2026长沙长望浏宁四区县高三下学期4月调研考试数学试题含解析

这是一份2026长沙长望浏宁四区县高三下学期4月调研考试数学试题含解析，共32页。试卷主要包含了单项选择题，多选项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120 分钟 总分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 在 中，“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数 （ 且 ），若 ，则 的递增区间是（ ）
A. B. C. D.
4. 过点 且倾斜角为 的直线 l 交圆 于 、 两点，则弦 的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
5. 若对任意的正实数 x、y 满足 ，不等式 恒成立，则实数 m 的取值范围是（
）
A. B. 或
C. 或 D.
6. 在一次数学考试中，有一道满分为 15 分的立体几何题．某学习小组 6 名同学这题的得分为
，且有 ，已知这 6 名同学的 80%分位数和平均分都是
12 分，则该 6 名同学答题得分的极差为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 已 知 ， 数 列 为 等 差 数 列 ， 且 ， 则
（ ）
A. 0 B. C. 11 D.
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8. 如图，一块边长为 6 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰
三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为（ ）
A. B. C. 3 D.
二、多选项选择题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 关于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A. 的定义域为 B. 为偶函数
C. 是 的一个零点 D. 是 的一个周期
10. 设抛物线 的焦点为 ， 到准线 的距离为 ，过 的直线交 于 、 （ 在第一象
限）两点，过点 作准线 的垂线，垂足为 ，直线 交 轴于点 ，则（ ）
A. 抛物线 的方程为 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则直线 AB 的方程为
11. 已知 a、b、c 分别为 的内角 A、B、C 的对边，且 S 为 的面积，R 为 外接圆的半
径，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 边 BC 上的中线
C. D. 的最小值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 展开式中 的系数为 ，则 _________．
13. 如图，等边 边长为 2，点 、 分别为 、 的中点，连接 并延长至点 ，使得
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，则 _________．
14. 已知函数 ，若正实数 a, 满足 ，则 的取值范围是
_________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 为数列 的前 n 项和，且 ．
（1）求该数列的通项 ；
（2）若 ，求数列 的前 n 项和 ．
16. 为激发学生对体育的热爱，某校开展体育知识竞赛活动．甲、乙、丙三人参加比赛，有问题 1、问题 2
两道题，其中问题 1 为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙、丙三人抢到的概率均为 ，问题 2 为必答题，
甲、乙、丙三人都要回答；已知甲能正确回答问题 1、问题 2 的概率分别为 和 ，乙、丙能正确回答每
道题的概率均为 ，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响．
（1）求问题 1 回答正确的概率；
（2）记能正确回答问题 2 的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望．
17. 如图，在四棱柱 中，底面 ABCD 是菱形，E 为 中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ， ，求直线 与平面 ABCD 所成角的正
弦值．
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18. 已知动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离之比是常数 ．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）若曲线 与 轴的交点分别为 、 （ 在 的左侧），过点 的直线交曲线 于点 （ 位于第二
象限）， 的角平分线交 于点 ．
（i）求证：点 在定直线上；
（ii）连接直线 且与曲线 的另一个交点为 ，求 的取值范围．
19. 已知函数 ，圆 ．设圆 C 与曲线 交于 A、B 两
点．
（1）求 在 处的切线方程；
（2）证明：直线 AB 的斜率恒大于 1；
（3）若线段 AB 的中点为 m，试判断点 m 的横坐标与 1 的大小关系，并证明你的结论．
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