3）估计该校最喜爱新闻节目的学生人数为2000×＝1．
本题考查了统计表、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20、（1）；（2）1－4a≤y≤4＋5a；（3）b＝2或－10.
【解析】
（1）将P（4，-1）代入，可求出解析式
（2）将（4，-1）代入求得：b=-4a-1，再代入对称轴直线 中，可判断，且开口向上，所以y随x的增大而减小，再把x=-1，x=2代入即可求得．
（3）观察图象可得，当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为6，这些点可能为x=0，x=1，三种情况，再根据对称轴在不同位置进行讨论即可．
【详解】
解：（1）由此抛物线顶点为P（4，-1），
所以y＝a（x-4）2-1＝ax2－8ax＋16a－1，即16a－1＝3，解得a=， b=-8a=-2
所以抛物线解析式为：；
（2）由此抛物线经过点C（4，－1），
所以 一1＝16a＋4b＋3，即b＝－4a－1．
因为抛物线的开口向上，则有
其对称轴为直线，而
所以当－1≤x≤2时，y随着x的增大而减小
当x＝－1时，y=a+(4a+1)+3=4+5a
当x＝2时，y=4a-2(4a+1)+3=1-4a
所以当－1≤x≤2时，1－4a≤y≤4＋5a；
（3）当a＝1时，抛物线的解析式为y＝x2＋bx＋3
∴抛物线的对称轴为直线
由抛物线图象可知，仅当x＝0，x＝1或x＝－时，抛物线上的点可能离x轴最远
分别代入可得，当x＝0时，y=3
当x=1时，y＝b＋4
当x=-时,y=-+3
①当一＜0，即b＞0时，3≤y≤b+4，
由b＋4＝6解得b＝2
②当0≤-≤1时，即一2≤b≤0时，△＝b2－12＜0，抛物线与x轴无公共点
由b＋4＝6解得b＝2(舍去)；
③当 ，即b＜－2时，b＋4≤y≤3，
由b＋4＝－6解得b＝－10
综上，b＝2或－10
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，以及最值问题，关键是对称轴在不同的范围内，抛物线上的点到x轴距离的最大值的点不同．
21、 (1)2，2；(2)2，理由见解析；(3)2．
【解析】
（1）作P5H5垂直于x轴，垂足为H5，把四边形P1P2P3P2和四边形P2P3P2P5的转化为SP1P2P3P2＝S△OP1H1﹣S△OP3H3﹣S梯形P2H2H3P3﹣S梯形P1H1H2P2和SP2P3P2P5＝S梯形P5H5H2P2﹣S△P5H5O﹣S△OH3P3﹣S梯形P2H2H3P3来求解；
（2）（3）由图可知，Pn﹣1、Pn、Pn+1、Pn+2的横坐标为n﹣5，n﹣2，n﹣3，n﹣2，代入二次函数解析式，
可得Pn﹣1、Pn、Pn+1、Pn+2的纵坐标为（n﹣5）2，（n﹣2）2，（n﹣3）2，（n﹣2）2，将四边形面积转化为S四边形Pn﹣1PnPn+1Pn+2＝S梯形Pn﹣5Hn﹣5Hn﹣2Pn﹣2﹣S梯形Pn﹣5Hn﹣5Hn﹣2Pn﹣2﹣S梯形Pn﹣2Hn﹣2Hn﹣3Pn﹣3﹣S梯形Pn﹣3Hn﹣3Hn﹣2Pn﹣2来解答．
【详解】
(1)作P5H5垂直于x轴，垂足为H5，
由图可知SP1P2P3P2＝S△OP1H1﹣S△OP3H3﹣S梯形P2H2H3P3﹣S梯形P1H1H2P2＝＝2，
SP2P3P2P5＝S梯形P5H5H2P2﹣S△P5H5O﹣S△OH3P3﹣S梯形P2H2H3P3＝＝2；
(2)作Pn﹣1Hn﹣1、PnHn、Pn+1Hn+1、Pn+2Hn+2垂直于x轴，垂足为Hn﹣1、Hn、Hn+1、Hn+2，
由图可知Pn﹣1、Pn、Pn+1、Pn+2的横坐标为n﹣5，n﹣2，n﹣3，n﹣2，
代入二次函数解析式，可得Pn﹣1、Pn、Pn+1、Pn+2的纵坐标为(n﹣5)2，(n﹣2)2，(n﹣3)2，(n﹣2)2，
四边形Pn﹣1PnPn+1Pn+2的面积为S四边形Pn﹣1PnPn+1Pn+2
＝S梯形Pn﹣5Hn﹣5Hn﹣2Pn﹣2﹣S梯形Pn﹣5Hn﹣5Hn﹣2Pn﹣2﹣S梯形Pn﹣2Hn﹣2Hn﹣3Pn﹣3﹣S梯形Pn﹣3Hn﹣3Hn﹣2Pn﹣2
＝＝2；
(3)S四边形Pn﹣1PnPn+1Pn+2＝S梯形Pn﹣5Hn﹣5Hn﹣2Pn﹣2﹣S梯形Pn﹣5Hn﹣5Hn﹣2Pn﹣2﹣S梯形Pn﹣2Hn﹣2Hn﹣3Pn﹣3﹣S梯形Pn﹣3Hn﹣3Hn﹣2Pn﹣2
=-＝2．
本题是一道二次函数的综合题，考查了根据函数坐标特点求图形面积的知识，解答时要注意，前一小题为后面的题提供思路，由于计算量极大，要仔细计算，以免出错，
22、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）由旋转性质可知：AD=FG，DC=CG，可得∠CGD=45°，可求∠FGH=∠FHG=45°，则HF=FG=AD，所以可证△ADM≌△MHF，结论可得．
（2）作FN⊥DG垂足为N，且MF=FG，可得HN=GN，且DM=MH，可证2MN=DG，由第一问可得2MF=AF，由csα=cs∠FMG=，代入可证结论成立
【详解】
（1）由旋转性质可知：
CD=CG且∠DCG=90°，
∴∠DGC=45°从而∠DGF=45°，
∵∠EFG=90°，
∴HF=FG=AD
又由旋转可知，AD∥EF，
∴∠DAM=∠HFM，
又∵∠DMA=∠HMF，
∴△ADM≌△FHM
∴AM=FM
（2）作FN⊥DG垂足为N
∵△ADM≌△MFH
∴DM=MH，AM=MF=AF
∵FH=FG，FN⊥HG
∴HN=NG
∵DG=DM+HM+HN+NG=2（MH+HN）
∴MN=DG
∵cs∠FMG=
∴cs∠AMD=
∴=csα
本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定，三角函数，关键是构造直角三角形．
23、（1）y=140x+6000；（2）三种，答案见解析；（3）选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是13000元．
【解析】
（1）根据利润y=（A售价﹣A进价）x+（B售价﹣B进价）×（100﹣x）列式整理即可；
（2）全部销售后利润不少于1.26万元得到一元一次不等式组，求出满足题意的x的正整数值即可；
（3）利用y与x的函数关系式的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可．
【详解】
解：（1）y=（900﹣700）x+（160﹣100）×（100﹣x）=140x+6000.
由700x+100（100﹣x）≤40000得x≤50.
∴y与x之间的函数关系式为y=140x+6000（x≤50）
（2）令y≥12600，即140x+6000≥12600，
解得x≥47.1.
又∵x≤50，∴经销商有以下三种进货方案：
（3）∵140＞0，∴y随x的增大而增大.
∴x=50时y取得最大值.
又∵140×50+6000=13000，
∴选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是13000元．
本题考查由实际问题列函数关系式；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
24、（1）证明见解析；（2）m 的值为1或﹣2．
【解析】
（1）计算根的判别式的值可得（m+1）2≥1，由此即可证得结论；（2）根据题意得到 x=±2 是原方程的根，将其代入列出关于m新方程，通过解新方程求得m的值即可．
【详解】
（1）证明：∵△=[﹣（m+3）]2﹣2（m+2）=（m+1）2≥1，
∴无论实数 m 取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程有一个根的平方等于 2，
∴x=±2 是原方程的根，
当 x=2 时，2﹣2（m+3）+m+2=1．
解得m=1；
当 x=﹣2 时，2+2（m+3）+m+2=1，
解得m=﹣2．
综上所述，m 的值为 1 或﹣2．
本题考查了根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时要分类讨论，这是此题的易错点．
25、 (1) 1;(1) ≤m＜．
【解析】
（1）在Rt△ABP中利用勾股定理即可解决问题；
（1）分两种情形求出AD的值即可解决问题：①如图1中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为1．②如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为1.
【详解】
解：（1）：（1）如图1中，设PD=t．则PA=5-t．
∵P、B、E共线，
∴∠BPC=∠DPC，
∵AD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB，
∴∠BPC=∠PCB，
∴BP=BC=5，
在Rt△ABP中，∵AB1+AP1=PB1，
∴31+（5-t）1=51，
∴t=1或9（舍弃），
∴t=1时，B、E、P共线．
（1）如图1中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为1．
作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M．则EQ=1，CE=DC=3
易证四边形EMCQ是矩形，
∴CM=EQ=1，∠M=90°，
∴EM=，
∵∠DAC=∠EDM，∠ADC=∠M，
∴△ADC∽△DME，
∴
∴
∴AD=，
如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为1．
作EQ⊥BC于Q，延长QE交AD于M．则EQ=1，CE=DC=3
在Rt△ECQ中，QC=DM=，
由△DME∽△CDA，
∴
∴，
∴AD=，
综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于1，这样的m的取值范围≤m＜．
本题考查四边形综合问题，根据题意作出图形，熟练运用勾股定理和相似三角形的性质是本题的关键.
26、（1）第一批T恤衫每件的进价是90元；（2）剩余的T恤衫每件售价至少要80元.
【解析】
（1）设第一批T恤衫每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+9）元，再根据等量关系：第二批进的件数=第一批进的件数可得方程；
（2）设剩余的T恤衫每件售价y元，由利润=售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低于650元，可列不等式求解.
【详解】
解：（1）设第一批T恤衫每件进价是x元，由题意，得
，
解得x=90
经检验x=90是分式方程的解，符合题意.
答：第一批T恤衫每件的进价是90元.
（2）设剩余的T恤衫每件售价y元．
由（1）知，第二批购进=50件．
由题意，得120×50×+y×50×﹣4950≥650，
解得y≥80.
答：剩余的T恤衫每件售价至少要80元.
27、，
【解析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，利用-1的偶次幂为1及特殊角的三角函数值求出a的值，代入计算即可求出值．
解：原式=，
当，
原式=.
“点睛”此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
种子粒数
100
400
800
1 000
2 000
5 000
发芽种子粒数
85
318
652
793
1 604
4 005
发芽频率
0.850
0.795
0.815
0.793
0.802
0.801
节目代号
A
B
C
D
E
节目类型
新闻
体育
动画
娱乐
戏曲
喜爱人数
12
30
m
54
9
A品牌手表
B品牌手表
进价（元/块）
700
100
售价（元/块）
900
160
方案
A品牌（块）
B品牌（块）
①
48
52
②
49
51
③
50
50